2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——降維分析與統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法探討考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪一項(xiàng)不屬于降維方法的主要目標(biāo)？A.減少數(shù)據(jù)的維度B.壓縮數(shù)據(jù)的大小C.提高模型的預(yù)測(cè)精度D.保持?jǐn)?shù)據(jù)的主要信息2.主成分分析（PCA）的主要思想是？A.將原始變量轉(zhuǎn)換為一組正交的變量，這些變量按照它們解釋的方差大小排序B.將原始變量轉(zhuǎn)換為一組線性組合，這些組合能夠最大化類間差異C.通過迭代優(yōu)化找到一個(gè)聚類中心，使得樣本點(diǎn)到聚類中心的距離最小D.根據(jù)樣本點(diǎn)之間的距離將樣本劃分為不同的類別3.線性判別分析（LDA）的主要目的是？A.找到數(shù)據(jù)中的潛在因子結(jié)構(gòu)B.將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間，并保留盡可能多的信息C.將數(shù)據(jù)劃分為不同的類別，并找到一個(gè)線性邊界來區(qū)分這些類別D.尋找數(shù)據(jù)中的異常值4.下列哪種方法屬于非監(jiān)督學(xué)習(xí)方法？A.支持向量機(jī)（SVM）B.決策樹C.K近鄰算法（KNN）D.K均值聚類5.評(píng)估分類模型性能的指標(biāo)中，哪個(gè)指標(biāo)更能反映模型對(duì)稀有事件的檢測(cè)能力？A.準(zhǔn)確率B.召回率C.F1值D.精確率6.在K近鄰算法（KNN）中，K值的選擇對(duì)模型性能有什么影響？A.K值越大，模型的復(fù)雜度越高B.K值越小，模型對(duì)噪聲越敏感C.K值的選擇會(huì)影響模型的泛化能力D.K值的選擇與模型性能無關(guān)7.樸素貝葉斯分類器基于什么樣的假設(shè)？A.特征之間相互獨(dú)立B.特征之間存在復(fù)雜的依賴關(guān)系C.類別標(biāo)簽是連續(xù)的D.類別標(biāo)簽是順序的8.決策樹算法的優(yōu)點(diǎn)是什么？A.對(duì)異常值不敏感B.能夠處理非線性關(guān)系C.模型解釋性強(qiáng)D.訓(xùn)練速度快9.支持向量機(jī)（SVM）的核函數(shù)的作用是什么？A.將數(shù)據(jù)映射到高維空間B.降低數(shù)據(jù)的維度C.增加模型的復(fù)雜度D.減少模型的訓(xùn)練時(shí)間10.在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)過程中，交叉驗(yàn)證的主要目的是什么？A.提高模型的訓(xùn)練速度B.減少模型的過擬合C.選擇合適的模型參數(shù)D.評(píng)估模型的泛化能力二、填空題（每題2分，共20分）1.降維方法可以將高維數(shù)據(jù)投影到低維空間，這個(gè)過程通常會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)的__________。2.主成分分析（PCA）中，每個(gè)主成分都是原始變量的線性組合，其系數(shù)由__________決定。3.線性判別分析（LDA）的目標(biāo)是找到一組線性組合，使得投影后不同類別樣本之間的__________最大化，而類內(nèi)差異最小化。4.K近鄰算法（KNN）中，分類規(guī)則通常是基于樣本點(diǎn)的__________進(jìn)行決策的。5.決策樹算法是一種__________學(xué)習(xí)算法，它通過遞歸地劃分?jǐn)?shù)據(jù)空間來構(gòu)建決策樹模型。6.評(píng)估分類模型性能時(shí)，混淆矩陣是一個(gè)重要的工具，它可以用來計(jì)算__________、召回率和F1值等指標(biāo)。7.支持向量機(jī)（SVM）通過尋找一個(gè)最優(yōu)的__________來將不同類別的樣本點(diǎn)分開。8.在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)過程中，過擬合是指模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上表現(xiàn)很好，但在__________上表現(xiàn)較差的現(xiàn)象。