2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在寄生蟲病研究中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述微分方程在描述寄生蟲種群動態(tài)中的作用。以宿主-寄生蟲相互作用為例，說明如何建立簡單的數(shù)學(xué)模型，并解釋模型中關(guān)鍵參數(shù)（如感染率、清除率）的生物學(xué)意義。二、考慮一個描述某種寄生蟲在宿主體內(nèi)繁殖的級數(shù)模型，該模型由以下方程組描述：(1)$\frac{dN_0}{dt}=rN_0-aN_0N_p$(2)$\frac{dN_p}{dt}=baN_0N_p-dN_p$其中，$N_0$為未感染宿主的數(shù)量，$N_p$為感染寄生蟲的宿主數(shù)量，$r$為未感染宿主的自然增長率，$a$為寄生蟲感染率，$b$為寄生蟲在宿主體內(nèi)的繁殖率，$d$為感染宿主的死亡率。請解釋該模型的生物學(xué)意義，并求出該系統(tǒng)的平衡點（即$\frac{dN_0}{dt}=0$且$\frac{dN_p}{dt}=0$時的$N_0$和$N_p$的值），分析這些平衡點的意義。三、在寄生蟲病控制中，常使用某種藥物進(jìn)行干預(yù)。假設(shè)藥物能以一定的效率$c$降低寄生蟲的繁殖率或增加其死亡率，試在上述級數(shù)模型的基礎(chǔ)上，修改模型以反映藥物的作用。然后，分析藥物干預(yù)對系統(tǒng)平衡點可能產(chǎn)生的影響。四、假設(shè)你收集到某地區(qū)瘧原蟲感染者的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下表所示（僅為示例，非真實數(shù)據(jù)）：月份：1,2,3,4,5,6感染者人數(shù)：120,150,180,250,300,320請選擇合適的統(tǒng)計方法，分析瘧原蟲感染者人數(shù)隨時間變化的趨勢。簡要說明你選擇的方法及其理由，并描述你從數(shù)據(jù)中觀察到的趨勢。五、建立描述寄生蟲病傳播的SIR模型的基本思想是什么？請解釋模型中S、I、R三個狀態(tài)分別代表什么，以及模型中各參數(shù)（如傳染率$\beta$、恢復(fù)率$\gamma$）的生物學(xué)意義。簡述如何利用該模型估計基本再生數(shù)$R_0$，并解釋$R_0$的意義。六、設(shè)有一個描述某種寄生蟲在空間中擴散的偏微分方程模型：$\frac{\partialC}{\partialt}=D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}-\muC$其中，$C(x,t)$表示在位置$x$、時間$t$時寄生蟲的密度，$D$為擴散系數(shù)，$\mu$為死亡率。請解釋該方程中各項的物理或生物學(xué)意義。如果$D=0.1$,$\mu=0.05$，且初始條件為$C(x,0)=\begin{cases}10,&0\lex\le1\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$，請定性描述寄生蟲密度$C(x,t)$隨時間$t$和空間$x$變化的趨勢。七、數(shù)值計算在求解復(fù)雜的寄生蟲數(shù)學(xué)模型中非常重要。以常微分方程初值問題$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$,$y(t_0)=y_0$為例，簡述歐拉法（Euler'smethod）的基本思想。假設(shè)要使用歐拉法求解$\frac{dy}{dt}=ty+1$,$y(0)=1$在區(qū)間$[0,1]$上，步長$h=0.1$時的近似值，請寫出計算$y(0.1)$,$y(0.2)$的計算公式。八、在寄生蟲病研究中，常常需要估計疾病的傳染期或潛伏期。假設(shè)已知疾病的傳播遵循某個隨機過程，且感染者從感染到發(fā)病（或傳染給他人）的時間服從指數(shù)分布。請解釋該模型的基本假設(shè)，并說明如何利用最大似然估計法估計該指數(shù)分布的參數(shù)（即傳染期或潛伏期的平均值）。試卷答案一、微分方程通過描述寄生蟲種群數(shù)量隨時間的變化率，捕捉了種群增長、衰退以及種間相互作用的動態(tài)過程。宿主-寄生蟲相互作用模型通?？紤]宿主增長率、感染率、寄生蟲繁殖率、寄生蟲死亡率等因素。例如，一個簡單的模型可以描述未感染宿主數(shù)量$N_0$的變化受自然增長率$r$和被感染的概率（與感染宿主數(shù)量$N_p$相關(guān)）的驅(qū)動，同時減少的數(shù)量用于感染寄生蟲；感染宿主數(shù)量$N_p$的變化則受感染$N_0$的速率和寄生蟲死亡或清除的速率驅(qū)動。