專題01三角形（6知識&7題型&3易錯&7方法清單）【清單01】三角形1.三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．組成三角形的線段叫做三角形的邊．相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．2.按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．3.三角形具有穩(wěn)定性．4.三角形的重心是三角形三邊中線的交點．【清單02】三角形三邊關(guān)系1.三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．2.在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．3.三角形的兩邊差小于第三邊．4.在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．【清單03】三角形的角平分線、中線和高1.從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．2.三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點，則這個內(nèi)角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．3.三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．4.三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．5.銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點．【清單04】三角形內(nèi)角和定理1.三角形的內(nèi)角和定理文字語言幾何語言圖形三角形的內(nèi)角和等于180°在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C=180°2.三角形內(nèi)角和定理的操作探究如圖，把△ABC的三個內(nèi)角拼在一起，組成一個平角，即△ABC三個內(nèi)角的和等于180°.3.三角形內(nèi)角和定理的證明思路證明思路利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，將△ABC的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角利用“兩直線平行，內(nèi)錯角及同位角相等”，將△ABC的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個平角利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，將△ABC的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角【清單05】三角形的外角1.三角形的外角：如圖①，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.特別提醒：如圖②，三角形每一個頂點處都有兩個外角，它們是對頂角，因此三角形共有六個外角，通常每一個頂點處取一個外角.2.外角性質(zhì)(三角形內(nèi)角和定理的推論)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.符號語言：如圖①，∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B.3.三角形的外角和定理在三角形的每個頂點處取一個外角，三個不同頂點處的外角的和叫作三角形的外角和.三角形的外角和為360°如圖，∠1＋∠2＋∠3＝360°【清單06】直角三角形的性質(zhì)與判定1.直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.注意：“Rt△”后必須緊跟表示直角三角形的三個頂點的大寫字母,不能單獨使用.如“直角三角形的邊”不能寫成“Rt△的邊’2.直角三角形的性質(zhì)與判定文字語言幾何語言圖形性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A＋∠B=90°判定有兩個角互余的三角形是直角三角形在△ABC中，∵∠A＋∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形【題型一】三角形的相關(guān)概念【例1】（2425八年級上·云南曲靖·期中）觀察下列圖形，其中是三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：圖形中是三角形的是故選：B．【變式11】（2425八年級上·貴州遵義·期中）下面圖形中，具有穩(wěn)定性的是（

）A．三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】A【詳解】解：三角形是最穩(wěn)定的幾何圖形，因為當(dāng)三邊長度確定時，其形狀和大小唯一確定，無法變形．而四邊形（如正方形）、五邊形、六邊形等邊數(shù)超過3的多邊形，在邊長確定的情況下仍可能發(fā)生形變，因此不具備穩(wěn)定性．故選A．【變式12】（2425八年級上·云南曲靖·期中）如圖，以點A為頂點的三角形有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A故選：A【題型二】三角形的三邊關(guān)系【例21】（2425八年級上·安徽合肥·期末）一個等腰三角形腰長為6，則這個等腰三角形的周長不可能是（）A．13 B．18 C．23 D．26【答案】D【詳解】解：∵一個等腰三角形腰長為6，設(shè)底邊長為，∴這個等腰三角形的周長不可能為，故選：D【詳解】解：由三角形的三邊關(guān)系得：【答案】15或17又∵c是偶數(shù)，且c是最長邊，∴或8，【變式21】（2425八年級上·廣西欽州·期中）一個三角形的兩邊長分別為3和8，第三邊長是一個奇數(shù)，則第三邊的長是（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】C【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別為3和8，設(shè)第三邊長c為奇數(shù)∴．故選：C．【答案】3則不等式組最大的整數(shù)解為8，最小整數(shù)解為6．故答案為：3．故的取值范圍為：、、、、；故答案為：、、、、故可取，；【變式24】（2425八年級上·貴州遵義·期中）已知三角形的三邊長分別為3，8，．(1)求的取值范圍；(2)若為偶數(shù)，則組成的三角形的周長最小是多少？為偶數(shù)為6，8，10要組成三角形的周長最小，只能為6，則三角形的周長最小為17【題型三】三角形的重要線段【答案】D∵是角平分線，∵是高，故選：D． B． C． D．【答案】D故選：D．A． B．C． D．【答案】D【詳解】故選：D．

【答案】BD、則與不一定相等，故該選項不一定正確；故選：B．【題型四】三角形的內(nèi)角與外角A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】解：分兩種情況：故選：C．【答案】【題型五】三角形的中線與周長A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C故選：C．A． B．4 C．或4 D．或4【答案】A中線將該三角形的周長分為5和3兩個部分，該等腰三角形的底邊長為，故選：A．不滿足三角形的三邊關(guān)系，不合題意，舍去，【題型六】三角形的中線與面積A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【詳解】解：∵D，E分別為，的中點，故選：C．【答案】B∵F是的中點，故選：B．【答案】4/故答案為：4．故答案為：．【答案】12故答案為：12．【題型七】等積法的應(yīng)用【答案】故答案為：．