9.交叉驗(yàn)證是一種常用的模型評(píng)估方法，它可以將數(shù)據(jù)集劃分為__________個(gè)互不重疊的子集。10.半監(jiān)督學(xué)習(xí)是指利用__________和未標(biāo)記數(shù)據(jù)來訓(xùn)練機(jī)器學(xué)習(xí)模型的方法。三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述降維分析的意義和主要應(yīng)用領(lǐng)域。2.與PCA相比，LDA在處理分類問題時(shí)有哪些優(yōu)勢(shì)？3.K近鄰算法（KNN）有哪些優(yōu)缺點(diǎn)？在實(shí)際應(yīng)用中需要注意哪些問題？4.簡(jiǎn)述支持向量機(jī)（SVM）的基本原理，并說明核函數(shù)的作用。四、計(jì)算題（每題10分，共30分）1.假設(shè)有一組二維數(shù)據(jù)，其協(xié)方差矩陣為$$\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$$，請(qǐng)計(jì)算其特征值和特征向量，并解釋這兩個(gè)主成分的物理意義。2.假設(shè)有一個(gè)三分類問題，使用LDA將數(shù)據(jù)投影到二維空間。已知投影后的數(shù)據(jù)矩陣為$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}$$，請(qǐng)計(jì)算每個(gè)類別的均值向量，并畫出投影后的數(shù)據(jù)點(diǎn)及類別邊界（假設(shè)類別邊界是線性的）。3.假設(shè)有一個(gè)二分類問題，使用KNN算法進(jìn)行分類。給定一個(gè)待分類樣本點(diǎn)，其最近的5個(gè)鄰居分別屬于正類和負(fù)類各2個(gè)。請(qǐng)根據(jù)不同的分類規(guī)則（如多數(shù)表決、加權(quán)表決）對(duì)該樣本點(diǎn)進(jìn)行分類。五、綜合應(yīng)用題（20分）假設(shè)你是一名數(shù)據(jù)分析師，需要對(duì)一組包含多個(gè)特征的客戶數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，以便更好地理解客戶的行為并進(jìn)行精準(zhǔn)營(yíng)銷。請(qǐng)?jiān)敿?xì)說明你將如何運(yùn)用降維分析和統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法來解決這個(gè)問題，包括具體的步驟、方法和參數(shù)選擇等，并解釋你的理由。試卷答案一、選擇題1.C解析：降維的主要目標(biāo)在于減少維度、壓縮數(shù)據(jù)大小和保持主要信息，而非直接提高模型預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)精度可能是間接受益。2.A解析：PCA的核心是將原始變量轉(zhuǎn)換為一組正交的、按解釋方差大小排序的主成分。3.C解析：LDA旨在通過線性判別函數(shù)最大化類間差異，最小化類內(nèi)差異，從而區(qū)分不同類別。4.D解析：K均值聚類是一種典型的非監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，用于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的潛在聚類結(jié)構(gòu)。5.B解析：召回率衡量模型找到的正類樣本占所有正類樣本的比例，更能反映對(duì)稀有事件的檢測(cè)能力。6.C解析：K值的選擇會(huì)影響模型的泛化能力，較小的K值可能導(dǎo)致過擬合，較大的K值可能導(dǎo)致欠擬合。7.A解析：樸素貝葉斯分類器基于特征條件獨(dú)立的假設(shè)進(jìn)行分類。8.C解析：決策樹模型具有較好的可解釋性，能夠清晰地展示決策過程。9.A解析：核函數(shù)可以將數(shù)據(jù)映射到高維空間，使得原本線性不可分的數(shù)據(jù)變得線性可分。10.D解析：交叉驗(yàn)證的主要目的是通過使用未見數(shù)據(jù)評(píng)估模型的泛化能力。二、填空題1.信息損失解析：降維過程不可避免地會(huì)丟失一部分?jǐn)?shù)據(jù)信息。