2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在疾病傳播研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述SIR模型的基本思想，并說(shuō)明其中各個(gè)變量的含義。二、在SIR模型中，假設(shè)總?cè)藬?shù)N保持不變，感染人數(shù)I(t)的變化率由以下方程描述：dI/dt=βSI-γI-αI其中，S(t)為易感人群數(shù)量，R(t)為康復(fù)（移除）人群數(shù)量，β為感染率，γ為康復(fù)率，α為移除率（如死亡或隔離）。解釋該方程中各項(xiàng)的意義，并說(shuō)明與標(biāo)準(zhǔn)SIR模型相比，該方程引入了什么新的機(jī)制。三、考慮一個(gè)SEIR模型，其方程組如下：dS/dt=-βSI/NdE/dt=βSI/N-αEdI/dt=αE-γIdR/dt=γI其中，E(t)為潛伏期人群數(shù)量，N為總?cè)藬?shù)，其他符號(hào)含義同標(biāo)準(zhǔn)SIR模型。請(qǐng)解釋該模型相較于SIR模型增加了哪些新的變量和方程，并說(shuō)明新增變量E(t)的生物學(xué)意義。四、對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)SIR模型，假設(shè)初始時(shí)刻只有易感人群和少量感染者，即S(0)=N-1,I(0)=1,R(0)=0。證明標(biāo)準(zhǔn)SIR模型的平衡點(diǎn)（S,I,R）=(S*,0,R*)存在且唯一，其中S*>0。五、已知某疾病的潛伏期為5天，平均感染期為2天，平均康復(fù)期為10天。假設(shè)該疾病服從標(biāo)準(zhǔn)的SEIR模型。請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，估算該疾病的傳播基本再生數(shù)R0（提示：R0=βγ/α）。六、某地區(qū)人口總數(shù)為10萬(wàn)人，最近出現(xiàn)了一種新發(fā)傳染病。根據(jù)初步觀察，該病的潛伏期為3天，感染期為2天，康復(fù)期為14天。假設(shè)該病服從SEIR模型，且初始時(shí)刻有100個(gè)感染者。如果不對(duì)該病采取任何防控措施，請(qǐng)利用你自己的理解或假設(shè)一個(gè)合理的參數(shù)值（β,γ,α），并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由，然后估算該疾病在該地區(qū)傳播的潛在規(guī)模。試卷答案一、SIR模型是一種用于描述傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型，它將人群分為三類(lèi)：易感者（S，Susceptible）、感染者（I，Infected）和移除者（R，Removed，包括康復(fù)者和死亡者）。模型通過(guò)一組微分方程來(lái)描述這三類(lèi)人群數(shù)量隨時(shí)間的變化。其中，S(t)代表時(shí)刻t時(shí)易感人群的數(shù)量，I(t)代表時(shí)刻t時(shí)感染者（具有傳染能力的人）的數(shù)量，R(t)代表時(shí)刻t時(shí)已康復(fù)或因其他原因（如死亡、隔離）而不再具有傳染能力的人群數(shù)量。模型的核心思想是：易感者與感染者接觸時(shí)，會(huì)以一定的概率被感染；感染者會(huì)以一定的速率康復(fù)或移除。二、該方程描述了感染人數(shù)I(t)隨時(shí)間的變化率。其中，βSI/N項(xiàng)表示由于易感者S與感染者I的接觸而導(dǎo)致的新增感染人數(shù)，N為總?cè)丝跀?shù)，分母N的作用是將接觸率標(biāo)準(zhǔn)化，使其成為傳染率。γI項(xiàng)表示由于康復(fù)或移除而離開(kāi)感染人群的人數(shù)，γ為康復(fù)率或移除率。αI項(xiàng)表示由于移除（如死亡或隔離）而離開(kāi)感染人群的人數(shù)，α為移除率。該方程與標(biāo)準(zhǔn)SIR模型的主要區(qū)別在于引入了移除率α，這意味著感染者不僅可以通過(guò)康復(fù)離開(kāi)感染人群，還可以通過(guò)其他方式（如死亡、隔離）被移除。這使得模型能夠更準(zhǔn)確地描述某些傳染?。ㄈ鏑OVID-19）的傳播動(dòng)態(tài)，其中隔離和死亡是重要的移除途徑。