1.1因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題我們先回顧兩個(gè)畫圖問題：1.已知線段AB=5厘米，以線段AB為腰的等腰三角形ABC有多少個(gè)?頂點(diǎn)C的軌跡是什么?2.已知線段AB=6厘米，以線段AB為底邊的等腰三角形ABC有多少個(gè)?頂點(diǎn)C的軌跡是什么?已知腰長畫等腰三角形，用圓規(guī)畫圓，圓上除了兩個(gè)點(diǎn)以外，都是頂點(diǎn)C。已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上，垂足要除外。在討論等腰三角形的存在性問題時(shí)，一般都要先分類。如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三種情況。解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題既好又快。幾何法一般分三步：分類、畫圖、計(jì)算。哪些題目適合用幾何法呢?如果△ABC的∠①如圖1，如果AB=AC，直接列方程；②如圖2，如果BA=BC,那么12AC=代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗(yàn)。如果三角形的三個(gè)角都是不確定的，而三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，三邊長(的平方)就可以羅列出來。例12025年山西省中考第23題問題情境如圖1，在△ABC紙片中，AB>BC,,點(diǎn)D在邊AB上,AD>BD。沿過點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使DB的對(duì)應(yīng)線段DB'與BC平行，且折痕與邊BC交于點(diǎn)E，得到△猜想證明(1)判斷四邊形.BDB'E的形狀，并說明理由；拓展延伸(2)如圖2，繼續(xù)沿過點(diǎn)D的直線折疊該紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn).A'落在射線DB'上，且折痕與邊AC交于點(diǎn)F，然后展平。連接A'E交邊AC于點(diǎn)G，連接A'F。①若AD=2BD,判斷DE與A'E的位置關(guān)系，并說明理由；②若∠C=90°動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件“25山西24”，可以體驗(yàn)到，四邊形BDB'E是菱形，△A'DE的中線B'E等于A'D的一半。點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕“第(2)題②”，拖動(dòng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，Rt△A'FH的形狀不變，設(shè)A'F=5m,FH=3m,,觀察△A'FG,當(dāng).FG=FA'=5m時(shí),HG=2m;當(dāng)A'G=A'F=5m時(shí),HG=3m。思路點(diǎn)撥1.第(1)題證明四邊形BDB'E的四條邊都相等比較簡(jiǎn)便。2.第(2)題①先證明△A'DE的中線B'E等于A'D的一半,再由△A'DE的內(nèi)角和就可以證明∠A'ED=90°。3.第(2)題②設(shè)A'D與AC交于點(diǎn)H,那么△A'FH的三邊比為3:4:5。設(shè).A'F=5m,A'H=4m,FH=3m。進(jìn)而可以用m表示線段AH、AD的長。4.分兩種情況討論以A'F為腰的等腰三角形A'FG，就可以用m表示GH的長。5.設(shè)BD=BE=n,那么EC=9n,由A'H∥EC,根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例,就可以用n表示CG的長。6.分兩種情況根據(jù)AB=15,AC=12列關(guān)于m、n的方程組。滿分解答(1)四邊形BDB'E是菱形。說理如下:如圖3,已知△BDE≌△B'DE,所以BD已知DB'∥BC,所以∠2=∠3。等量代換,得∠1=∠3。所以BD=BE。等量代換，得四邊形BDB'E的四條邊都相等。所以四邊形BDB'E是菱形。(2)①如圖4,已證四邊形BDB'E是菱形,所以∠5=∠2。已知△ADF≌△A'DF,所以AD=A'D。已知AD=2BD,B'D=BD,等量代換,得.A'D=2B'D。所以點(diǎn)B'是線段A'D的中點(diǎn)。又因?yàn)锽'D=B'E,等量代換，得B'A'=B'E。所以∠6=∠4。于是在△A'DE中,根據(jù)內(nèi)角和,可得∠5+∠2+∠6+∠4=180°。所以∠5+∠6=90°。所以DE⊥A'E。②A'F=5或165考點(diǎn)延伸第(2)題②可以這樣思考:如圖5,設(shè)A'D與AC交于點(diǎn)H。在Rt△ABC中,AB=15,BC=9,所以AC因?yàn)镽t△A'FH的形狀不變,設(shè).A'F=5m,FH=3m,A'H=4m。所以AF=A'F=5m。。所以AH=8m。所以AD=10m。設(shè)BD=BE=n,那么AB=10m+n=15,EC=9n。分兩種情況討論以A'F為腰的等腰三角形A'FG。(i)如圖5,當(dāng).FG=FA'=5m時(shí),HG=2m。由HA'∥EC,得A'HEC=HGCG所以AC解方程組{10(ii)如圖6,當(dāng).A'F=A'G=5m時(shí),FH=HG=3m。