2.協(xié)方差矩陣的特征向量解析：PCA中主成分的方向由協(xié)方差矩陣的特征向量決定。3.距離解析：LDA目標(biāo)是最大化投影后不同類別樣本間的距離，最小化同類樣本間的距離。4.距離解析：KNN分類通?；谂c待分類樣本距離最近的K個(gè)鄰居的類別信息進(jìn)行決策。5.樹形結(jié)構(gòu)解析：決策樹通過遞歸劃分?jǐn)?shù)據(jù)空間構(gòu)建出樹形結(jié)構(gòu)的決策模型。6.精確率解析：混淆矩陣是計(jì)算精確率、召回率、F1值等分類評(píng)估指標(biāo)的基礎(chǔ)。7.分離超平面解析：SVM通過尋找一個(gè)最優(yōu)分離超平面來區(qū)分不同類別的樣本點(diǎn)。8.測(cè)試集（或未見數(shù)據(jù)）解析：過擬合指模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上表現(xiàn)好，但在未參與訓(xùn)練的測(cè)試數(shù)據(jù)上表現(xiàn)差。9.K（或若干）解析：交叉驗(yàn)證通常將數(shù)據(jù)集劃分為K個(gè)互不重疊的子集進(jìn)行多次訓(xùn)練和評(píng)估。10.標(biāo)記數(shù)據(jù)解析：半監(jiān)督學(xué)習(xí)利用已標(biāo)記數(shù)據(jù)和未標(biāo)記數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練。三、簡(jiǎn)答題1.降維分析的意義在于減少數(shù)據(jù)的維度，降低數(shù)據(jù)復(fù)雜度，去除冗余信息，從而提高數(shù)據(jù)處理效率，降低存儲(chǔ)成本，改善模型性能，并有助于數(shù)據(jù)可視化。主要應(yīng)用領(lǐng)域包括生物信息學(xué)（基因表達(dá)數(shù)據(jù)分析）、圖像處理（特征提?。?、推薦系統(tǒng)（用戶行為數(shù)據(jù)分析）、金融風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等。2.LDA相比PCA在處理分類問題時(shí)，目標(biāo)更明確，直接考慮類間差異和類內(nèi)差異，旨在找到最優(yōu)的線性邊界用于分類，而PCA僅關(guān)注數(shù)據(jù)的整體結(jié)構(gòu)和信息保留，不直接考慮類別區(qū)分。因此，LDA在分類任務(wù)中通常能提供更具判別力的投影結(jié)果。3.K近鄰算法（KNN）的優(yōu)點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，對(duì)數(shù)據(jù)分布沒有假設(shè)，具有較好的魯棒性。缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度較高，尤其是在大數(shù)據(jù)集上，對(duì)參數(shù)K的選擇敏感，容易受到噪聲和異常值的影響。實(shí)際應(yīng)用中需要注意選擇合適的K值，處理高維數(shù)據(jù)時(shí)的維度災(zāi)難問題，以及進(jìn)行特征縮放等預(yù)處理。4.支持向量機(jī)（SVM）的基本原理是通過尋找一個(gè)最優(yōu)的分離超平面來將不同類別的樣本點(diǎn)分開，該超平面距離兩類樣本的最遠(yuǎn)距離最大化，從而提高模型的泛化能力。核函數(shù)的作用是將數(shù)據(jù)映射到高維特征空間，使得原本線性不可分的數(shù)據(jù)在高維空間中變得線性可分，從而能夠使用線性SVM進(jìn)行分類或回歸。四、計(jì)算題1.特征值計(jì)算：$$\lambda_1=\frac{5+\sqrt{5}}{2}\approx3.618,\lambda_2=\frac{5-\sqrt{5}}{2}\approx1.382$$特征向量計(jì)算（對(duì)應(yīng)$\lambda_1$和$\lambda_2$的單位特征向量分別為）：$$\mathbf{v}_1=\frac{1}{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0.7071\\0.7071\end{pmatrix},\mathbf{v}_2=\frac{1}{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0.7071\\-0.7071\end{pmatrix}$$物理意義：第一個(gè)主成分方向（$\mathbf{v}_1$）是原始數(shù)據(jù)方差最大的方向，第二個(gè)主成分方向（$\mathbf{v}_2$）是與第一個(gè)主成分正交，且方差次大的方向。