2025年大學《數理基礎科學》專業(yè)題庫——線性規(guī)劃在運輸問題中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共30分。請將正確選項的字母填在括號內）1.運輸問題的數學模型屬于（）。A.整數規(guī)劃B.非線性規(guī)劃C.線性規(guī)劃D.動態(tài)規(guī)劃2.在產銷平衡的運輸問題中，若某個供應點到某個需求點的單位運價為零，這意味著（）。A.該運輸方式不可行B.從該供應點運輸到該需求點沒有成本C.該供應點的產量必須為零D.該需求點的銷量必須為零3.表上作業(yè)法求初始解的西北角法，其核心思想是（）。A.優(yōu)先滿足行或列的需求/供應B.使運輸總成本最小C.確保每個分配量非負且滿足平衡條件D.隨機選擇一個單元格開始分配4.在運輸問題的表上作業(yè)法中，若在確定某個基變量后，該變量所在的行和列的其他單元格均為非基變量，則稱該基變量（）。A.產生退化B.處于非最優(yōu)狀態(tài)C.處于最優(yōu)狀態(tài)D.無關緊要5.檢驗運輸問題中某個非基變量（空格）能否進入基變量，需要計算該變量的（）。A.運量B.供應量C.需求量D.檢驗數6.運輸問題的檢驗數（對偶價格）的經濟含義是（）。A.對應單位產品的利潤B.增加一個單位供應量對總成本的影響C.減少一個單位需求量對總成本的影響D.對應基變量的值7.若運輸問題的最優(yōu)解中，某個供應點的產量未被完全分配出去（即存在剩余），則對應的對偶價格（影子價格）一定為（）。A.0B.正數C.負數D.無法確定8.對于產銷不平衡的運輸問題，通常的處理方法是（）。A.增加一個虛設的行或列B.減少一個虛設的行或列C.修改單位運價表D.修改目標函數9.在運輸問題的表上作業(yè)法中，使用閉回路法調整運輸方案時，調整量應為閉回路上（）。A.最小元素的值B.最大元素的值C.所有偶數步元素的和D.所有奇數步元素的和10.若運輸問題的初始解通過Vogel近似法得到，則其初始解的（）通常優(yōu)于西北角法。A.精度B.計算速度C.美觀性D.復雜性二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在橫線上）1.標準的運輸問題線性規(guī)劃模型中，決策變量表示從每個供應點到每個需求點的______。2.表上作業(yè)法中，閉回路的每一條邊要么連接一個已分配格和一個空格，要么連接兩個已分配格，且閉回路上奇數步的______之和等于該空格的檢驗數。3.運輸問題的對偶變量通常表示對應供應點產量或需求點銷量的______價值。4.當運輸問題的檢驗數向量中存在負數時，說明當前解______。5.若運輸問題的單位運價矩陣中，所有元素均大于零，且不存在兩個相鄰元素（行列相鄰）同時為零，則該問題具有______性質。三、計算題（共5小題，共50分）1.（10分）某公司有A、B兩個工廠生產同一種產品，產品需運往C、D兩個倉庫銷售。工廠A每天生產量為400件，工廠B每天生產量為600件。倉庫C每天需求量為500件，倉庫D每天需求量為500件。從每個工廠到每個倉庫的單位運價（元/件）如下：工廠\倉庫CDA311B19請建立該問題的標準線性規(guī)劃模型。2.（10分）已知一個產銷平衡的運輸問題，通過表上作業(yè)法得到初始解和部分最優(yōu)解的檢驗數如下表（單位：元/件）：倉庫\產地C1C2S1S2D1021-1D210-3請問：（1）當前解是否為最優(yōu)解？（2）若非最優(yōu)，應選擇哪個空格進入基變量以改進解？（3）簡要說明如何使用閉回路法確定調整量。3.（10分）求解以下運輸問題的最優(yōu)方案（用表上作業(yè)法步驟寫出關鍵表格，無需完整畫出所有表格，但要體現核心步驟）。產地\銷地C1C2供應量A317B129銷量46（要求：用Vogel近似法求初始解，并進行最優(yōu)性檢驗）4.（10分）某運輸問題的最優(yōu)解為：x11=3,x12=4,x21=6,x22=5。對應的單位運價表如下：產地\銷地C1C2A28B46已知該問題的對偶解（影子價格）y1=3,y2=1。請計算產地B對銷地C的單位運價，并解釋其對偶價格的經濟意義。5.（10分）假設在上題的運輸問題中，若產地A的供應量增加1單位，而對偶解y1=3保持不變，試解釋這說明了什么？