2025年大學(xué)《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)教學(xué)成果評(píng)價(jià)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.說(shuō)明樣本均值和樣本中位數(shù)在反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)方面的區(qū)別，并簡(jiǎn)述在什么類(lèi)型的數(shù)據(jù)分布中它們可能趨于一致。2.某地區(qū)隨機(jī)抽取10戶(hù)家庭，其年可支配收入（單位：萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：5.2,6.3,7.8,9.1,10.5,8.4,7.6,11.2,6.8,9.7。計(jì)算樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。3.設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是來(lái)自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。寫(xiě)出樣本均值$\bar{X}$的數(shù)學(xué)期望和方差，并說(shuō)明$\bar{X}$是總體均值$\mu$的無(wú)偏估計(jì)量。二、1.某食品廠生產(chǎn)一種餅干，包裝上標(biāo)明凈含量為“120克±5克”。質(zhì)檢部門(mén)需檢驗(yàn)該批次餅干的凈含量是否符合標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)餅干凈含量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ未知?，F(xiàn)隨機(jī)抽取16塊餅干，測(cè)得樣本均值為119.8克。問(wèn)能否有99%的把握認(rèn)為該批次餅干的凈含量符合標(biāo)準(zhǔn)？（請(qǐng)寫(xiě)出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟，包括原假設(shè)、備擇假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、拒絕域和結(jié)論）。2.某醫(yī)生想比較兩種不同藥物A和B治療某種疾病的療效。他選取了50名患者，將他們隨機(jī)分成兩組，每組25人。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間治療后，測(cè)量?jī)山M患者的治療效果評(píng)分。假設(shè)兩種藥物的治療效果評(píng)分均服從正態(tài)分布，且方差相等。樣本數(shù)據(jù)如下：藥物A組：樣本均值80分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差6分；藥物B組：樣本均值78分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差5分。試以α=0.05的顯著性水平檢驗(yàn)兩種藥物的治療效果是否存在顯著差異？（請(qǐng)寫(xiě)出假設(shè)檢驗(yàn)的步驟）。三、1.某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X（單位：毫米）服從正態(tài)分布N(μ,0.052)?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取16個(gè)零件，測(cè)得樣本方差s2=0.042。求總體均值μ的95%置信區(qū)間。2.某公司想知道員工平均每天的工作時(shí)間。隨機(jī)抽取100名員工，調(diào)查得到樣本均值為8小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1小時(shí)。求該公司員工平均每天工作時(shí)間的95%置信區(qū)間。四、1.某農(nóng)場(chǎng)想比較兩種不同肥料對(duì)作物產(chǎn)量的影響。他們?cè)谙嗤瑮l件下種植了20塊田地，隨機(jī)將它們分成兩組，每組10塊田地，分別施用肥料A和肥料B。收獲后，測(cè)量各塊田地的作物產(chǎn)量（單位：公斤）。數(shù)據(jù)如下：肥料A組產(chǎn)量：50,51,52,53,54,55,56,57,58,59；肥料B組產(chǎn)量：48,49,50,51,52,53,54,55,56,57。試在α=0.05的顯著性水平下檢驗(yàn)兩種肥料的施用對(duì)作物產(chǎn)量是否有顯著影響？（請(qǐng)寫(xiě)出方差分析的步驟，包括假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算和結(jié)論）。五、1.假設(shè)某城市每月的降雨量與該月的平均氣溫之間存在線性相關(guān)關(guān)系。隨機(jī)抽取了10個(gè)月的數(shù)據(jù)，得到回歸方程為$\hat{Y}=20+0.5X$，其中Y表示降雨量（毫米），X表示平均氣溫（攝氏度）。某月平均氣溫為25攝氏度，求該月降雨量的預(yù)測(cè)值。2.在上述回歸方程中，若已知回歸系數(shù)檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量為2.3（假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平α=0.05），自由度為8。試判斷平均氣溫X對(duì)降雨量Y是否具有顯著的線性影響。六、1.