2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)中的擬微分算子理論考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.設(shè)φ(x)是一個(gè)Ck次連續(xù)可微函數(shù)（k≥1），k階擬微分算子Dφ定義為Dφ(f)=φ(Ck+1f)-φ(Ckf)+?+(-1)kφ(f)，其中Crf表示f的r階導(dǎo)數(shù)。若k=2，則Dφ(f)可以寫(xiě)成以下哪種形式？(A)f''-φ(f)+φ'(f)(B)φ''(f)-φ'(f)+f(C)φ(f)''-φ(f)'+f''(D)f-φ(f)+φ'(f)''2.下列關(guān)于擬微分算子的說(shuō)法中，正確的是？(A)所有的擬微分算子都是線(xiàn)性的。(B)階數(shù)小于等于1的擬微分算子是正則映射。(C)擬微分算子的階數(shù)與其作用后映射的階數(shù)無(wú)關(guān)。(D)兩個(gè)同階擬微分算子的復(fù)合一定是更高階的擬微分算子。3.設(shè)D1為階數(shù)為1的擬微分算子，D2為階數(shù)為2的擬微分算子。若f是C2類(lèi)的函數(shù)，則復(fù)合算子D2°D1(f)的階數(shù)是？(A)1(B)2(C)3(D)無(wú)法確定，取決于D1和D2的具體形式。4.設(shè)T:Rn→Rn是一個(gè)階數(shù)為m的擬微分映射，其Lipschitz常數(shù)L與下列哪個(gè)量有關(guān)？(A)T的m階導(dǎo)數(shù)(B)T的復(fù)合形式(C)T的系數(shù)函數(shù)的m階導(dǎo)數(shù)(D)T的逆映射5.下列哪個(gè)偏微分方程可以通過(guò)引入擬微分算子轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式？(A)y''=x(B)y''y'=1(C)y''+y=0(D)y'''=sin(y)二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線(xiàn)上）6.一個(gè)映射T:Rn→Rn被稱(chēng)為Ck次擬微分映射，如果存在一個(gè)Ck+1次函數(shù)E(x,λ1,...,λkn)，使得對(duì)于所有Ck+1類(lèi)函數(shù)f，都有T(f)(x)=E(x,?f/?x1,...,?f/?xn)+(?E/?λ1)(x,...,x)?f/?x1+...+(?E/?λkn)(x,...,x)?f/?xn。則稱(chēng)T為_(kāi)_____階擬微分映射。7.設(shè)D為階數(shù)為k的擬微分算子，若D(f)=f(k)+ak-1(x)f(k-1)+...+a0(x)f，其中ai(x)是Ck-i+1類(lèi)的函數(shù)，則稱(chēng)D為_(kāi)_____。8.擬微分算子的鏈規(guī)則是微積分鏈規(guī)則的推廣，它指出若T是Ck+1類(lèi)的擬微分映射，S是Cl+1類(lèi)的擬微分映射，且T(S(f))有定義，則復(fù)合映射T°S是______階的擬微分映射，并且存在一個(gè)Ck+l+1類(lèi)的函數(shù)E與之相關(guān)聯(lián)。9.若一個(gè)階數(shù)為m的擬微分算子D滿(mǎn)足D(f)≥0對(duì)于所有非負(fù)的Cm+1類(lèi)函數(shù)f恒成立，則稱(chēng)D為_(kāi)_____。10.擬微分算子理論在研究偏微分方程時(shí)，一個(gè)重要的應(yīng)用是利用______將高階或非線(xiàn)性偏微分方程轉(zhuǎn)化為低階或線(xiàn)性方程組，或者研究解的______。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分）11.設(shè)D1和D2分別為階數(shù)為1和2的擬微分算子，定義如下：D1(f)(x)=f'(x)+xf(x)D2(g)(x)=g''(x)-g'(x)+x2g(x)試計(jì)算復(fù)合算子D2°D1作用在函數(shù)f(x)=ex上得到的結(jié)果。12.設(shè)T:R2→R2是階數(shù)為1的擬微分映射，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)E(x,y,λx,λy)滿(mǎn)足E(x,y,λx,λy)=λxy+λyx2。試求T在點(diǎn)(1,1)處的作用效果，以及T在該點(diǎn)的Lipschitz常數(shù)。13.考慮階數(shù)為1的擬微分算子Df(x)=f'(x)+f(x2)。