（結合對偶理論進行分析）---試卷答案一、選擇題1.C2.B3.A4.A5.D6.B7.A8.A9.A10.A二、填空題1.運輸量2.運量3.邊際4.不是最優(yōu)解（或不是最優(yōu)）5.單純形三、計算題1.模型建立：決策變量：xij表示從工廠i運往倉庫j的產品數量（i=A,B;j=C,D）。目標函數：minZ=3xAC+11xAD+1xBC+9xBD約束條件：對于工廠：xAC+xAD=400(A的產量)xBC+xBD=600(B的產量)對于倉庫：xC+xC=500(C的需求)xD+xD=500(D的需求)非負性：xij≥0(i=A,B;j=C,D)2.檢驗與調整：（1）檢驗數向量包含負數（如D1列的-1），故當前解不是最優(yōu)解。（2）應選擇檢驗數最小的空格進入基變量。比較C1列（2）、S1列（1）、S2列（-1），最小者為S2列的-1，故選擇空格(C,S2)進入基變量。（3）使用閉回路法確定調整量：從空格(C,S2)出發(fā)，沿水平或垂直方向移動到有數字的格，然后轉90度移動，直到回到空格，形成閉回路。閉回路頂點（格）的運量分別為0（起點空格）、xS1C（同行格）、xS1D（同列格）、0（終點空格）。調整量α=min{0,xS1C,xS1D}。調整后，沿閉回路偶數步（包括起點空格）增加α，奇數步減少α，非閉回路格不變。3.求解步驟：（1）用Vogel近似法求初始解：計算每行（產地）的最小運價與次小運價的差值：A(1-3)=2,B(2-1)=1。選擇差值最大的行A，選擇該行中最小運價1對應的列C，分配min(7,4)=4(xAC=4)。更新供應量A=7-4=3，銷量C=4-4=0。刪除已滿足銷量的列C。更新后的運價表：產地\銷地C2S1供應量A113B229計算剩余行（A,B）的最小運價與次小運價的差值：A(1-1)=0,B(2-2)=0。選擇差值非零的行A，選擇該行中最小運價1對應的列S1，分配min(3,6)=3(xAS1=3)。更新供應量A=3-3=0，銷量S1=6-3=3。刪除已滿足供應量的行A。更新后的運價表：產地\銷地S1S2供應量B229分配xBS1=min(9,3)=3(xBS1=3)。更新供應量B=9-3=6，銷量S1=3-3=0。刪除已滿足供應量的行B。分配xBS2=min(6,6)=6(xBS2=6)。供應量B=6-6=0，銷量S2=6-6=0。所有供應量和銷量均滿足。初始解：xAC=4,xAS1=3,xBS1=3,xBS2=6。（2）最優(yōu)性檢驗（用閉回路法）：計算空格的檢驗數：θ(C1)=cC1-(cAC+cS1)=1-(3+1)=-3；θ(S2)=cS2-(cAS1+cBS1)=2-(1+2)=-1；θ(D1)=cD1-(cAC+cAD)=3-(3+?)=3-?(AD格未分配)；θ(D2)=cD2-(cBC+cBD)=2-(1+2)=-1。（注：此處AD格未分配，其運價為11，檢驗數θ(D1)=3-(3+11)=-9。）檢驗數向量：(-3,-1,0,-9,-1)。存在負檢驗數，故當前解不是最優(yōu)解。4.對偶價格與運價計算：（1）計算產地B對銷地C的單位運價（即檢驗數θ(BC)）：θ(BC)=cC-(cB1+cB2)=1-(4+6)=1-10=-9?；蚋鶕ε蓟パa松弛性：BC格為非基變量（空格），其檢驗數等于對應對偶變量yC與該格運價的差。運價cBC=1，對偶變量yC=0（因為BC格的運量xBC=0），所以檢驗數θ(BC)=yC-cBC=0-1=-1。此處計算結果-9與-1矛盾，通常說明題目給定的最優(yōu)解或對偶解不匹配，或者運價表理解有誤。若按θ(BC)=yB-cBC=6-1=5。若按θ(BC)=yC-cBC=0-1=-1。標準運輸問題對偶變量yC對應銷地C，其值為0（因為C的銷量xC=0）。更正：yC=0，θ(BC)=0-1=-1。因此，產地B對銷地C的單位運價為1。（2）經濟意義：對偶價格yB=6表示，若產地B的供應能力（產量）增加1單位，在不改變其他條件的情況下，運輸總成本最多可以減少6元。或者說，產地B的產能對總成本的邊際影響是-6元（即增加產能有利可圖）。5.對偶理論分析：根據對偶理論，對偶問題中，對應于原問題中松變量的對偶變量（即剩余量）在對偶最優(yōu)解中取值為0。在本題運輸問題中，若將供應量增加1單位視為一個新增的約束（即新增一個松變量sA，sA≥0），其對偶變量為yA。原問題最優(yōu)解下，所有供應量的剩余量均為0（即xA=xA=xA=0），這意味著yA的值等于原問題中對應供應