1.3解直角三角形第2課時

解直角三角形的應(yīng)用數(shù)學(xué)（浙教版）九年級

下冊第1章

解直角三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1．能從實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，并能靈活選擇三角函數(shù)解決問題；2．能運(yùn)用解直角三角形知識解決仰角和俯角、方向角、坡度有關(guān)的實(shí)際問題；3、在解題過程中進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學(xué)思想，并從這些問題中歸納出常見的基本模型及解題思路；

溫故知新在直角三角形中，除直角外，由已知兩元素(必有一邊)

求其余未知元素的過程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依據(jù)(2)兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90o；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝accosA＝ＡＣＢabcbctanA＝ab

導(dǎo)入新課某探險者某天到達(dá)如圖所示的點(diǎn)A處時，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地，海拔為3500m的山峰頂點(diǎn)B處的水平距離.他能想出一個可行的辦法嗎？通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信你也行.．AB．講授新課知識點(diǎn)一

利用解直角三角形解決實(shí)際問題【例1】如圖，秋千鏈子的長度為3m，靜止時的秋千踏板（大小忽略不計）距地面0.5m．秋千向兩邊擺動時，若最大擺角（擺角指秋千鏈子與鉛垂線的夾角）約為60°，則秋千踏板與地面的最大距離為多少？0.5m3m60°講授新課0.5m3mABCDE60°分析：根據(jù)題意，可知秋千踏板與地面的最大距離為CE的長度.因此，本題可抽象為：已知：DE=0.5m，AD=AB=3m，∠DAB=60°，△ACB為直角三角形，求CE的長度.解：∵∠CAB=60°，AD=AB=3m，3mABDE60°C∴AC=ABcos∠CAB=1.5m，∴CD=AD－AC=1.5m，∴CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板與地面的最大距離為2.0m.講授新課利用解直角三角形解決實(shí)際問題的一般過程：1.將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；2.根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)去解直角三角形；畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題3.得到數(shù)學(xué)問題的答案；4.得到實(shí)際問題的答案.歸納：講授新課練一練1、“十一”假期，小明和同學(xué)一起到游樂場游玩，游樂場的大型摩天輪的半徑為15m,旋轉(zhuǎn)1周需要24min（勻速）．小明乘坐最底部（離地面約1m）的車廂按逆時針方向旋轉(zhuǎn)開始1周的觀光，啟動4min時，小明離地面的高度是__________m.

8.5講授新課例4、秋千吊繩的長度為4m，當(dāng)秋千擺動時，吊繩擺動的角度為90°．則秋千擺動的最高位置與最低位置的高度差為__________m.（結(jié)果保留根號）

講授新課知識點(diǎn)二

應(yīng)用三角函數(shù)解決與方位角有關(guān)的問題方向角：如圖，指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角．30°45°BOA東西北南講授新課求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有一個角的條件，因此這兩個三角形都不能解，所以要用方程思想，先把兩個三角形的公共邊AD看成已知，用含AD的代數(shù)式表示BD和CD，由BC＝20nmile建立關(guān)于AD的方程，從而求得AD.BACD東北【例2】如圖，海中有一個小島A，該島四周10nmile內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20nmile后到達(dá)該島的南偏西25°的C處。之后，貨輪繼續(xù)向東航行.【分析】這船繼續(xù)向東航行是否安全，取決于燈塔C到AB航線的距離AD是否大于10nmile.若AD＞10nmile，則不會有觸礁危險，否則有危險.問題：你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行會有觸礁的危險嗎？你是怎樣想的？55°25°20nmile如何求AD的長呢？典例精析講授新課過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)AD=x,解得所以，這船繼續(xù)向東航行沒有觸礁的危險.∵BC=BD-CDx解：根據(jù)題意可知，∠BAD=55o，∠CAD=25o，BC=20nmile.∴∴∴x·tan55°-x·25°=20