試證明存在一個(gè)常數(shù)L使得對(duì)于所有C2類(lèi)的函數(shù)f，都有||Df||≤L||f||，其中范數(shù)||g||=supx∈R|g(x)|。四、證明題（每小題15分，共30分）14.設(shè)D為階數(shù)為k的擬微分算子，S為階數(shù)為l的擬微分算子。根據(jù)擬微分算子的鏈規(guī)則，復(fù)合算子D°S是階數(shù)為k+l的擬微分算子。請(qǐng)給出鏈規(guī)則的一個(gè)形式化表述，并簡(jiǎn)要說(shuō)明其推導(dǎo)思想（無(wú)需完整證明）。15.證明：任何階數(shù)為0的擬微分算子都是線(xiàn)性映射，并且是Lipschitz連續(xù)的。---試卷答案一、選擇題1.(D)2.(B)3.(C)4.(C)5.(B)二、填空題6.k+17.階數(shù)為k的擬微分算子8.k+l9.正則擬微分算子（或正則映射）10.擬微分算子（或微分子），光滑性（或階數(shù)）三、計(jì)算題11.解：首先計(jì)算D1(f)(x)=ex+xex=ex(1+x)。然后計(jì)算D2°D1(f)(x)=D2(ex(1+x))。令g(t)=et(1+t)，則g'(t)=et(1+t)+et=et(2+t)，g''(t)=et(2+t)+et=et(3+t)。代入D2(g)(t)=g''(t)-g'(t)+t2g(t)：D2(ex(1+x))=ex(3+x)-ex(2+x)+x2ex(1+x)=ex(3+x-2-x+x2+x3)=ex(1+x2+x3)。所以，D2°D1(f)(x)=ex(1+x2+x3)。12.解：根據(jù)E(x,y,λx,λy)=λxy+λyx2，可以寫(xiě)出T的顯式形式。T(f)(x,y)=?E/?λx=y+x2λy。令f(x,y)=1，則T(1)(x,y)=y+x2λy=0（因?yàn)?/?λyE對(duì)f=1的偏導(dǎo)應(yīng)為0，這里E對(duì)λy的偏導(dǎo)是x2）。所以，T(1)(x,y)=y。令f(x,y)=(x,y)，則T((x,y))(x,y)=y+x2λy=y+x2y=y(1+x2)。所以，T((1,1))(1,1)=1(1+12)=2。即T在點(diǎn)(1,1)處的值為2。T的Lipschitz常數(shù)L是E函數(shù)關(guān)于λx和λy的最大偏導(dǎo)數(shù)的最大值。?E/?λx=y，?E/?λy=x2。在點(diǎn)(1,1)處，|?E/?λx|=|1|=1，|?E/?λy|=|12|=1。因此，Lipschitz常數(shù)L=max{1,1}=1。13.解：需要找到一個(gè)常數(shù)L，使得||Df||≤L||f||對(duì)所有C2類(lèi)的函數(shù)f成立。||Df||=supx∈R|f'(x)+f(x2)|≤supx∈R|f'(x)|+supx∈R|f(x2)|=||f'||+||f||2（利用范數(shù)性質(zhì)||g+h||≤||g||+||h||和||cf||=|c|||f||）。對(duì)于C2類(lèi)函數(shù)f，其導(dǎo)數(shù)f'和f''也是連續(xù)的，因此f'和f有界。設(shè)M=supx∈R|f(x)|，N=supx∈R|f'(x)|。則||f||≤M，||f'||≤N。因此，||Df||≤N+M2。要使||Df||≤L||f||恒成立，需要L≥N+M2。由于M和N取決于具體的f，為了找到一個(gè)對(duì)所有C2類(lèi)函數(shù)f都適用的L，可以考慮最壞情況?？紤]f(x)=ex2，則f'(x)=2xex2，f''(x)=(4x2+2)ex2。Df(x)=2xex2+ex?。||f||=supx∈R|ex2|=e0=1。||f'||=supx∈R|2xex2|=|2xex2|x→±∞=∞。這個(gè)例子說(shuō)明對(duì)于某些f，N可以無(wú)限大，因此僅用N+M2作為L(zhǎng)是不夠的。實(shí)際上，對(duì)于階數(shù)為1的擬微分算子Df=f'+a(x)f，有||Df||≤C||f||+C||f'||，其中C是與x和f相關(guān)的常數(shù)。但題目要求一個(gè)固定的L，且給出了||Df||≤||f'||+||f||2。我們可以取L=2。因?yàn)閷?duì)于任何C2類(lèi)函數(shù)f，||f||2≤||f||*||f||，所以||f||2≤||f||*supx∈R|f'(x)|=||f||*||f'||。因此，||Df||≤||f'||+||f||2≤||f'||+||f||*||f'||=(1+||f'||)||f||。由于||f'||≤||f||*||f||(根據(jù)前面不等式)，所以||Df||≤||f||*||f||+||f||*||f||=2||f||*||f||=2||f||2。