模型中的關(guān)鍵參數(shù)：$r$代表宿主自身繁殖的速度；$a$代表寄生蟲成功感染一個宿主的可能性，與接觸率和易感性有關(guān)；$b$代表寄生蟲在宿主體內(nèi)的繁殖效率；$d$代表寄生蟲或宿主因疾病等原因死亡的速度。二、該模型描述了未感染宿主$N_0$和感染寄生蟲宿主$N_p$的數(shù)量隨時間$t$的變化。$N_0$的變化受自身增長$rN_0$減去被感染的數(shù)量$aN_0N_p$的影響。$N_p$的變化受被感染的數(shù)量$baN_0N_p$減去死亡或清除的數(shù)量$dN_p$的影響。平衡點是系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時的狀態(tài)，即種群數(shù)量不再隨時間變化。求平衡點需要解以下方程組：$\begin{cases}rN_0-aN_0N_p=0\\baN_0N_p-dN_p=0\end{cases}$從第一個方程可得$N_0(r-aN_p)=0$，解為$N_0=0$或$N_p=\frac{r}{a}$。*當(dāng)$N_0=0$時，代入第二個方程得$N_p=0$。平衡點為$(N_0,N_p)=(0,0)$。*當(dāng)$N_p=\frac{r}{a}$時，代入第二個方程得$baN_0\frac{r}{a}-d\frac{r}{a}=0$，即$brN_0-dr=0$。若$r\neq0$，則$N_0=\fracsaq4gm6$。平衡點為$(N_0,N_p)=\left(\fraci4u66ci,\frac{r}{a}\right)$。這些平衡點的意義：*$(0,0)$：沒有寄生蟲，也沒有感染的宿主。這是一個穩(wěn)定平衡點，表示沒有疾病傳播。*$\left(\fracsc66gmc,\frac{r}{a}\right)$：系統(tǒng)達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài)，存在一個持續(xù)的、穩(wěn)定的寄生蟲種群和一個穩(wěn)定的感染宿主種群。這個平衡點的存在與否以及穩(wěn)定性取決于參數(shù)$r,a,b,d$的值，它反映了疾病可能持續(xù)存在于該人群中的狀態(tài)。三、藥物干預(yù)可以假設(shè)為降低寄生蟲的繁殖率$b$或增加其死亡率$d$。修改后的模型方程為：(1)$\frac{dN_0}{dt}=rN_0-aN_0N_p$(2)$\frac{dN_p}{dt}=baN_0N_p-(d+c)N_p$其中，$c$代表藥物增加的死亡率或降低繁殖率的效率因子（可以是正數(shù)或負(fù)數(shù)，取決于如何定義$b$的變化）。分析藥物干預(yù)的影響：*若藥物有效，則$c>0$。這會增加感染宿主的死亡率$(d+c)$，從而可能導(dǎo)致感染宿主數(shù)量$N_p$的下降，并可能改變未感染宿主數(shù)量$N_0$的增長。新的平衡點$N_p$會降低，$N_0$可能升高。如果$c$足夠大，甚至可能使$N_p$的平衡值趨近于零，達(dá)到根除疾病的效果。*若藥物降低了寄生蟲繁殖率，即$b'=b+c<b$，則寄生蟲的傳播能力減弱，同樣可能導(dǎo)致$N_p$下降。對平衡點的影響與上述類似，關(guān)鍵在于藥物能否有效抑制寄生蟲的傳播。四、選擇時間序列分析方法。觀察數(shù)據(jù)，感染者人數(shù)隨時間呈現(xiàn)明顯的上升趨勢。這種趨勢可能由季節(jié)性因素、流行病學(xué)規(guī)律或數(shù)據(jù)收集方法變化等引起。選擇時間序列分析（如趨勢分析、季節(jié)性分解）可以量化這種增長趨勢，并可能識別出增長的模式（如線性、指數(shù)）。選擇此方法是因為數(shù)據(jù)是按時間順序收集的，并且我們關(guān)注的是數(shù)量隨時間的變化趨勢。從數(shù)據(jù)中觀察到的趨勢是瘧原蟲感染者人數(shù)從1月份到6月份持續(xù)增加。五、SIR模型的基本思想是將人群分為三個相互轉(zhuǎn)換的類別：易感者(Susceptible,S)，指可能被感染但尚未感染的人；感染者(Infected,I)，指已被感染并能傳播疾病的人；移除者(Removed,R)，指已從感染狀態(tài)恢復(fù)并獲得永久免疫的人（或因死亡而退出傳染過程）。模型通過微分方程描述這三個群體數(shù)量隨時間的變化率，反映了疾病在人群中的傳播過程。模型中各參數(shù)：*$\beta$(傳染率)：表示一個易感者和一個感染者接觸時，單位時間內(nèi)易感者被感染的概率，反映了疾病的傳染能力。