2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——微分拓?fù)鋵W(xué)在地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分）1.下列哪個不是拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)？A.鄰域關(guān)系的傳遞性B.單點集是閉集C.任意閉集的并集是閉集D.任意開集的交集是開集2.在緊致Hausdorff空間中，下列哪個說法是錯誤的？A.每個閉子集都是緊致的B.每個連續(xù)映射的像也是緊致的C.每個序列都存在收斂子序列D.每個開覆蓋都存在有限子覆蓋3.下列哪個不是同倫等價的空間？A.球面S2和二維球體B2B.環(huán)面T2和二維環(huán)面B2×S1C.空間曲線和點D.球面S2和圓環(huán)面T24.基本群π?(S1)等于：A.{e}B.?C.?D.?5.下列哪個是纖維叢的例子？A.實數(shù)直線?B.n維球面S?C.圓周S1→?，投影映射將圓周上的點映射為其圓心角D.空間曲線二、填空題（每小題4分，共20分）1.設(shè)f:X→Y是連續(xù)映射，如果f是一個同胚，則f的逆映射f?1也是________。2.空間X的單連通性等價于其基本群π?(X)等于________。3.設(shè)M是一個流形，α是M上的k形式，則dα是一個________形式。4.設(shè)π:E→B是一個纖維叢，L是B的一個子空間，且π|L是一個同胚，則L稱為纖維叢的________。5.虧格為g的閉曲面上的同調(diào)群H?是________。三、計算題（每小題8分，共24分）1.設(shè)S2是二維球面，證明S2與自身同胚。2.計算S1上的基本群π?(S1)。3.設(shè)M是一個三維流形，α是M上的1形式，β是M上的2形式，計算d(α∧β)。四、證明題（每小題10分，共30分）1.證明：一個流形M的每個點都有一個鄰域同胚于??。2.證明：如果M是一個可定向流形，則其上存在一個全局定義的體積形式。3.證明：虧格為g的閉曲面上的基本群π?是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)g≥2。五、論述題（15分）討論微分拓?fù)鋵W(xué)中的同調(diào)群在研究地質(zhì)構(gòu)造形成和演化過程中的應(yīng)用。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.A4.B5.C解析1.拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)包括：拓?fù)涔恚ò占腿我獠⒓陀邢藿患瘜儆谕負(fù)浠?，鄰域關(guān)系的傳遞性，單點集是閉集。故選B。2.在緊致Hausdorff空間中，每個閉子集都是緊致的，每個連續(xù)映射的像也是緊致的，每個開覆蓋都存在有限子覆蓋。序列存在收斂子序列是度量空間的性質(zhì)，并非緊致Hausdorff空間的性質(zhì)。故選C。3.球面S2和二維球體B2是同胚的，環(huán)面T2和二維環(huán)面B2×S1是同胚的，空間曲線和點是同倫等價的，球面S2和圓環(huán)面T2不是同倫等價的。故選A。4.圓周S1的基本群π?(S1)是整數(shù)群?，表示圓周上繞原點的圈數(shù)。故選B。5.實數(shù)直線?不是纖維叢，n維球面S?不是纖維叢，空間曲線不是纖維叢。圓周S1→?，投影映射將圓周上的點映射為其圓心角是一個纖維叢，其中B是?，E是S1，π是投影映射。故選C。二、填空題1.連續(xù)映射2.{e}3.(k+1)形式4.浸入子叢5.?2解析1.如果f:X→Y是連續(xù)映射，且f是一個同胚，則f的逆映射f?1也是連續(xù)映射。同胚是雙射且連續(xù)且逆映射連續(xù)。2.空間X的單連通性意味著對于任意兩個點x,y∈X，存在一條路徑連接它們。這等價于其基本群π?(X)只包含恒等元e，即{e}。3.設(shè)M是一個流形，α是M上的k形式，則其外導(dǎo)數(shù)dα是一個(k+1)形式。外微分運算d滿足線性、反對稱性和滿足萊布尼茨規(guī)則，對k形式作用后得到(k+1)形式。4.設(shè)π:E→B是一個纖維叢，L是B的一個子空間，如果π|L是一個同胚，則L稱為纖維叢的浸入子叢。浸入子叢是指一個子空間L，使得投影映射在L上的限制是L到其像的一個浸入映射。