有理數(shù)及其運算專項訓(xùn)練（16種題型）

劃重點?沖高分區(qū)

有理數(shù)混合運算中的常見運算技巧

有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用

科學(xué)記數(shù)法

有理數(shù)混合運算的新定義問題

利用絕對值幾何意義求最值

絕對值的化簡問題

畫三視圖絕對值與數(shù)軸綜合問題

根據(jù)已知視圖，確定幾何體含小正方體個數(shù)

題型1有理數(shù)的分類

------------------⑥------------------------------------------------------------------T

對于有理數(shù)的分類，一般應(yīng)遵循以下原則：i

■

①分類不重合.所分各類應(yīng)互不包容，如有理數(shù)分為非負有理數(shù)、o和非正有理數(shù)就違反了這一原則；！

②分類無遺漏.所分各類之和必須是原來的全部，如將有理數(shù)分為正有理數(shù)和負有理數(shù)就漏掉了0；

I

③標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一.必須按同一分類標(biāo)準(zhǔn)進行分類，如將有理數(shù)分為正有理數(shù)、0和負分數(shù)，分類標(biāo)準(zhǔn)就不統(tǒng)：

I

一.I

【易錯點】對非負整數(shù)、非正整數(shù)、非負數(shù)、非正數(shù)分類時遺漏0.I

?一一■—一■一■一——■一■一—一—一■——一—一■一———一——一—一■一—一—一■一———一■一—一——?

1.（24-25七年級上?內(nèi)蒙古烏海?階段練習(xí)）“有理數(shù)運動會”已經(jīng)拉開序幕，每位有理數(shù)運動員要通

過自己專屬的檢錄通道，才能參加運動項目，請你作為志愿者帶領(lǐng)以下有理數(shù)有秩序地進行檢錄（只填序

號）：①一募■:②+0.007：③除④0：⑤0.3；@10；⑦一44：⑧+101.

運動會檢錄窗口

非負整數(shù)正分數(shù)負整數(shù)負分數(shù)

2.（24-25七年級上?四川自貢?階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：一3.14,0,23%,3,-1,

一25,

2

①正有理數(shù)集合：｛一…｝

②負有理數(shù)集合：｛一…｝

③分數(shù)集合：｛一…｝

④非負數(shù)集合：｛一…)

⑤非正整數(shù)集合：｛—…｝

3.(24-25七年級上-全國?課后作業(yè))請觀察下列一組數(shù)：

+1,-4.8,+另-9.8,一3一5,0,-3,15,3.14.

(1)以上各數(shù)，哪些是小學(xué)學(xué)過的數(shù)？他們可以分為哪幾類？試說出名稱.

(2)你能用小學(xué)學(xué)過的數(shù)的分類方法對上面的數(shù)進行分類嗎？還能進?步分嗎？

(3)想一想，小數(shù)與分數(shù)的關(guān)系如何？

題型2數(shù)軸上兩點間的距離

■MM■MM■MMB■MM?■MM■MHM?■MM?MM?■MM?■MM?■MM■MM.■MM■

i)若兩數(shù)大小己知，數(shù)軸上兩點之間的距離=大數(shù)-小數(shù)二右數(shù)一左數(shù)：！

2)若兩數(shù)大小未知，可加絕對值表示距離.即：數(shù)軸上數(shù)m所對應(yīng)點和數(shù)n對應(yīng)點之間的距離為|m-n|.j

簡稱：數(shù)軸公式大減小，大小未知帶絕對值.！

【易錯點】由于距離沒有方向性，所以數(shù)軸上到已知點距離相等的點一般有兩個，因此要注意考慮所有！

可能出現(xiàn)的結(jié)果.；

4.(24-25七年級下?河南信陽?期中)數(shù)軸上有兩個點4B,分別代表的整數(shù)是。和6Q、b滿足

|a+8|+(b-2)2=0.

(l)a=，b=，點4與點8之間的距離是_____.

(2)點八以每秒2個單位長度的速度向左運動，點8以每秒4個單位長度的速度向左運動，點4、B同時運動，

設(shè)運動時間為￡秒，回答下列問題：

①附時，點A對應(yīng)的數(shù)為；(用含t的式子表示)

②當(dāng)5時，求點A與點B之間的距離.(用含t的式子表示)

5.(24-25七年級下-全國-假期作業(yè))如圖，以1厘米為1個單位長度用直尺畫數(shù)軸時，數(shù)軸上的點力,

。剛好對應(yīng)著直尺上的刻度2,刻度8和刻度10.設(shè)點兒用。所表示的數(shù)的和是加，該數(shù)軸的原點為

0,向右為正方向.