某商店銷(xiāo)售某種商品，記錄了連續(xù)12周的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)（單位：件）：120,132,101,124,114,133,143,126,119,136,128,130。試計(jì)算該商品銷(xiāo)售量的均值、方差和自協(xié)方差函數(shù)γ(1)（即滯后1期的自協(xié)方差）。2.基于上述銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)，繪制時(shí)間序列圖，并根據(jù)圖形描述該序列的可能的趨勢(shì)和季節(jié)性成分。七、1.為了了解某城市居民對(duì)公共交通的滿(mǎn)意度，隨機(jī)抽取了200名居民進(jìn)行調(diào)查，其中120名居民對(duì)公共交通表示滿(mǎn)意。試估計(jì)該城市全體居民中對(duì)公共交通表示滿(mǎn)意的概率的95%置信區(qū)間。2.某公司想了解其產(chǎn)品在市場(chǎng)上的占有率。他們進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)樣本中有30%的消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)過(guò)該公司的產(chǎn)品。若要求估計(jì)市場(chǎng)占有率的置信區(qū)間，置信水平為95%，抽樣誤差不超過(guò)5%，至少需要抽取多少名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查？（假設(shè)用正態(tài)近似方法）試卷答案一、1.樣本均值是所有樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，對(duì)極端值敏感；樣本中位數(shù)是將樣本數(shù)據(jù)排序后位于中間位置的值，對(duì)極端值不敏感。當(dāng)數(shù)據(jù)分布對(duì)稱(chēng)或接近對(duì)稱(chēng)時(shí)，均值和中位數(shù)趨于一致。2.樣本均值$\bar{X}=\frac{1}{10}(5.2+6.3+7.8+9.1+10.5+8.4+7.6+11.2+6.8+9.7)=8.175$萬(wàn)元。樣本方差$s^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_i-\bar{X})^2=\frac{1}{9}[(5.2-8.175)^2+...+(9.7-8.175)^2]\approx4.981$萬(wàn)元2。樣本標(biāo)準(zhǔn)差$s=\sqrt{s^2}\approx\sqrt{4.981}\approx2.231$萬(wàn)元。3.$E(\bar{X})=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdotn\mu=\mu$。$Var(\bar{X})=Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{1}{n^2}\cdotn\lambda=\frac{\lambda}{n}$。因?yàn)?E(\bar{X})=\mu$，所以$\bar{X}$是總體均值$\mu$的無(wú)偏估計(jì)量。二、1.$H_0:\mu=120$（凈含量符合標(biāo)準(zhǔn)）；$H_1:\mu\neq120$（凈含量不符合標(biāo)準(zhǔn)）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{119.8-120}{\sqrt{0.05^2/16}}=\frac{-0.2}{0.125}=-1.6$。雙側(cè)檢驗(yàn)，自由度$df=n-1=15$。查t分布表，t?.??(15)≈2.131。拒絕域：$|T|>2.131$，即$T<-2.131$或$T>2.131$。結(jié)論：$-1.6$不在拒絕域內(nèi)。不能拒絕原假設(shè)$H_0$。有99%的把握認(rèn)為該批次餅干的凈含量符合標(biāo)準(zhǔn)。三、1.$H_0:\sigma^2\geq0.05^2$；$H_1:\sigma^2<0.05^2$。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{15\cdot0.04^2}{0.05^2}=\frac{15\cdot0.0016}{0.0025}=9.6$。單側(cè)檢驗(yàn)，自由度$df=n-1=15$。查χ2分布表，χ2?.??(15)≈24.996。拒絕域：$\chi^2<24.996$。結(jié)論：9.6不在拒絕域內(nèi)。不能拒絕原假設(shè)$H_0$。不能認(rèn)為總體方差小于0.052。2.$H_0:\mu_A=\mu_B$；$H_1:\mu_A\neq\mu_B$。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$T=\frac{\bar{X}_A-\bar{X}_B}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}}}$組內(nèi)方差合并估計(jì)：$s_p^2=\frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2}=\frac{24\cdot6^2+24\cdot5^2}{48}=\frac{864+600}{48}=27.5$$s_p=\sqrt{27.5}\approx5.244$$T=\frac{80-78}{5.244\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{1}{25}}}=\frac{2}{5.244\cdot\sqrt{\frac{2}{25}}}=\frac{2}{5.244\cdot0.2828}\approx\frac{2}{1.486}\approx1.344$雙側(cè)檢驗(yàn)，自由度$df=n_A+n_B-2=48$。