但這不滿(mǎn)足||Df||≤L||f||。我們需要更強(qiáng)的控制。考慮f(x)=1，則f'(x)=0,f''(x)=0,Df(x)=1。||f||=1,||Df||=1。需要L≥1?？紤]f(x)=x,則f'(x)=1,f''(x)=0,Df(x)=1+x。||f||=sup|x|=1=1,||f'||=1,||Df||=sup|1+x|=2。需要L≥2?？紤]f(x)=x2,則f'(x)=2x,f''(x)=2,Df(x)=2x+x?。||f||=sup|x2|=1=1,||f'||=sup|2x|=2=2,||Df||=sup|2x+x?|=∞。此例說(shuō)明L無(wú)法固定。題目可能存在表述問(wèn)題或假設(shè)。若假設(shè)Df(x)=f'(x)+xf(x2)，則||Df||=sup|f'(x)+xf(x2)|≤sup|f'(x)|+sup|xf(x2)|=||f'||+supx|x||f(x2)|=||f'||+supy(|y|supx|f(y^(1/2))|)（令y=x2）=||f'||+(supx|f(x)|)supy|y|=||f'||+||f||*(supx|x|)=||f'||+||f||*|x|max若考慮x在有限區(qū)間[-M,M]，則||Df||≤||f'||+M||f||。這表明L可以取M，但M不固定?？赡茴}目意在考察基本不等式鏈||Df||≤||f'||+||f||2的應(yīng)用，并認(rèn)為可以取L=1+1=2，但這不夠嚴(yán)謹(jǐn)。最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鸢甘腔诓坏仁絴|Df||≤||f'||+||f||2，并指出此不等式已給出L的一個(gè)上界形式（依賴(lài)于f），若要求固定L，則此題可能無(wú)解或有誤。若必須給一個(gè)答案，可嘗試L=2，并承認(rèn)其局限性。四、證明題14.證明：設(shè)T:Rn→Rn是Ck+1類(lèi)的擬微分映射，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)E(x,λ1,...,λkn)滿(mǎn)足T(f)(x)=E(x,?f/?x1,...,?f/?xn)+?E/?λ1(x,...,x)?f/?x1+...+?E/?λkn(x,...,x)?f/?xn。設(shè)S:Rn→Rn是Cl+1類(lèi)的擬微分映射，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)F(x,μ1,...,μn)滿(mǎn)足S(g)(x)=F(x,?g/?x1,...,?g/?xn)+?F/?μ1(x,...,x)?g/?x1+...+?F/?μln(x,...,x)?g/?xn。考慮復(fù)合映射T°S。令h=S(g)。T(S(f))(x)=T(h)(x)=E(x,?h/?x1,...,?h/?xn)+?E/?λ1(x,...,x)?h/?x1+...+?E/?λkn(x,...,x)?h/?xn。需要計(jì)算?h/?xi。由鏈?zhǔn)椒▌t，?h/?xi=?F/?xi(g)+?F/?μj(g)?g/?xi?μj/?xi。令μj=?g/?xi，則?μj/?xi=?2g/?xi?xj=?2g/?xi?xj=?g/?xj。因此，?h/?xi=?F/?xi(g)+?F/?μj(g)?g/?xi?g/?xj。將其代入T(S(f))(x)的表達(dá)式：T(S(f))(x)=E(x,?F/?x1(g),...,?F/?xn(g),?g/?x1,...,?g/?xn)+?E/?λ1(x,...,x)(?F/?x1(g)+?F/?μj(g)?g/?xi?g/?xj)+...+?E/?λkn(x,...,x)(?F/?xk(g)+?F/?μj(g)?g/?xi?g/?xj)。整理后，T(S(f))(x)包含關(guān)于g及其導(dǎo)數(shù)（最高到l+1階）的多項(xiàng)式項(xiàng)，以及關(guān)于g及其導(dǎo)數(shù)（最高到k+1階）的多項(xiàng)式項(xiàng)的混合項(xiàng)。這些項(xiàng)的最高階來(lái)自于對(duì)g最高l+1階導(dǎo)數(shù)的最高k+1階求導(dǎo)。因此，復(fù)合映射T°S是C(k+l)類(lèi)的。存在某個(gè)C(k+l+1)類(lèi)的函數(shù)G與之相關(guān)聯(lián)，其形式為G(x,μ1,...,μn,λ1,...,λkn)=E(F(x,μ1,...,μn),λ1,...,λkn)+混合項(xiàng)。其中混合項(xiàng)涉及對(duì)μi求偏導(dǎo)（最