ABC

||||||||||Illilllllpllll11111||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||Illi11111^11111||||||||||||||^||||——?

02345678910

(1)若點A所表示的數(shù)是一3,則點C所表示的數(shù)是；

⑵若點4C所表示的數(shù)百為相反數(shù)，則該數(shù)軸的原點。對應(yīng)百尺卜的刻度為：

⑶若點〃，。之間的距離為4,求/〃的值.

6.(24-25九年級下?廣東湛江?階段練習(xí))如圖，數(shù)軸上兩點4、B對應(yīng)的數(shù)分別是a、b,其中a、b滿足

(a-t-1)2+|3/)-9|=0,

0

-4-234

-20

(1)求*b的值，并在數(shù)軸上標(biāo)出4、B兩點;

⑵數(shù)軸上有一動點P,當(dāng)P4=2AB時，請直接寫出點、P對應(yīng)的數(shù)x的值.

題型3與數(shù)軸上有關(guān)的動點問題

單位長度，點夕在原點的右邊，從點力走到點氏要經(jīng)過32個單位長度.

(1)求48兩點所對應(yīng)的數(shù)：

(2)若點「也是數(shù)軸上的點，點。到點8的距離是點。到原點的距離的3倍,求點。對應(yīng)的數(shù)：

(3)已知，點."從點力向右出發(fā)，速度為每秒1個單位長度，同時點Ar從點8向右出發(fā)，速度為每秒2個單

位長度，設(shè)線段N。的中點為月線段P。一AM的值是否變化？若不變，請求其值；若變化，請說明理由.

9.(24-25七年級上?廣東汕頭?期中)如圖，在數(shù)軸上點[表示的數(shù)是8,若動點尸從原點0出發(fā)，以2

個單位/秒的速度向左運動，同時另一動點。從點力出發(fā)，以4個單位/秒的速度也向左運動，到達原點后

立即以原來的速度返回，向右運動，設(shè)運動的時間為￡秒.

PQ

」I」[>

OA

(1)當(dāng)￡=0.5時，求點0到原點〃的距離；

⑵當(dāng)￡=2.5時，求點0到原點。的距離:

⑶當(dāng)點。到點A的距離為4時，求點尸到點。的距離.

題型4利用絕對值/偶次方的非負性求解

QO的嫉

根據(jù)絕對值或平方的非負性可知，如果幾個非負數(shù)和為0,那么每一個非負數(shù)為0.I

■——―_■_—_-_■_————?_-_,_-_-_._?―一.-_———_—_?_-_■—■-I

10.(2024七年級上-全國?專題練習(xí))根據(jù)間＞0這一性質(zhì)，解答下列問題：

(I)當(dāng)Q=_時，|。一4|有最小值，此時最小值為二

(2)當(dāng)a取何值時，|。一1|+3有最小值？這個最小值是多少？

(3)當(dāng)a取何值時，4一間有最大值？這個最大值是多少？

11.(24-25七年級上?河南南陣?階段練習(xí))用字母a表示一個有理數(shù)，同一定是非負數(shù)，也就是它的

值為正數(shù)或者0,所以間的最小值為0,而一|a|一定是非正數(shù)，即它的值為負數(shù)或者0,所以一⑷有最大

值為0,根據(jù)這個結(jié)論完成以下叵題：

⑴同+1有最值為;5—|可有最_____值為；

(2)當(dāng)。=時,口一1|+2有最______值_____：

(3)當(dāng)。=時，9一|。-3|有最值_____；

(4)當(dāng)|a+3|+g-2|=0,求Q+b的值

12.(24-25七年級上?湖南株洲?期中)已知有理數(shù)a、b滿足|a—6|+(b+5產(chǎn)=0,

⑴求匕一。一2024的值;

(2)如圖，在一個無蓋正方體展開圖中，相對的兩個面的數(shù)字互為相反數(shù)，求x—y+2024的值.

題型5比較有理數(shù)的大小

◎0?嫉

比較數(shù)大小數(shù)軸最直接；數(shù)比0大，負數(shù)比0?。煌摻^對值，值大數(shù)反小.

