2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——離散數(shù)學(xué)的基本概念及應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共30分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.下列哪個表達式是命題？(A)x+y>5(B)2+3=5(C)這個句子是假的(D)請勿吸煙2.命題公式(p∨?q)→(r∧s)的對偶式是：(A)(?p∧q)?(?r∨?s)(B)(?p∨q)?(r∧?s)(C)(?p∨?q)?(r∧s)(D)(?p∧?q)?(?r∨?s)3.設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5}。則(A∩B)∪C等于：(A){1,2,3,4}(B){3,4,5}(C){1,3,4,5}(D){2,3,4}4.關(guān)系R={(1,2),(2,3),(1,3)}在集合A={1,2,3}上是：(A)自反的(B)反自反的(C)對稱的(D)傳遞的5.設(shè)函數(shù)f:A→B,其中A={a,b},B={x,y}。則下列哪個是onto函數(shù)？(A)f={(a,x),(b,x)}(B)f={(a,y),(b,x)}(C)f={(a,x),(a,y)}(D)f={(b,y),(a,x)}6.下列哪個圖是歐拉圖？(A)```1--2||4--3```(B)```1--2--3||45```(C)```1--2||3--4|5```(D)```1--2--3||45--6```7.一棵有n個頂點的樹，其邊數(shù)為：(A)n-1(B)n(C)n+1(D)2n8.計算從A點到B點的所有不同路徑（無重復(fù)經(jīng)過頂點）的數(shù)目，其中頂點有1,2,3,4,5，路徑必須經(jīng)過頂點2和4。則數(shù)目為：(A)2(B)3(C)4(D)59.計算C(10,6)的值：(A)210(B)252(C)330(D)38510.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+3+5+...+(2n-1)=n^2”時，第二步（歸納假設(shè)）應(yīng)假設(shè)：(A)n=k時等式成立(B)n=k+1時等式成立(C)1+3+5+...+(2k-1)=k^2(D)1+3+5+...+(2k-1)=(k+1)^2二、判斷題（每小題3分，共15分。請將“正確”填在題后的括號內(nèi)，將“錯誤”填在括號內(nèi)。）1.如果一個命題公式在任何解釋下都為真，則稱其為重言式。()2.兩個集合的差集A-B是屬于A且不屬于B的所有元素組成的集合。()3.如果R是集合A上的等價關(guān)系，那么對于任意a,b∈A，都有(a,b)∈R。()4.如果一個函數(shù)f:A→B是bijection，那么它的逆函數(shù)f?1:B→A也存在。()5.任何含有n個頂點的無向連通圖，至少有n-1條邊。()三、計算題（每小題10分，共40分。）1.化簡命題公式p∧(q∨?p)∧?q。2.寫出謂詞公式?x?y(P(x,y)∧?Q(x))的否定形式。3.設(shè)A={1,2,3,4,5}，關(guān)系R={(a,b)|a<b}。求R的自反閉包和對稱閉包。4.計算排列數(shù)P(7,3)和組合數(shù)C(9,4)，并寫出計算過程。四、證明題（每小題15分，共30分。）1.證明：一個有n個頂點的無向圖G是樹，當且僅當G是連通的且恰好有n-1條邊。2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有正整數(shù)n，都有1+2+3+...+n≤n(n+1)/2。---試卷答案一、選擇題1.B2.D3.C4.D5.B6.C7.A8.B9.B10.C二、判斷題1.正確2.正確3.錯誤4.正確5.正確三、計算題1.解析：利用命題邏輯的基本定律進行化簡。原式=p∧(q∨?p)∧?q=(p∧?p∨p∧?q)∧?q(分配律)=(F∨p∧?q)∧?q(排中律p∧?p=F)=(p∧?q)∧?q(吸收律F∨A=A)=p∧?q∧?q(結(jié)合律)=p∧?q(矛盾律?q∧?q=?q)答案：p∧?q2.解析：根據(jù)謂詞邏輯的否定規(guī)則，否定全稱量詞?為存在量詞?，否定存在量詞?為全稱量詞?，并對謂詞內(nèi)部進行否定。原式:?x?y(P(x,y)∧?Q(x))否定后:?[?x?y(P(x,y)∧?Q(x))]=?x?[?y(P(x,y)∧?Q(x))](量詞否定規(guī)則)=?x?y?[P(x,y)∧?Q(x)](量詞否定規(guī)則)=?x?y[?P(x,y)∨??Q(x)](謂詞內(nèi)部否定規(guī)則，德摩根律)=?x?y[?P(x,y)∨Q(x)](雙重否定律)答案：?x?y(?P(x,y)∨Q(x))3.解析：根據(jù)閉包的定義進行構(gòu)造。R={(a,b)|a<b,a,b∈{1,2,3,4,5}}自反閉包R_r=R∪{(a,a)|a∈{1,2,3,4,5}}={(a,b)|a<b}∪{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}對稱閉包R_s=R∪{(b,a)|(a,b)∈R}={(a,b)|a<b}∪{(b,a)|a<b}={(a,b)|a<b}∪{(b,a)|a,b∈{1,2,3,4,5}且a<b}={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}∪{(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)}={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}答案：自反閉包為{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}；對稱閉包為{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}4.解析：根據(jù)排列和組合的定義進行計算。P(7,3)=7×6×5=210C(9,4)=9!/(4!×(9-4)!)=9!/(4!×5!)=(9×8×7×6×5!)/(4×3×2×1×5!)=9×8×7×6/24=(9×8×7×6)/(4×2×3)=(3×4×7×6)/2=3×2×7×6/2=3×7×6=126答案：P(7,3)=210；C(9,4)=126四、證明題1.證明：必要性：假設(shè)G是n個頂點的樹。根據(jù)樹的定義，G是連通的。根據(jù)樹的性質(zhì)，G的邊數(shù)e滿足e=n-1。充分性：假設(shè)G是n個頂點的無向連通圖，且邊數(shù)e=n-1。要證明G是樹。首先，n≥1。因為G連通且邊數(shù)少于頂點數(shù)（e=n-1<n），所以G不可能包含環(huán)。否則，根據(jù)歐拉公式（對連通圖），e≥n。但這里e=n-1<n，矛盾。因此G不含環(huán)。其次，n個頂點的無向連通無環(huán)圖恰好有n-1條邊。所以G是樹。綜上，一個有n個頂點的無向圖G是樹，當且僅當G是連通的且恰好有n-1條邊。2.證明：基礎(chǔ)步（n=1）：當n=1時，左邊=1，右邊=1(1+1)/2=1。左邊≤右邊，不等式成立。歸納假設(shè)：假設(shè)當n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+2+3+...+k≤k(k+1)/2。歸納步：證明當n=k+1時，不等式也成立。1+2+3+