BACD東北55°20nmile25°可借助計算器求解講授新課練一練1、

如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01nmile）？65°34°PBCA講授新課解：如圖，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130nmile.65°34°PBCA講授新課知識點(diǎn)三

應(yīng)用三角函數(shù)解決仰俯角問題想一想：如圖，小明想測量塔CD的高度．他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處，測得仰角為60°，那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1m）分析：求CD，無論是在Rt△ACD中，還是在Rt△BCD中，只有一個角的條件，因此這兩個三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代數(shù)式表示AC和BC，由AB＝50m建立關(guān)于CD的方程，從而求得CD.30°60°50m講授新課30°60°50mx解:如圖,根據(jù)題意可知,∠A=30o,∠DBC=60o,AB=50m.設(shè)CD=x,所以，該塔約有43m高.∵AB=AC-BC

講授新課練一練1、熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.ABCDαβ仰角水平線俯角分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，a=30°，β=60°。Rt△ABD中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識求出BD的長度；類似地可以求出CD的長度，進(jìn)而求出BC的長度，即求出這棟樓的高度。講授新課解：如圖，a=30°,β=60°，AD＝120。答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ講授新課知識點(diǎn)四

應(yīng)用三角函數(shù)解決與傾斜角有關(guān)的問題做一做：某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能,把傾角由原來的40°減至35°,已知原樓梯的長度為4m,調(diào)整后的樓梯會加長多少?樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.01m).BADC┌4m35°40°分析：如圖，①求調(diào)整后的樓梯會加長多少，即求

；②求樓梯多占多長一段地面，即求

.AB-BDAD在Rt△BCD中，已知一邊和一角，可以求出BC、CD的長，進(jìn)而在Rt△ABC中求出AB、AC，進(jìn)而求出AB-BD和AD.如何求AB、AD的長呢？講授新課BADC┌4m35°40°

∴調(diào)整后的樓梯會加長約0.48m.講授新課∴樓梯多占約0.61m長的一段地面.BADC┌4m35°40°

當(dāng)堂檢測1.課外活動小組測量學(xué)校旗桿的高度.當(dāng)太陽光線與地面成30°角時，測得旗桿在地面上的影長為24米，那么旗桿的高度約是()A.12米B.米

C.24米

D.米B當(dāng)堂檢測2.如圖，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，則船與觀測者之間的水平距離BC=_________米.1003.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為________.km當(dāng)堂檢測4.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距600km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成30°角的方向飛行，飛行到中途，再沿與原來的飛行方向成45°角的方向繼續(xù)飛行直到終點(diǎn)．這樣飛機(jī)的飛行路程比原來的路程600km遠(yuǎn)了多少？解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AD＋BD＝AB，∴在Rt△BCD中，

在Rt△ACD中，750－600≈150(km)．答：飛機(jī)的飛行路程比原來的路程600km遠(yuǎn)了150km.∴AC＋BC＝(km).當(dāng)堂檢測5、如圖，某同學(xué)在測量建筑物AB的高度時，在地面的C處測得點(diǎn)A的仰角為30°，向前走60米到達(dá)D處，在D處測得點(diǎn)A的仰角為45°，則建筑物AB的高度為__________米．

當(dāng)堂檢測6、水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：(1)斜坡CD的坡角α(精確到1°)；

ADBCi=1:2.5236αi=1:3解：

斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4，由計算器可算得α≈22°.故斜坡CD的坡角α為22°.當(dāng)堂檢測解：分別過點(diǎn)B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E、F，由題意可知BE=CF=23m,EF=BC=6m.在Rt△ABE中，(2)壩底AD與斜坡AB的長度(精確到0.1m).EFADBCi=1:2.5236αi=1:3當(dāng)堂檢測=69+6+57.5=132.5(m).在Rt△ABE中，由勾股定理可得在Rt△DCF中，同理可得故壩底AD的長度為132.5m，斜坡AB的長度為7