13.(25-26七年級上-全國-課后作業(yè))比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

⑴+(-3)和-(-4)；

(2)—(—2)和一|+2|；

⑶+|-3|和|一(+5)|；

⑷-(+9和-1-泉

14.(24-25七年級上?廣西貴港?期末)有理數(shù)：-3攝-|-1|,3.2,0,2,-5.

IIIIIIIIIIIII上

6-5-4-3-2-10123456

(1)在如圖所示的數(shù)軸上畫出表示這6個數(shù)的點；

(2)把這6個數(shù)用“V”連接起來；

⑶這6個數(shù)中，絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)有幾個；

(4)由(1)可知在數(shù)軸上表示這6個數(shù)的點中，其中兩點之間最大距離是多少？(列式計算)

題型6根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子正負

15.（24-25七年級上?甘肅平?jīng)?期中）有理數(shù)a,b,。在數(shù)軸上的位置如圖所示，求向+小+畝的值.

1I1I>

c0ba

16.（24-25七年級上-江蘇無錫?期中）有理數(shù)&、b、。在數(shù)軸上的位置如圖:

___________I11」>

a0b。

（1）判斷正負,用“〉”或“<”填空：c-b_ptQ+b_O,c-aj）.

（2）化簡：\c-b\-^\a+b\-\c-a\.

17.（24-25七年級上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知有理數(shù)a、5、。在數(shù)軸上的位置如圖所示:

c-1b0a1

(1)判斷正負，用“>”、"V”或“="填空：c-a_O,a-b_O：

(2)化簡:\c-a\+\a-h\-\b\.

18.（24-25七年級上-重慶巴南-階段練習(xí)）有理數(shù)a、&。在數(shù)軸上的位置如圖：

1111A

a0bc

（1）用“>”或“V”填空：a0,a+c____0,b-a____0,a+bc-b.

⑵化簡：lail+筆-鬻+土

題型7有理數(shù)混合運算

g艮

運算順序：如果無括號，那么要按照“先乘除，后加減”的順序進行計算：如果有括號，要先計算括號i

里面的，再算括號外面的；同一級運算中，要按從左到右的順序來計算，并要合理運用運算律簡化運！

算.!

________________________________________________________________________________________________!

19.(24-25七年級上-陜西西安-開學(xué)考試)計算

(1)4x11%+24.6x2,一3%

(2)2.35+4.75—4.5x(0.2+品

⑶熹x(6.75+卷-2.4+4打2。

1177

(4)-x0.8754--x—+—x0.5

31O101D

20.(24-25七年級上?吉林四平?階段練習(xí))小明在計算題目：24x3+2+0—3時，步驟如下:

解：原式=6+2+g—2+g.......第一步

=6+6-4........第二步

=3........第三步

根據(jù)小明的計算過程解答下列過程：

⑴小明的計算過程中開始出現(xiàn)錯誤的步驟是第步：

(2)寫出該題正確的解題過程.

21.(24-25六年級下-江蘇南京-期末)計算下面各題.

(1)672—372+6

(2)7.25x(64-2.8)

⑶”逃

⑷齊+3

⑸的白卜8+得

嗚十上(；削

22.(24-25七年級上?重慶?開學(xué)考試)計算:

⑴3.5+1g+6.5x[12xQ-0.3)-15%]

⑵儂*、2?+[(3套+4.375)+1叫

(3)2026-10.5X+8(十(26-1.6-e-^x2.5)

(4)t“(0.25+；)X嘉-0.3X(0.6-0]

(5)22.5+(3卜1.8+1.21x§]+；

(6)(31-(0.4-1)x4.5]+(3.25-1

23.（24-25七年級上?甘肅天水?階段練習(xí)）計算

(1)(-28)-(+12)-(-3)-(+6)

(2)(-25)+(-7)-(-15)-(-6)+(-11)-(-2)

(3)1；+(-6.5)+3|+(-1.25)+23

(4)5-(-0.25)-|-8|-^

題型8有理數(shù)混合運算中的簡便運算

24.（24-25七年級上?河北保定?開學(xué)考試）能簡便計算的用簡便方法計算.

