重難點(diǎn)培優(yōu)12導(dǎo)數(shù)中的不等式證明問(wèn)題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 4題型一常規(guī)構(gòu)造差函數(shù)型（★★★★★） 4題型二同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)型（★★★★★） 8題型三換元后構(gòu)造函數(shù)型（★★★★★） 15題型四利用放縮法（含切線(xiàn)放縮、泰勒展開(kāi)）（★★★★） 19題型五利用隱零點(diǎn)（★★★★★） 24題型六利用凹凸反轉(zhuǎn)（★★★★） 28題型七含多變量型（★★★★） 30題型八導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)（★★★★） 38題型九導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列（★★★★★） 4503實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效 51檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固 51檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 69一、導(dǎo)數(shù)證明不等式，核心思維如下：1、構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)不等式，用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立.2、構(gòu)造函數(shù)常見(jiàn)思路(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見(jiàn)的放縮結(jié)論，如①對(duì)數(shù)形式：x≥1＋lnx（x＞0），當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立.②指數(shù)形式：ex≥x＋1（x∈R），當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立.進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx（x＞0，且x≠1）.(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處f(x)min>g(x)max恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個(gè)“x的值”．（5）同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)3、利用函數(shù)不等式來(lái)放縮.涉及到求和或者求積型不等式，放縮有以下兩個(gè)思維（1）先放縮再求和證明；（2）先求和再放縮證明.4、切線(xiàn)放縮放縮的結(jié)構(gòu)（1）指數(shù)函數(shù)的切線(xiàn)不等式（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的切線(xiàn)不等式（3）三角函數(shù)的切線(xiàn)不等式5、基于泰勒展開(kāi)的結(jié)構(gòu)（1）常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式（2）由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式二、證明不等式的一般思維和基本步驟（1）作差或變形；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式；特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．三、不等式證明的“借式子”思維：首先作為第二問(wèn)不等式證明中，關(guān)鍵需要利用（1）中的結(jié)論，得出符合證明的不等式，或者符合證明方向的不等式放縮條件式子，這需要結(jié)合（1）中的結(jié)論，巧妙賦值，適當(dāng)湊配.其次，還需要聯(lián)想要證的不等式的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)合適的函數(shù)關(guān)系式，得出放縮關(guān)系.題型一常規(guī)構(gòu)造差函數(shù)型【技巧通法·提分快招】證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；1．證明不等式：【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(2)；證明見(jiàn)解析.（2）（i）利用常規(guī)求導(dǎo)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值；(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)方程；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而確定參數(shù)范圍；即的最小值為；【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．題型二同構(gòu)構(gòu)造函數(shù)型【技巧通法·提分快招】(2)證明見(jiàn)解析故原不等式得證.(2)證明見(jiàn)解析（2）根據(jù)題意求出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可證明；（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值進(jìn)而列出不等式求解即可.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)于切線(xiàn)方程，需要先求出函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，得到切線(xiàn)斜率，再結(jié)合該點(diǎn)坐標(biāo)求出切線(xiàn)方程；（2）對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性和極值，通過(guò)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出極值；00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減【答案】(1)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，對(duì)分類(lèi)討論即可求解；現(xiàn)證當(dāng)時(shí)上式成立：題型三換元后構(gòu)造函數(shù)型（i）求實(shí)數(shù)的值；【答案】(1)；(2)（i）1；（ii）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)斜率，進(jìn)而確定傾斜角大??；(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性；題型四利用放縮法（含切線(xiàn)放縮、泰勒展開(kāi)）【技巧通法·提分快招】1、常見(jiàn)不等式（大題使用需要證明）(2)1(3)證明見(jiàn)詳解（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最小值；(2)證明見(jiàn)解析.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用參數(shù)的范圍對(duì)函數(shù)進(jìn)行放縮，結(jié)合的泰勒公式放縮證明.【答案】證明見(jiàn)解析所以原題得證.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：題型五利用隱零點(diǎn)(2)證明見(jiàn)解析【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值(3)證明見(jiàn)解析（2）對(duì)參數(shù)的取值分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)單增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，函數(shù)單減進(jìn)行判斷即可；(3)證明見(jiàn)解析.題型六利用凹凸反轉(zhuǎn)【技巧通法·提分快招】2、利用“端點(diǎn)效應(yīng)”解決問(wèn)題的一般步驟可分為以下幾步①利用端點(diǎn)處函數(shù)值或?qū)?shù)值滿(mǎn)足的條件，初步獲得參數(shù)的取值范圍，這個(gè)范圍是不等式恒成立的必要條件②利用所得出的參數(shù)范圍判斷函數(shù)在定義域內(nèi)是否單調(diào)③若函數(shù)在限定參數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)，則必要條件即為充要條件，問(wèn)題解決.若不單調(diào)，則需進(jìn)一步討論，直至得到使不等式恒成立的充要條件題型七含多變量型【分析】（1）分類(lèi)討論利用導(dǎo)數(shù)求最值判斷不等式恒成立的條件；（?。┣髮?shí)數(shù)m的取值范圍；【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等研究函數(shù)的零點(diǎn)即可；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于多元不等式的證明，通常采取多元化一元，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，利用單調(diào)性進(jìn)行證明，多元化一元時(shí)可采取換元，或?qū)ふ腋髟g的聯(lián)系進(jìn)行代換.（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組，解之即可；所以的值為.而上面兩個(gè)等號(hào)不是同時(shí)取到，題型八導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)【技巧通法·提分快招】對(duì)于含有三角函數(shù)型不等式證明：1、證明思路和普通不等式一樣。2、充分利用正余弦的有界性(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得極值；（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后借助因式分解與二次函數(shù)的性質(zhì)可得其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得其單調(diào)性；【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用給定的定義列出恒成立的不等式，再分離參數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性求解.題型九導(dǎo)數(shù)結(jié)合數(shù)列【技巧通法·提分快招】2、累加列項(xiàng)相消證明法(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而得解；【答案】(1)0；(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析；【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求最值即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論單調(diào)性即可；（3）利用（1）小問(wèn)的結(jié)論，構(gòu)造出不等關(guān)系，利用累加法即可證得結(jié)論.(2)證明見(jiàn)詳解.（ii）函數(shù)無(wú)極值，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)不存在變號(hào)區(qū)間，根據(jù)（i）的討論結(jié)果，即可判斷；原式得證.檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固1．求證：【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【答案】(1)個(gè)，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可,【答案】(1)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析故原不等式成立.(2)證明見(jiàn)解析.(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值.（3）根據(jù)所證不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得證.【答案】(1)0(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即得函數(shù)的極小值即最小值；（i）求a的取值范圍；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，分類(lèi)討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可得解；【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析（i）求a的取值范圍；【答案】(1)證明見(jiàn)解析【答案】(1)最大值為0；(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到極值最值；（2）借助前面證明，運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行裂項(xiàng)，再累加求和即可；(1)求實(shí)數(shù)的值.(3)證明見(jiàn)解析．檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升（i）求a的值；【答案】(1)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由函數(shù)解析式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)分類(lèi)討論思想，可得答案；（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，整理方程并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，可得答案；（ii）由題意整理方程并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分別求得兩個(gè)新函數(shù)的單調(diào)性與最值，再根據(jù)不