河南理科考試題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(5\)D.\(-5\)3.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)4.若復數(shù)\(z=3+4i\)，則\(\vertz\vert\)等于（）A.\(5\)B.\(7\)C.\(\sqrt{7}\)D.\(25\)5.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{5}=9\)，則\(a_{7}\)等于（）A.\(11\)B.\(12\)C.\(13\)D.\(14\)6.函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,-\sqrt{3})\)和\((\sqrt{3},+\infty)\)D.\((-\sqrt{3},\sqrt{3})\)7.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第四象限角，則\(\sin\alpha\)等于（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)8.直線\(3x+4y-12=0\)與\(x\)軸、\(y\)軸圍成的三角形面積是（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(24\)D.\(18\)9.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）A.\(56\)種B.\(46\)種C.\(36\)種D.\(26\)種10.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案1.A2.A3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.B10.C二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是偶函數(shù)（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^{3}\)2.下列關(guān)于直線方程的說法正確的是（）A.點斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)適用于不垂直于\(x\)軸的直線B.斜截式\(y=kx+b\)適用于不垂直于\(x\)軸的直線C.兩點式\(\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)適用于不垂直于坐標軸的直線D.截距式\(\frac{x}{a}+\frac{y}=1\)適用于不過原點的直線3.已知\(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，則（）A.若\(q\gt1\)，則\(\{a_{n}\}\)是遞增數(shù)列B.若\(a_{1}\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)，則\(\{a_{n}\}\)是遞減數(shù)列C.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)D.\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)4.以下哪些是橢圓的標準方程（）A.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)B.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)C.\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)D.\(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)5.對于空間向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，\(\vec{c}\)，下列說法正確的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec\cdot\vec{c}\)C.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)D.若\(\vec{a}=\lambda\vec\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)共線6.下列函數(shù)中，值域為\(R\)的是（）A.\(y=\lgx\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=x^{2}\)D.\(y=\tanx\)7.已知函數(shù)\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A\gt0\)，\(\omega\gt0\)），則（）A.\(A\)決定函數(shù)的振幅B.\(\omega\)決定函數(shù)的周期C.\(\varphi\)決定函數(shù)的初相D.函數(shù)的最大值為\(A\)8.下列導數(shù)公式正確的是（）A.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)9.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中任取\(2\)個不同的數(shù)，則（）A.取到的兩個數(shù)都是奇數(shù)的概率為\(\frac{3}{10}\)B.取到的兩個數(shù)都是偶數(shù)的概率為\(\frac{1}{10}\)C.取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為\(\frac{2}{5}\)D.取到的兩個數(shù)之積為偶數(shù)的概率為\(\frac{7}{10}\)10.關(guān)于函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），下列說法正確的是（）A.當\(a\gt1\)時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增B.當\(0\lta\lt1\)時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減C.函數(shù)的圖象恒過點\((1,0)\)D.函數(shù)的值域為\(R\)答案1.AB2.ABC3.BCD4.AB5.ABD6.AD7.ABC8.ABCD9.ACD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）3.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.若直線\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與\(l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行，則\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C_{2}}\)。（）5.復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)）的虛部是\(bi\)。（）6.已知\(\{a_{n}\}\)是等差數(shù)列，\(S_{n}\)是其前\(n\)項和，則\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等差數(shù)列。（）7.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。（）8.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)處可導，則\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)處連續(xù)。（）9.從\(n\)個不同元素中取出\(m\)（\(m\leqn\)）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的組合數(shù)，記作\(C_{n}^{m}\)，且\(C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（）10.若事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）答案1.×2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^{2}-2x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案對于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)，對稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-2\)，則對稱軸為\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數(shù)得\(y=2\)，所以頂點坐標為\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案因為\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案根據(jù)直線的點斜式方程\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)（其中\(zhòng)((x_{0},y_{0})\)為直線上一點，\(k\)為斜率）。已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(d=3\)，求\(a_{5}\)和\(S_{5}\)。答案等差數(shù)列通項公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，則\(a_{5}=a_{1}+4d=2+4×3=14\)。前\(n\)項和公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)，所以\(S_{5}=5×2+\frac{5×4}{2}×3=40\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。答案函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)定義域為\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_{1}\ltx_{2}\lt0\)，\(f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}\gt0\)，即\(f(x_{1})\gtf(x_{2})\)，所以在\((-\infty,0)\)單調(diào)遞減；同理在\((0,+\infty)\)也單調(diào)遞減。2.已知直線\(l\)過點\(P(2,1)\)，且與\(x\)軸、\(y\)軸正半軸分別交于\(A\)、\(B\)兩點，求\(\triangleAOB\)面積最小時直線\(l\)的方程。答案設(shè)直線\(l\)方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}=1(a\gt0,b\gt0)\)，因為過點\(P(2,1)\)，則\(\frac{2}{a}+\frac{1}=1\)。\(\triangleAOB\)面積\(S=\frac{1}{2}ab\)，由\(\frac{2}{a}+\frac{1}=1\geq2\sqrt{\frac{2}{ab}}\)，得\(ab\geq8\)，當且僅當\(\frac{2}{a}=\frac{1}=\frac{1}{2}\)時取等號