2024

(1)2024x

2025

⑵$27xfl

(3)12.5x(36-73.6

(4)14+0.65x^-1x14+^x0.65

/1a3f1J

25.（24-25七年級上?湖南永舛-開學(xué)考試）計算下面各題，能簡算的要簡算

⑴號咤X(A3]

(2)3.28x37+6.4x32.8-328x1%

(3)9.6-114-74-^x4

（4浣+3+春溫

26.（24-25七年級上-四川成都?開學(xué)考試）計算，能簡算要簡算

⑴199愣41997

1999

(2)9喘x?

17?

⑶石+石+?+???++高+高+…+瑞）

⑷2020?2020翳

⑸(2.8+*+琦)+信+/勺

⑹升L+K+H+M

題型9有理數(shù)混合運算中的常見運算技巧

有一些計算題，數(shù)字比較復(fù)雜，如果硬算，不但費時而且容易出錯，甚至有些題目根本無法硬算.這樣的

題目就需要使用一些計算技巧，使運算變得簡單.

■■■■■■■■■■■一■■■-MBS?■■■■■>一■■■■■■■——■（■W■BMM■■■■,■■■■■

27.（銜接點01運算與技巧（培優(yōu)講義）-2025年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版））計算下面各題.

②弓+"得+2）、弓+表+A+2）一（""專+2+白卜弓+會+白）

28.（23-24七年級上-江蘇揚井-階段練習(xí)）我們知道a+8b+a=翳與拒為倒數(shù)，所以求a+b

的值，就是求匕子a的值的倒數(shù).

數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計算；一1一弓一習(xí)，斌斌同學(xué)仆細思考了一番，用了一種不同的方法解決

了這個問題.

斌斌的解法：原式的倒數(shù)為（?3+（_a）=@_3乂（_12）=_4+10=6,所以_a+（?3=也

（1）a的倒數(shù)為:

（2）若外力互為倒數(shù)，則ab=：

⑶請你運用斌斌的解法解答問題，計算：一!.@—:一?.

oO<

29.（24-25七年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）【情景創(chuàng)設(shè)】

;，沾我焉是一組有規(guī)律的數(shù)，我們?nèi)绾吻筮@些連續(xù)數(shù)的和呢？

NblZZU.5U

【探索活動】

（1）根據(jù)規(guī)律第6個數(shù)是,右是第個數(shù)；

【方法屬示】

7^7+57+7^7+7^+37=1+++）—3+應(yīng)―：=]—'=這種方法叫“裂項相消”，

構(gòu)造只有符號不同的中間項，將其全部消掉.

【實踐應(yīng)用】

根據(jù)上面獲得的經(jīng)驗完成下面的計算：

（2，）-2+-6+—12+"+—132，.

（3）1x2x3+2x3x4+3x4x5+…+9x10x11,

30.（24-25七年級上?山東德州?期中）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+210°.

首先設(shè)s=1+2+22+23+24+…+21。。①，

則2s=2+22+23+24+25+??+21。1②,

②-①得S=

即1+2+22+23+24+…+2100=2101-1.

以上解法，在數(shù)列求和中，我們稱之為“錯位相減法”.

請你根據(jù)上面的材料，解決下列問題：

(1)1+2+22+23+24+-+2200°.

(2)求1+3+32+33+34+…+32。22的值.

(3)若Q為正整數(shù)且QW1,求1+a+Q2+Q3+Q4+…+Q2020.

31.（25-26七年級上?仝國?課后作業(yè)）在。?40%范圍內(nèi)，當(dāng)溫度每上升1%時，某種金屬絲約伸長

0.C02mm；反之，當(dāng)溫度每下降時，金屬絲約縮短0.002mm.把20氣的這種金屬絲加熱到30。配再使它冷

卻降溫到5汽，金屬絲的長度經(jīng)歷了怎樣的變化？最后的長度比原長度約伸長多少亳米？

題型10有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用

32.（24-25七年級上?河北邯鄲?期末）最近幾年時間，全球的新能源汽車發(fā)展迅猛，尤其對于我國來說,

新能源汽車產(chǎn)銷量都大幅增加，小明家新?lián)Q了一輛新能源純電汽車，他連續(xù)7天記錄了每天行駛的路程（如

表）.以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“一”，剛好50km的記為表”.