*$\gamma$(恢復(fù)率/移除率)：表示一個感染者單位時間內(nèi)恢復(fù)或被移除（死亡）的概率。基本再生數(shù)$R_0$的計算公式通常為$R_0=\frac{\beta}{\gamma}$。$R_0$的意義是：在所有人都易感的情況下，一個初始感染者平均能傳染多少人。如果$R_0>1$，意味著疾病有擴大的趨勢；如果$R_0<1$，意味著疾病會逐漸消失。$R_0$是衡量疾病傳播風(fēng)險和制定控制策略的重要指標(biāo)。六、該偏微分方程描述了寄生蟲密度$C(x,t)$在空間$x$和時間$t$上的變化。$\frac{\partialC}{\partialt}$表示密度隨時間的變化率；$D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}$表示密度在空間上的擴散效應(yīng)（第二導(dǎo)數(shù)衡量曲率，$D$是擴散系數(shù)）；$-\muC$表示寄生蟲自身的衰減或死亡率。方程綜合描述了寄生蟲密度的增長（擴散）、傳播和衰減。給定初始條件，表示在$t=0$時，寄生蟲只在$x=0$到$x=1$的區(qū)域內(nèi)存在，其他區(qū)域沒有。隨著時間$t$的推移，寄生蟲密度會從初始區(qū)域向周圍空間擴散（由擴散項$D\frac{\partial^2C}{\partialx^2}$驅(qū)動），同時密度本身會因死亡率$\mu$而衰減。因此，密度分布會從初始的集中狀態(tài)逐漸變得彌散，并且峰值密度會隨時間下降。七、歐拉法是一種簡單的數(shù)值積分方法，用于求解常微分方程初值問題。其基本思想是利用函數(shù)在一點的切線近似該點附近的函數(shù)值。具體步驟如下：將積分區(qū)間$[t_0,T]$劃分為$n$個小區(qū)間，步長為$h=\frac{T-t_0}{n}$。從初始條件$(t_0,y_0)$開始，預(yù)測下一時刻$t_{i+1}=t_i+h$時的近似值$y_{i+1}$。根據(jù)微分方程$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$在點$(t_i,y_i)$處的值$f(t_i,y_i)$（即切線斜率），得到：$y_{i+1}=y_i+hf(t_i,y_i)$對于給定的方程$\frac{dy}{dt}=ty+1$,$y(0)=1$，步長$h=0.1$，計算$y(0.1)$：$y_1=y_0+hf(t_0,y_0)=1+0.1\cdotf(0,1)=1+0.1\cdot(0\cdot1+1)=1+0.1\cdot1=1.1$計算$y(0.2)$：$y_2=y_1+hf(t_1,y_1)=1.1+0.1\cdotf(0.1,1.1)$需要計算$f(0.1,1.1)=0.1\cdot1.1+1=0.11+1=1.11$。所以，$y_2=1.1+0.1\cdot1.11=1.1+0.111=1.211$。八、該模型假設(shè)疾病傳播遵循隨機過程，每個感染者都具有相似的傳播特性。模型的基本假設(shè)是感染者從感染到發(fā)?。ɑ蚰軌騻魅舅耍┑臅r間間隔$T$服從參數(shù)為$\lambda=\frac{1}{\text{平均潛伏期/傳染期}}$的指數(shù)分布。指數(shù)分布的特點是“無記憶性”，意味著過去已經(jīng)度過的時間不會影響剩余時間的分布。最大似然估計法是統(tǒng)計中估計模型參數(shù)的一種常用方法。對于指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為$f(t;\lambda)=\lambdae^{-\lambdat}$(對于參數(shù)$\lambda$)。給定一組觀測數(shù)據(jù)$t_1,t_2,\dots,t_n$(代表從感染到發(fā)病/傳染的時間)，要估計參數(shù)$\lambda$。最大似然估計的目標(biāo)是找到能使觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率（似然函數(shù)）最大的參數(shù)值$\hat{\lambda}$。似然函數(shù)為$L(\lambda)=\prod_{i=1}^n\lambdae^{-\lambdat_i}=\lambda^ne^{-\lambda\sum_{i=1}^nt_i}$。取對數(shù)得到對數(shù)似然函數(shù)$\ell(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^nt_i$。對$\lambda$求導(dǎo)并令其為零：$\frac{d\