三、SEIR模型在SIR模型的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)新的類(lèi)別——潛伏期人群（Exposed，記為E(t)），并增加了一個(gè)相應(yīng)的方程。潛伏期人群E(t)代表已經(jīng)感染病毒但尚未表現(xiàn)出癥狀、因此不具備傳染能力的人群。增加E(t)和相應(yīng)的方程dE/dt=βSI/N-αE，是為了更精確地描述傳染病的傳播過(guò)程。在SEIR模型中，病毒首先進(jìn)入潛伏期人群E，經(jīng)過(guò)一段潛伏期后才轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊逫。這樣可以更好地模擬疾病的傳播過(guò)程，特別是對(duì)于那些潛伏期較長(zhǎng)的疾病。四、證明標(biāo)準(zhǔn)SIR模型的平衡點(diǎn)存在且唯一。首先，將SIR模型的微分方程組：dS/dt=-βSI/NdI/dt=βSI/N-γIdR/dt=γI化為代數(shù)方程組，令dS/dt=dI/dt=dR/dt=0。得到：-SI/N=0βSI/N-γI=0γI=0從第三個(gè)方程γI=0，可得I=0。將I=0代入第二個(gè)方程βSI/N-γI=0，得到0=0，此方程對(duì)S任意成立。將I=0代入第一個(gè)方程-SI/N=0，得到0=0，此方程對(duì)S任意成立。因此，當(dāng)I=0時(shí)，S可以取任意值。此時(shí)，R=R(S)=1-S（因?yàn)镾+I+R=N，且I=0，N為常數(shù)）。所以，平衡點(diǎn)集為{(S,0,R(S))|S∈(0,N],R(S)=1-S}。由于S可以取(0,N]內(nèi)的任意值，所以存在無(wú)窮多個(gè)平衡點(diǎn)。但是，如果進(jìn)一步考慮實(shí)際情況，即易感者數(shù)量S必須大于0（S>0），且感染者和移除者數(shù)量不能超過(guò)總?cè)丝跀?shù)（I,R>0），則平衡點(diǎn)集為{(S,0,R)|0<S<N,R=1-S}。在這個(gè)范圍內(nèi)，對(duì)于每個(gè)固定的S，R是唯一確定的，因此平衡點(diǎn){(S,0,1-S)}是存在的，且是唯一的，其中S*∈(0,N)。五、估算該疾病的傳播基本再生數(shù)R0。根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，潛伏期T_e=5天，平均感染期T_i=2天，平均康復(fù)期T_r=10天。首先，估算平均傳染期T_c。平均傳染期是指一個(gè)感染者在其感染期間平均能傳染給其他易感人群的時(shí)間長(zhǎng)度?？梢越频卣J(rèn)為T(mén)_c=T_i+T_r=2+10=12天。然后，根據(jù)R0的定義R0=βγ/α，其中β是傳染率，γ是康復(fù)率，α是潛伏期內(nèi)被移除的比率。傳染率β可以近似為1/T_c，即β≈1/12?？祻?fù)率γ可以近似為1/T_r，即γ≈1/10。潛伏期內(nèi)被移除的比率α可以近似為潛伏期占總病程的比例，即α≈T_e/(T_e+T_i+T_r)=5/(5+2+10)=5/17。因此，R0≈(1/12)*(1/10)/(5/17)=17/120≈0.142。這個(gè)估算值非常小，這表明該疾病的傳播能力很弱，可能需要進(jìn)一步核實(shí)參數(shù)值的合理性。六、估算該疾病在該地區(qū)傳播的潛在規(guī)模。首先，根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，潛伏期T_e=3天，感染期T_i=2天，康復(fù)期T_r=14天。估算平均傳染期T_c。平均傳染期T_c可以近似為T(mén)_i+T_r=2+14=16天。因此，傳染率β≈1/16。總?cè)丝跀?shù)N=100,000人，初始時(shí)刻有I(0)=100個(gè)感染者。根據(jù)SEIR模型的定義，R0=βγ/α。由于題目沒(méi)有給出γ和α的具體值，我們需要假設(shè)合理的參數(shù)值。假設(shè)康復(fù)率γ=1/14（即平均康復(fù)期為14天），潛伏期內(nèi)被移除的比率α=T_e/(T_e+T_i+T_r)=3/(3+2+14)=3/19。因此，R0≈(1/16)*(1/14)/(3/19)=19/672≈0.028。這個(gè)R0值非常小，說(shuō)明該疾病的傳播能力很弱。然而，實(shí)際情況可能更復(fù)雜，例如人群密度、接觸模式等因素都會(huì)影響疾病的傳播。為了估算潛在規(guī)模，我們可以考慮感染人數(shù)I(t)隨