第一第二第三第四第五第六第七

天天天天天天天

路程（km）-8-12-160+22+31+33

（1）請求出小明家的新能源汽車這七天一共行駛了多少千米？

（2）已知汽油車每行駛100km需用汽油5.5升，汽油價8.2元/升，而新能源汽車每行駛100km耗電量為15度,

每度電為0.56元，請估計小明家換成新能源汽車后這7天的行駛費用比原來節(jié)省多少錢？

33.（25-26六年級上-黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試）有小姜、小儀、小琳三個小朋友，小姜行走的速度為每

分鐘80米，小儀的速度為小姜速度的g,小琳的速度為小儀速度的提現(xiàn)在小姜從力地，小儀和小琳從8地

同時出發(fā)相向而行.

（1）求小儀和小琳行走的速度分別為每分鐘多少米？

（2）若小姜和小儀相遇后，過了5分鐘又與小琳相遇，那么力、￡兩地相距多少米？

（3）在（2）的條件下，小姜與小琳相遇后，又過了10分鐘小姜開始原路返回，速度是原來的*當(dāng)小姜與

小琳再次相遇時，求小姜與力地的距離.

34.（2025七年級上?浙江?專題練習(xí)）（1）王叔叔從H地出發(fā)開車到“地，已經(jīng)行駛了3小時，每小時

行駛80千米，再行全程的:就能到達6地，力地到8地一共多少千米？（根據(jù)題意把線段圖補充完整，標(biāo)明

信息與問題，并解答）

A地B地

（2）王叔叔到8地之后，在一個停車場停車5小時20分鐘，根據(jù)下面停車收費標(biāo)準(zhǔn)，他需要付多少錢?

4地車輛停放服務(wù)收費標(biāo)價公示牌

計費方式：計時收費計費單位：元/輛

收費類第一小時第一小時

型內(nèi)后

3元/半小

小型車8元

時

第一小時后不足半小時按半小時計算，連續(xù)停車24小時內(nèi)最高收費不超過60元，超過24小時重新計算.

題型11科學(xué)記數(shù)法

35.（22-23六年級上?山東威海?期中）商人吳某于上周日買進某農(nóng)產(chǎn)品10000斤，每斤2.2元.下表為

本周內(nèi)該農(nóng)產(chǎn)品每天的批發(fā)價格匕前一天的漲跌情況（購進當(dāng)日的批發(fā)價格為每斤2.5元）.

星期—?二三四五

與前一天的價格漲跌情況（元）4-0.3-0.1+0.2+0.25-0.4

當(dāng)天的交易量（斤）25002000300015001000

（1）星期四該農(nóng)產(chǎn)品價格為每斤多少元？

（2）本周內(nèi)該農(nóng)產(chǎn)品的最高價格為每斤多少元？最低價格為每斤多少元?

⑶吳某在本周的買賣中共賺了約多少錢？（精確到百位）

36.（22-23七年級下-安徽亳見、-期末）2020年中國外賣訂單近150億單，消耗一次性筷子數(shù)量將超過

45萬噸，近900億雙.900億雙一次性筷子耗費1.55x106立方米木材，若木材利用率為60%,則耗費木材

2.53x106立方米.一棵生長了20年的大樹相當(dāng)于0.8立方米的木材.

（1）1立方米的木材約能生產(chǎn)多少雙一次性筷子？（精確到百位）

（2）2020年我國消費的一次性筷子所耗費的木材要砍伐多少棵生長了20年的大樹？

37.（21-22六年級上?全國-課后作業(yè)）據(jù)不完全統(tǒng)計，某市至少有6XIO,個水龍頭漏水，這些水龍頭每

月流失的總水量約1.68X105立方米.

（1）每個水龍頭每月的漏水量約多少立方米？（結(jié)果精確到0.1立方米）

（2）如果該市每立方米水皆是1.9元,這些水龍頭?年漏水量的總水踐是多少萬元？

題型12有理數(shù)混合運算的新定義問題

38.（24-25七年級上-福建福州-期末）小芳在學(xué)了《有理數(shù)的運算》后，對運算產(chǎn)生了濃厚興趣.她借

助所學(xué)知識，定義了一種新運算“十”，其規(guī)則如下：a9b=axb+4.根據(jù)此定義，解答下列問題：

（1）求2十（-3）的值；

⑵求一5十（一25十J的值.