投影到這兩個(gè)方向上，能保留數(shù)據(jù)最大和次大的變異信息。2.計(jì)算各類均值向量：$$\bar{\mathbf{x}}_1=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix},\bar{\mathbf{x}}_2=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\frac{4}{3}\end{pmatrix},\bar{\mathbf{x}}_3=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{5}{3}\\2\end{pmatrix}$$（注：題目數(shù)據(jù)特殊，三向量共線，投影后線性可分性體現(xiàn)在均值向量不同上）類別邊界：假設(shè)邊界為$w_1x_1+w_2x_2+b=0$，可利用任意兩類的均值向量確定，例如$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)$垂直于邊界，$(\bar{x}_1-\bar{x}_3)$也垂直于邊界。設(shè)邊界過$\bar{x}_2$，則$w_1(1-\frac{1}{3})+w_2(\frac{4}{3}-\frac{2}{3})=0\Rightarrow\frac{2}{3}w_1+\frac{2}{3}w_2=0\Rightarroww_1=-w_2$。令$w_1=1,w_2=-1$，則$x_1-x_2=0$，邊界為$x_1=x_2$，即$x_1-x_2=0$。在圖中，該線垂直于x1=x2軸，通過點(diǎn)(1,4/3)。3.多數(shù)表決：正類鄰居2個(gè)，負(fù)類鄰居2個(gè)，無法決定，可返回不確定或隨機(jī)選擇。加權(quán)表決（權(quán)重與距離成反比）：假設(shè)距離分別為$d_1,d_2,d_3,d_4,d_5$，權(quán)重分別為$w_1,w_2,w_3,w_4,w_5$，滿足$w_i\propto1/d_i$。正類總權(quán)重$W_+=w_1+w_3$，負(fù)類總權(quán)重$W_-=w_2+w_4$。比較$W_+$和$W_-$，若$W_+>W_-$，則分類為正類；否則為負(fù)類。由于$w_1+w_3=w_2+w_4$，故$W_+=W_-$，仍無法決定，可返回不確定或隨機(jī)選擇。五、綜合應(yīng)用題運(yùn)用降維分析統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法處理客戶數(shù)據(jù)進(jìn)行精準(zhǔn)營(yíng)銷的步驟如下：1.數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理：收集包含客戶多方面特征的原始數(shù)據(jù)集，如人口統(tǒng)計(jì)信息（年齡、性別、收入）、購(gòu)買歷史（購(gòu)買頻率、金額、商品類別）、網(wǎng)站行為（瀏覽時(shí)長(zhǎng)、頁(yè)面點(diǎn)擊、搜索關(guān)鍵詞）等。進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗，處理缺失值、異常值，并進(jìn)行特征縮放（如標(biāo)準(zhǔn)化或歸一化），以消除不同特征量綱的影響。2.特征選擇/降維：由于原始特征可能存在冗余或噪聲，首先應(yīng)用特征選擇方法（如相關(guān)性分析、遞歸特征消除）篩選出與目標(biāo)變量（如購(gòu)買意愿、消費(fèi)能力）相關(guān)性高的關(guān)鍵特征。然后，若特征數(shù)量仍較多或數(shù)據(jù)維度較高，應(yīng)用降維方法：*PCA：對(duì)預(yù)處理后的高維特征進(jìn)行PCA，提取主成分。根據(jù)累計(jì)解釋方差率選擇足夠解釋大部分?jǐn)?shù)據(jù)信息的主成分，將數(shù)據(jù)投影到低維主成分空間。這有助于減少維度，去除噪聲和冗余，并可能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中隱藏的結(jié)構(gòu)。*LDA：如果目