查t分布表，t?.???(48)≈2.0106。拒絕域：$|T|>2.0106$，即$T<-2.0106$或$T>2.0106$。結(jié)論：1.344不在拒絕域內(nèi)。不能拒絕原假設(shè)$H_0$。兩種藥物的治療效果無(wú)顯著差異。四、1.$H_0$:兩種肥料的施用對(duì)作物產(chǎn)量無(wú)顯著影響（$\mu_A=\mu_B$）；$H_1$:兩種肥料的施用對(duì)作物產(chǎn)量有顯著影響（$\mu_A\neq\mu_B$）。計(jì)算各組數(shù)據(jù)：$\bar{X}_A=54.5$,$s_A^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_{Ai}-\bar{X}_A)^2=\frac{1}{9}(10.25+...+22.25)=\frac{100}{9}\approx11.111$$\bar{X}_B=52.5$,$s_B^2=\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{10}(X_{Bi}-\bar{X}_B)^2=\frac{1}{9}((-4.25)+...+22.25)=\frac{100}{9}\approx11.111$總均值$\bar{X}_{total}=\frac{\sum_{i=1}^{10}X_{Ai}+\sum_{i=1}^{10}X_{Bi}}{20}=\frac{545+525}{20}=53.5$SSTR（組間平方和）$=10(54.5-53.5)^2+10(52.5-53.5)^2=10(1)^2+10(-1)^2=20$SSW（組內(nèi)平方和）$=\sum_{i=1}^{10}(X_{Ai}-\bar{X}_A)^2+\sum_{i=1}^{10}(X_{Bi}-\bar{X}_B)^2=100+100=200$SST（總平方和）$=SSTR+SSW=20+200=220$MSB（組間均方）$=\frac{SSTR}{k-1}=\frac{20}{2-1}=20$MSE（組內(nèi)均方）$=\frac{SSW}{n-k}=\frac{200}{20-2}=\frac{200}{18}\approx11.111$檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$F=\frac{MSB}{MSE}=\frac{20}{11.111}\approx1.8$查F分布表，自由度$(df_1,df_2)=(k-1,n-k)=(1,18)$。F?.??(1,18)≈4.41。拒絕域：$F>4.41$。結(jié)論：1.8不在拒絕域內(nèi)。不能拒絕原假設(shè)$H_0$。兩種肥料的施用對(duì)作物產(chǎn)量無(wú)顯著影響。五、1.預(yù)測(cè)值$\hat{Y}=20+0.5X=20+0.5\times25=20+12.5=32.5$毫米。2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$t=\frac{b-\beta_0}{s_b}$。已知$t=2.3$，需要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差$s_b$。$s_b=\frac{s_e}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}}$。$\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2-n\bar{X}^2=(5^2+...+25^2)-10\times25^2=1875-6250=-4375$。此處計(jì)算似乎有誤，應(yīng)重新檢查數(shù)據(jù)。假設(shè)數(shù)據(jù)計(jì)算正確，則$s_b=\frac{s_e}{\sqrt{-4375}}$無(wú)意義。通常需要原始數(shù)據(jù)或s?來(lái)計(jì)算s?。若題目意在考察t值本身，則結(jié)論基于t值。由于無(wú)法計(jì)算s?，無(wú)法完成標(biāo)準(zhǔn)誤差的計(jì)算。假設(shè)題目?jī)H考察對(duì)t檢驗(yàn)結(jié)論的理解。查t分布表，t?.???(8)≈2.306。結(jié)論：2.3<2.306。在α=0.05水平下，不能拒絕原假設(shè)（即β?=0）。平均氣溫X對(duì)降雨量Y不具有顯著的線性影響。六、1.均值$\bar{X}=\frac{1}{12}(120+...+130)=\frac{1536}{12}=128$件。方差$s^2=\frac{1}{11}\sum_{i=1}^{12}(X_i-\bar{X})^2=\frac{1}{11}[(120-128)^2+...+(130-128)^2]=\frac{1}{11}(64+16+36+16+14+25+225+16+9+64+4+4)=\frac{556}{11}\approx50.545$件2。自協(xié)方差$\gamma(1)=Cov(X_t,X_{t+1})=\frac{1}{10}\sum_{t=1}^{10}(X_t-\bar{X})(X_{t+1}-\bar{X})$$=\frac{1}{10}[(120-128)(132-128)+...+(128-128)(130-128)]$$=\frac{1}{10}[(-8)(4)+(-6)(101-128)+...+(0)(2)]$$=\frac{1}{10}[-32+252+...+0]=\frac{1}{10}[252-16-6-9-4-1-25-16-4]=\frac{1}{10}[252-85]=\frac{167}{10}=16.7$件2。2.時(shí)間序列圖（無(wú)法繪制，文字描述）：圖形呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)，