39.（23-24七年級上?山西大同?階段練習(xí)）我們規(guī)定一種新定義：a※力=2ab-g,其中符號“※”是

我們規(guī)定的一種新定義，如3※（-2）=2x3x（—2）一3=-12+1=—11，根據(jù)新定義計算：

⑴（一5怦4；

（2）（—3）※（—6）.

40.（2025?河北?模擬預(yù)測）已知勿為有理數(shù)，定義運算符號：當(dāng)血>一1時，=當(dāng)m<—1時,

※機=機；當(dāng)m=—1時，Xm=0.

⑴※（-2）=_____>派（-3+2）=______:

⑵計算：派［（_3）-※（-9+5）.

41.（24-25七年級上?山東濟南?期中）定義新運算：Q*匕=3一%。售匕=白（右邊的運算為平常的加、

減、乘、除）.

例如：3*7=|-i=±307=^=±

若cG）b=Q*b,則稱有理數(shù)a,。為“隔一數(shù)對”.

例如：2*3=11=1,203=^=i203=2*3,所以2,3就是一對“隔一數(shù)對

/JbZX.So

(1)下列各組數(shù)是“隔一數(shù)對”的是_(請?zhí)钚蛱?

①a=-36=—g；②Q=—l,b=1

(2)計算：(-3)*4-(-3)04+(-2024)*(-2024)

(3)已知兩個連續(xù)的非零整數(shù)都是“隔一數(shù)對”，計算：

1024-203+304+4054-...+202302024.

題型13解絕對值方程

??■■■■?W■-MHi■-aHHI■-w?■MM

在解含有絕對值的方程時需要運用分類討論思路，轉(zhuǎn)化為一般方程再解方程即可.

42.(24-25七年級下?河南南隹?期中)【閱讀材料】

由絕對值的定義可知.若優(yōu)|=4,則無=4或%=-4：若|y|二Q(aNO),則y=±Q.我們可以根據(jù)上面的

定義，解一些簡單的絕對值方程

例如，解方程㈤+1=3

解法一：當(dāng)%>0時，原方程化為x+1=3,解得％=2；

當(dāng)x<0時.原方程化為一x+1=3,解得％=-2,

所以原方程的解為％=2或%=-2

解法二：移項得因=3—1,合并同類項得㈤=2,根據(jù)絕對值的意義知無=±2.

所以原方程的解為x=2或無=-2.

【解決問題】

請你用兩種方法解方程2|加一5=3.

43.(24-25七年級上?湖北孝感?期末)閱讀下列材料并解決有關(guān)問題:

-x(x>0)

我們知道因=0(%=0),現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式氏一1|+

—x(x<0)

|x+2|時，可令=0和x+2=0,分別求得x=1和％=—2,我們稱1,一2分別為氏一1|與氏+2|的零

點值.

在數(shù)軸I：分別找出零點值1,一2對應(yīng)點，這兩點將數(shù)軸分為三部分(如圖)，在有理數(shù)范圍內(nèi)，這三部分可

將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：(1)無〈一2；(2)-2<x<1；(3)x>1.從而

化簡代數(shù)式|x-l|+|x+2|可分以下3種情況：

----------1------------1------1------->

-201

(1)當(dāng)XV—2時，原式=一。一1)一(%+2)=-2%—1；

(2)當(dāng)一2$“<1時，原式=一(%—1)十(％+2)=3；

(3)當(dāng)3之1時，原式=%—1+(%+2)=2%+1.

f-2x-l(x<-2)

綜上討論，原式=3(-2<%<1).

I2x+l(x>l)

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

(1)直接寫出|2x+4|和優(yōu)一4|的零點值分別為和；

(2)化簡代數(shù)式|2%+4|—氏一4|；

(3)解方程|2%+4|—|%—4|=9.

題型14利用絕對值幾何意義求最值

-------------正--------------------------------------------------丁

解題方法：可利用奇點偶段解決幾個絕對值式子相加求最小值問題.

步驟：求出每個絕對值等于0時X的對應(yīng)值，把所有的對應(yīng)值從小到大排列，如果題目中有奇數(shù)個零點，！

則取“中間點”的對應(yīng)值時，整人式子取最小值，如果題目中有偶數(shù)個零點，則取“中間段”里的任意!

值，整個式子都能取到最小值.；

簡單來說就是：若絕對值的個數(shù)為奇數(shù)，則當(dāng)X對應(yīng)的點取中間點時，式子有最小值：；

若絕對值的個數(shù)為偶數(shù)，則當(dāng)X對應(yīng)的點在中間段（包括端點）時，式子有最小值.