5.虧格為g的閉曲面上的同調(diào)群H?是?2。對于虧格為g≥2的閉曲面，其一階同調(diào)群H?由兩個生成元生成，每個生成元對應(yīng)一個基本循環(huán)，且它們互相獨立，因此H???2。三、計算題1.證明：一個流形M的每個點都有一個鄰域同胚于??。解析：根據(jù)流形的定義，流形M在每個點p處都有一個局部坐標(biāo)系，即存在一個包含p的開集U?M和一個同胚?:U→??，使得?(p)=0。因此，對于每個點p∈M，都存在一個鄰域U_p?U同胚于??。2.計算S1上的基本群π?(S1)。解析：考慮S1上的路徑，可以將S1參數(shù)化為(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)。兩條路徑α(t)=(cosθ(t),sinθ(t))和β(t)=(cosφ(t),sinφ(t))在同倫等價當(dāng)且僅當(dāng)存在一個連續(xù)映射H:[0,1]×[0,2π]→?2，使得H(0,θ)=α(0),H(1,θ)=α(1),H(s,φ)=β(s)對于所有s∈[0,1]和φ∈[0,2π)。這意味著兩條路徑可以通過在圓周上連續(xù)旋轉(zhuǎn)相互轉(zhuǎn)換。因此，基本群π?(S1)由繞原點的圈數(shù)決定，記為[α,β]，其中α和β是基本loops，分別繞原點順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)一周?；救菏钦麛?shù)群?，生成元為繞原點旋轉(zhuǎn)一周的loop。3.設(shè)M是一個三維流形，α是M上的1形式，β是M上的2形式，計算d(α∧β)。解析：根據(jù)外微分運算d的性質(zhì)，對于k形式α和l形式β，有d(α∧β)=dα∧β+(-1)^kα∧dβ。在本題中，α是1形式，β是2形式，所以k=1，l=2。因此，d(α∧β)=dα∧β+(-1)^1α∧dβ=dα∧β-α∧dβ。四、證明題1.證明：一個流形M的每個點都有一個鄰域同胚于??。解析：根據(jù)流形的定義，流形M是一個滿足特定拓?fù)湫再|(zhì)的空間。根據(jù)流形的局部性質(zhì)，對于M中的每個點p，都存在一個包含p的開集U和一個同胚φ:U→??。這個同胚φ將點p映射到原點，并將U中的其他點映射到??中的不同點。因此，U中的每個點都有一個鄰域同胚于??。這證明了流形M的每個點都有一個鄰域同胚于??。2.證明：如果M是一個可定向流形，則其上存在一個全局定義的體積形式。解析：可定向流形M意味著存在一個全局定義的定向。根據(jù)定向的定義，存在一個非零的(n-1)形式ω，它在M的每個點的鄰域上都是非零的。現(xiàn)在，我們需要構(gòu)造一個全局定義的n形式V。對于每個點p∈M，我們可以選擇一個局部坐標(biāo)系(x?,...,x?)，使得定向?qū)?yīng)于{dx?,...,dx?}的定向。在局部坐標(biāo)系下，我們可以定義一個n形式V=dx?∧...∧dx?。由于局部坐標(biāo)系的過渡函數(shù)是正定的，所以V在全局上是非零的。因此，V是一個全局定義的體積形式。3.證明：虧格為g的閉曲面上的基本群π?是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)g≥2。解析：虧格為g的閉曲面上的基本群π?是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)g≥2。當(dāng)g=0時，閉曲面是球面S2，其基本群π?(S2)={e}是阿貝爾群。當(dāng)g=1時，閉曲面是torusT2，其基本群π?(T2)=?⊕?是阿貝爾群。當(dāng)g≥2時，閉曲面是高虧格曲面，其基本群π?是自由群，不是阿貝爾群。因此，虧格為g的閉曲面上的基本群π?是阿貝爾群當(dāng)且僅當(dāng)g≥2。五、論述題討論微分拓?fù)鋵W(xué)中的同調(diào)群在研究地質(zhì)構(gòu)造形成和演化過程中的應(yīng)用。解析：微分拓?fù)鋵W(xué)中的同調(diào)群是研究空間拓?fù)湫再|(zhì)的重要工具，在研究地質(zhì)構(gòu)造形成和演化過程中具有重要的應(yīng)用價值。同調(diào)群可以用來描述地質(zhì)構(gòu)造的空間結(jié)構(gòu)特征，以及地質(zhì)構(gòu)造之間的相互關(guān)系。