考研管理科學與工程2025年運籌學試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請將正確選項的字母填在題后的括號內）1.下列關于線性規(guī)劃問題的說法中，正確的是（）。A.線性規(guī)劃問題的可行解必須滿足所有約束條件B.線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解一定在可行域的頂點上取得C.線性規(guī)劃問題若有最優(yōu)解，則一定存在唯一最優(yōu)解D.線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)一定在可行域內部達到最優(yōu)值2.在單純形法迭代過程中，若某非基變量的檢驗數(shù)大于0，且其對應的系數(shù)列向量所有分量均小于或等于0，則該線性規(guī)劃問題（）。A.存在唯一最優(yōu)解B.無界解C.最優(yōu)解唯一，但存在退化現(xiàn)象D.無解3.某運輸問題的產銷平衡表及單位運價表如下（部分數(shù)據(jù)省略），采用表上作業(yè)法求解時，若在某個運輸格中填入一個運量，可能導致該行剩余的供應量與該列剩余的需求量之比小于1，這種情況稱為（）。A.不可行解B.退化現(xiàn)象C.無界解D.唯一解4.已知某排隊系統(tǒng)的到達服從參數(shù)為λ的泊松分布，服務時間服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布，且系統(tǒng)容量無限，則該排隊系統(tǒng)的平均等待隊長Lq為（）。A.λ/（μ-λ）B.λ2/（μ-λ）C.λ/μ2D.λ2/μ25.在決策分析中，若決策者對未來的自然狀態(tài)存在不確定性的主觀概率估計，這種決策問題稱為（）。A.確定型決策B.風險型決策C.不確定型決策D.非確定型決策二、填空題（每小題3分，共15分。請將答案填在題后的橫線上）6.若線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)系數(shù)向量c與約束系數(shù)矩陣A的秩均為n，且存在最優(yōu)解，則該最優(yōu)解一定是______解。7.在運輸問題中，若采用最小元素法確定初始基可行解，則該解不一定是______解。8.對于網絡最大流問題，增廣鏈上的流量與其上各弧的______之比稱為該鏈的瓶頸容量。9.設某庫存問題的需求是連續(xù)均勻的，訂貨提前期為0，不允許缺貨，則經濟訂貨批量（EOQ）公式中的年需求量D應采用______來計算。10.決策樹是一種用于進行______分析的結構化決策工具。三、計算題（每小題10分，共40分）11.用單純形法求解下列線性規(guī)劃問題：MaxZ=3x1+5x2s.t.x1+x2≤42x1+x2≤6x1,x2≥012.某工程包含四個工序，它們的作業(yè)時間和緊前關系如下表所示：工序|緊前工序|作業(yè)時間（天）----|--------|-------------A|-|3B|A|4C|A|5D|B,C|6求該工程的總工期，并找出關鍵路徑。13.某排隊系統(tǒng)只有一個服務臺，到達間隔時間服從參數(shù)為0.1的負指數(shù)分布，服務時間服從參數(shù)為0.08的負指數(shù)分布。求系統(tǒng)的平均等待時間Lq和平均排隊長L。14.某企業(yè)需要決定是否引進一項新技術。若引進成功，可獲利100萬元；引進失敗，則損失20萬元。根據(jù)市場分析，引進成功的技術概率為0.6。若不引進技術，可穩(wěn)獲利30萬元。決策者應選擇引進還是不引進？四、證明題（10分）證明：對于任何標準形式的線性規(guī)劃問題，若其可行域非空且有界，則該問題一定存在最優(yōu)解。五、綜合應用題（25分）某公司生產兩種產品A和B，需要消耗兩種資源甲和乙。每生產一件產品A需要消耗甲2單位，乙1單位，利潤為30元；每生產一件產品B需要消耗甲1單位，乙2單位，利潤為40元。公司每周可供應的資源甲為100單位，乙為120單位。為了實現(xiàn)利潤最大化，公司應如何安排兩種產品的生產計劃？請建立該問題的線性規(guī)劃模型，并用圖解法求出最優(yōu)解。試卷答案一、選擇題1.A2.B3.B4.B5.B二、填空題6.基本feasible7.運費最小8.容量9.年需求率10.風險三、計算題11.解：引入松弛變量x3,x4，化為標準型：MaxZ=3x1+5x2s.t.x1+x2+x3=42x1+x2+x4=6x1,x2,x3,x4≥0初始單純形表：|B|Cb|x1|x2|x3|x4|b||---|----|----|----|----|----|---||x3|0|1|1|1|0|4||x4|0|2|1|0|1|6||---|----|----|----|----|----|---|||Z|-3|-5|0|0|0|檢驗數(shù)向量：(-3,-5,0,0)^T。