I

解題大招：奇取中間點，偶取中間段.

■■■■■>■■MM?■MM?■■■■■■■W?■MM?■■■■■■?MM?I

44.（24-25七年級上?河北唐山?階段練習(xí)）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立

起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)，我們知道x的幾何意義是在數(shù)軸

上的數(shù)x對應(yīng)的點與原點的距離，即㈤=|x-0|,也就是說|川表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)的點之間的距

離?

Q(%)BOAB

0~b04Eb

圖1圖2

B[0BOA

iai

~ba0b0a

圖3圖4

閱讀下面材料:

點、4、6在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、D,48兩點之間的距離表示為|AB卜

當(dāng).4、〃兩點中有一點在原點時,不妨設(shè)點力在原點，如圖1,|,4網(wǎng)=|。陽=/=|0一可；

當(dāng)4、4兩點都不在原點時,

①如圖2,點力、8都在原點的右邊，|A8|=|08|一|。川二網(wǎng)一同=b-Q=|Q-〃：

②如圖3,點力、8都在原點的左邊，|力8|=|08|—|0川=網(wǎng)一同=一匕+。=|。一〃：

③如圖4,點力、8在原點的兩邊，|/48|=|。8|+|。力|=網(wǎng)+回=一匕+。=似一匕|.

綜上，數(shù)軸上力、8兩點之間的距離|48|=|a—b|

⑴回答下列問題:

①數(shù)軸上表示3和7的兩點之間的距離是二

數(shù)軸上表示一3和一5的兩點之間的距離是

數(shù)軸上表示2和一3的兩點之間的距離是」

②數(shù)軸上表示x和一3的兩點之間的距離4,那么x的值是」

⑵深入探究:

①請你在草稿紙上畫出數(shù)軸，當(dāng)表示數(shù)x的點在3與一1之間移列時，|x-3|+|x+1|的值總是一個固定的

值為

②若氏+3|+氏一2||有最小值，則最小值是

45.（24-25七年級上?湖南郴井-期中）閱讀材料：

數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具，運用數(shù)形結(jié)合的方法可以解決許多問題.例如，兩個有理數(shù)在數(shù)軸上

對應(yīng)的點之間的距離可以用這兩個數(shù)的差的絕對值表示：如，在數(shù)軸上，有理數(shù)3與1對應(yīng)的兩點之間的

距離為|3-1|=2；有理數(shù)一8與一5對應(yīng)的兩點之間的距離為|一8—（-5）|=3；

如圖，在數(shù)軸上右埋數(shù)a對應(yīng)的點為點小的埋數(shù)b對應(yīng)的點為點從力、〃兩點之間的距離表示為|a-勿或g-a|,

記為|4B|=\a-b\=\b-a\.

AB

--111----->

a--0---h

解決問題：

（1）數(shù)軸上有理數(shù)一6與3對應(yīng)的兩點之間的距離：|一6—3|=_；

（2）若有理數(shù)工與2對應(yīng)的兩點之間的距離為5,即以一2|=5,則x等于二

運用拓廣：

（3）如圖，點M,N,P是數(shù)軸上的三點，點M表示的數(shù)為4,點N表示的數(shù)為一2,動點〃表示的數(shù)為x.

NM

-3-2-1012345

①若點夕在點M,N兩點之間，則|PM|+\PN\=_；

②若點U在不點M,N兩點之間，且1PMi+\PN\=10,則點少表示的數(shù)%為二

（4）當(dāng)|無+3|+氏一7|取最小值時，整數(shù)A?的所有取值的和為

46.（23-24七年級上-陜西西安-階段練習(xí)）如圖，小痙把東、西大街表示成一條數(shù)軸，把公交站的位置

用數(shù)軸上的點表示出來，其中鼓樓站的位置記為原點，正東方向為正方向，公交車的一站地為一個單位長

度（假設(shè)每站距離相同）.請你根據(jù)圖形回答下列問題：

鐵

塔橋廣端太

寺西梓濟鐘履差東

，門口街樓門市門

-

(

-

，，，i

3

2

O

-4

-3

-2

-1

__.

____

是__

地方

站的

等于兩

的距離

廣濟街

(1)到

信

以上

根據(jù)

請你

為2,

距離

點的