由A'HEC=HGCG所以AC解方程組{10m+n=15,11m例22025年煙臺(tái)市中考第24題如圖1，拋物線y=a(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t。①用含t的代數(shù)式表示線段DE的長度；②是否存在點(diǎn)D，使△CDE是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)連接OE，將線段OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OG，連接AG，請(qǐng)直接寫出線段AG長度的最小值。動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件“25煙臺(tái)24”，拖動(dòng)點(diǎn)E在線段CB上運(yùn)動(dòng)，觀察△CDE點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕“第(3)題”，拖動(dòng)點(diǎn)E在線段CB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)AG?思路點(diǎn)撥1.第(1)題設(shè)拋物線的交點(diǎn)式比較簡(jiǎn)便。2.第(2)題先羅列△CDE的邊長EC、ED及夾角∠CED的余弦值，再分三種情況討論等腰三角形CDE。3.第(3)題將線段CB及點(diǎn)E一起繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90滿分解答(1)因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(2,0)、B(6,0)兩點(diǎn),設(shè)交點(diǎn)式為y=a(x+2)(x6)。根據(jù)常數(shù)項(xiàng)相等，得12a=3。解得a=?14(2)①由C(0,3)、B(6,0),得直線CB的表達(dá)式為y所以D所以DE②在△CDE中,CE=(i)如圖2,當(dāng)EC=ED時(shí),5解得t=6?25,(ii)如圖3,當(dāng)DE=DC時(shí),12EC=解得t=1,或t=0(舍去)。此時(shí)D(iii)如圖4,當(dāng)CE=CD時(shí),12ED=5(3)AG長度的最小值等于2考點(diǎn)延伸第(3)題可以這樣思考：已知點(diǎn)A是定點(diǎn)，求AG的最小值，那么動(dòng)點(diǎn)G的軌跡是什么呢?如圖5，線段OG與OE垂直且相等，點(diǎn)E在線段CB上，將線段CB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90根據(jù)“垂線段最短”，可知當(dāng)AG?如圖6，換個(gè)角度思考，將點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90當(dāng)HE?在Rt△HCE中，CH=5,sin∠還可以這樣思考：AG的最小值就是點(diǎn)H到直線CB的距離。例32025年黑龍江省龍東地區(qū)中考第28題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，tan∠COA=3,OA的長是一元二次方程.x2?3x(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)連接MN、PM,求△PMN(3)當(dāng)t=3時(shí)，在對(duì)角線OB上是否存在一點(diǎn)E，使得△MNE是含3動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件“25龍東28",，拖動(dòng)點(diǎn)M由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，在點(diǎn)N與點(diǎn)P相遇前，S隨t變化的函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分；在點(diǎn)N經(jīng)過點(diǎn)P以后，圖象是開口向上的拋物線的一部分。點(diǎn)擊屏幕左下方的按鈕“第(3)題”，可以體驗(yàn)到，含30思路點(diǎn)撥1.含60°角的菱形的較長的對(duì)角線等于邊長的3倍。也就是說，M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)。2.第(2)題用含t的式子表示PN分兩種情況：點(diǎn)N與點(diǎn)P相遇前、相遇后。3.第(3)題中t=3的幾何意義是M、Q兩點(diǎn)重合，N與菱形對(duì)角線的交點(diǎn)重合。此時(shí)NM是Rt△NOA斜邊上的中線,∠MON=∠MNO=30°。滿分解答(1)解方程x2?3由tan∠COA在Rt△COQ中,OC=6,∠COQ=60°,所以O(shè)Q=3。在Rt△POQ中,∠POQ=30°,所以.PQ所以P(3,3)。(2)如圖2,作MH⊥OB于點(diǎn)H,那么MH由OB=6①如圖2,點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)P前,PN所以S==?②如圖3,點(diǎn)N經(jīng)過點(diǎn)P后,PN所以S(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(0,0),9?33233考點(diǎn)延伸第(3)題