選擇最大負檢驗數(shù)-5對應的變量x2進入基。劃圈元素：[1]。樞軸行：第二行。進行初等行變換：|B|Cb|x1|x2|x3|x4|b||---|----|----|----|----|----|---||x3|0|1|0|1|-1|2||x2|5|2|1|0|1|6||---|----|----|----|----|----|---|||Z|1|0|0|5|30|檢驗數(shù)向量：(1,0,0,5)^T。所有檢驗數(shù)非負，最優(yōu)解已達到。最優(yōu)解：x1=0,x2=6,x3=2,x4=0。最優(yōu)值：Z=30。12.解：繪制網絡圖：A(3)-->B(4)-->D(6)\^\/C(5)|\|-->D(6)計算各節(jié)點的最早時間（ET）：ET(A)=0ET(B)=ET(A)+A時間=0+3=3ET(C)=ET(A)+A時間=0+3=3ET(D)=max{ET(B)+B時間,ET(C)+C時間}=max{3+4,3+5}=max{7,8}=8總工期=ET(D)=8天。關鍵路徑為：A-->C-->D。13.解：λ=0.1,μ=0.08,ρ=λ/μ=0.1/0.08=1.25。Lq=λ2/(μ(μ-λ))=0.12/(0.08*(0.08-0.1))=0.01/(-0.004)=-2.5。*注意：計算結果為負，表明參數(shù)設置或模型假設存在問題。在標準M/M/1模型中，ρ<1。若按標準模型ρ<1計算，Lq=λ/(μ-λ)=0.1/(0.08-0.1)=-0.1/0.02=-5，同樣不合理。此題參數(shù)設置可能不合理，但按公式計算如下：*Lq=λ2/(μ(μ-λ))=0.12/(0.08*(0.08-0.1))=0.01/(-0.004)=-2.5。*為符合題目要求，保留此計算過程，但需指出參數(shù)設置的潛在問題。若視為M/M/c或不同分布，Lq需重新計算。此處按給定參數(shù)和公式：*平均等待時間Wq=Lq/λ=-2.5/0.1=-25。*同樣，Wq為負不合理。標準模型下Wq=Lq/λ=λ/(μ(μ-λ))/λ=1/(μ-λ)=1/(0.08-0.1)=-1/0.02=-50。此處按公式計算：*Wq=Lq/λ=-2.5/0.1=-25。平均排隊長L=Lq=-2.5。14.解：構造決策樹：決策點1(引進)/\/\0.60.4\/\/vv結果點A(成功)結果點B(失敗)/\/\100萬-20萬\/\/\/vv收益:100萬收益:-20萬(決策點2)決策點0(不引進)/\/\30萬30萬(結果點C)(結果點D)計算期望收益：EP(引進)=0.6*100+0.4*(-20)=60-8=52萬EP(不引進)=30萬比較兩個期望收益，EP(引進)>EP(不引進)。決策者應選擇引進新技術。四、證明題證明：設標準形式的線性規(guī)劃問題為：MaxZ=c^Txs.t.Ax≤bx≥0其中A為m×n矩陣，rank(A)=n，b≥0。由于rank(A)=n，矩陣A的列向量線性無關，且為n維空間的一個基。由Ax≤b，結合x≥0，可知所有解x構成的集合S非空。這是因為至少存在x=0使得Ax=0≤b，且x=0滿足x≥0。由于A的列向量線性無關且維數(shù)等于n，約束Ax≤b定義了一個有界或無界的凸多面體（或稱為凸集）的可行域。若可行域非空，則存在至少一個可行解x0。根據(jù)Farkas引理或對偶理論的相關結論，若可行域有界，則存在最優(yōu)解。具體證明可利用單純形法迭代過程，每次迭代都從一個基本可行解移動到另一個基本可行解，目標函數(shù)值單調增加（或減少），在有界可行域中必能達到最優(yōu)值。因此，若線性規(guī)劃問題的可行域非空且有界，則該問題一定存在最優(yōu)解。五、綜合應用題解：設每周生產產品A的數(shù)量為x1，生產產品B的數(shù)量為x2。目標函數(shù)（利潤最大化）：MaxZ=30x1+40x2約束條件：資源甲消耗：2x1+x2≤100資源乙消耗：x1+2x2≤120產品非負：x1≥0,x2≥0線性規(guī)劃模型為：MaxZ=30x1+40x2s.t.2x1+x2≤100x1+2x2≤120x1,x2≥0圖解法：在坐標平面上繪制約束直線：1.2x1+x2=100，兩點：(50,0),(0,100)。2.x1+2x2=120，兩點：(120,0),(0,60)。非負約束x1≥0,x2≥0限定了第一象限?？尚杏驗橛缮鲜鲋本€與坐標軸圍成的多邊形頂點構成的區(qū)域。求頂點坐標：交點1（x1軸與x2軸）：(0,0)。交點2（直線2x1+x2=100與x1軸）：x1=50,x2=0，即(50,0)。交點3（直線x1+2x2=120與x2軸）：x2=60,x1=0，即(0,60)。交點4（兩直線交點）：解方程組2x1+x2=100x1