（2）解：由三角形的面積公式，【題型一】忽略三角形三邊關(guān)系而致錯【例1】若等腰三角形兩邊長分別為4，9，則其周長為____.【解析】①若4是腰長，則底邊長是9，但是4+4<9，故不能構(gòu)成三角形，舍去.②若4是底邊長，則腰長是9，4+9>9，符合三角形三邊關(guān)系，成立.故等腰三角形的周長為4+9+9=22.易錯警示對于等腰三角形不能確定哪條邊是腰或底邊時，要分情況討論，還要注意判斷分情況后的三條線段能否構(gòu)成三角形.【變式11】（2425八年級上·安徽合肥·期中）若一個等腰三角形的兩邊長分別為3和8，則這個三角形的第三邊長是（

）A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不對【答案】B【詳解】當(dāng)腰長為3時，則該等腰三角形的三邊長為3，3，8，當(dāng)腰長為8時，則該等腰三角形的三邊長為3，8，8，故選：B．【答案】17當(dāng)腰長為3時，則該等腰三角形的三邊長為3，3，7，∴此時不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)腰長為7時，則該等腰三角形的三邊長為3，7，7，∴此時能構(gòu)成三角形，符合題意，∴該等腰三角形的周長為：17．故答案為17．【題型二】忽略用分類討論思想確定三角形最大內(nèi)角導(dǎo)致漏解【例2】［2025河南商丘期末］在直角三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:m:3，則m的值是【解析】設(shè)∠A=x°，∠C=3x°.當(dāng)∠C=90°∴∠A=30°，∠B=90°?30∠B=90°時，∠A+∠C=90°，即x∴∠A=22.5°，∠C=67.5°，∴∠A:∠B:∠C=1:4:3，∴m=4易錯警示沒有確定三角形最大內(nèi)角的情況下，應(yīng)分類討論作答，注意不要漏解.【答案】2或6∴分兩種情況：故答案為：2或6．A． B． C．或 D．【答案】C【詳解】解：分兩種情況：故選：C．【答案】或【詳解】解：分兩種情況：【題型三】忽視點的位置導(dǎo)致漏解【例3】在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=100°，BD平分∠ABC交AC于點D，點P為邊AC上一點，PO⊥BD，垂足為O，則【解析】如圖.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12當(dāng)點P在線段CD上時，∵∠PDO=∠ADB=180°?∠A?∠ABD=180°?100°當(dāng)點P在線段AD上時，如點P′，∠AP′O′=∠P′O′D+∠P′DO′=90故答案為25°或155°易錯警示點P的位置需分兩種情形：點P在線段CD上或在線段AD上,不要漏解.【變式31】已知△ABC的面積為24，AD是BC邊上的高（點D不與點B重合），若AD=4，CD=5，則BD的長為(A.1B.1或11C.7 D.7或17【解析】當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時，如圖（1）.∵△ABC的面積為24，AD是BC邊上的高，AD=4，∴12BC?AD=1當(dāng)AD在△ABC外部時，如圖（2）.∵△ABC的面積為24，AD是BC邊上的高，AD=4，∴12BC?AD=12BC×4=24，∴BC=12，A． B． C．或 D．無法確定【答案】C∵為邊上的高，∵為邊上的高，故選：C．【詳解】解：當(dāng)在左側(cè)時，當(dāng)在右側(cè)時，綜上，的度數(shù)為或．【題型一】A字模型【模型解讀】【結(jié)論1】如圖（1）∠DBC+∠ECB=180°+∠A.證明：∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC,∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=∠A+180°.【結(jié)論2】如圖（2），∠ABC+∠ACB=∠D+∠E.證明：∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A+∠D+∠E=180°,∴∠ABC+∠ACB=∠D+∠E.【答案】D故選D．【答案】故答案為：．【答案】故答案為：【題型二】飛鏢模型（或燕尾模型）【模型解讀】結(jié)論：如圖，∠BCD=∠A+∠B+∠D.證明：延長BC交AD于點F.∵∠1=∠A+∠B,∠BCD=∠1+∠D,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D.【答案】【詳解】解：延長交于E，故答案為：A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，延長，交于點．故選：B．A． B． C． D．【答案】C延長交于點，綜上，正確的結(jié)論有個，故選：．【題型三】8字模型【模型解讀】結(jié)論：如圖，∠A+∠B=∠C+∠D.證明：∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B.∵∠BEC是△CDE的外角,∴∠BEC=∠C+∠D,∴∠A+∠B=∠C+∠D.【答案】【詳解】解：如圖，故答案為：．【變式32】（2425八年級上·安徽安慶·期中）（1）生活中處處需要和諧，幾何學(xué)也如此，如圖1所示的圖形我們稱之為“和諧8字形”，則、、、之間的數(shù)量關(guān)系．【題型四】雙內(nèi)角平分線模型【模型解讀】如圖,BP，CP分別是∠ABC，∠ACB的平分線，則∠P=90°【答案】C故選：C．A． B． C． D．【答案】B故選：B．．【答案】故答案為：．【答案】140故答案為：140．【題型五】內(nèi)外角平分線模型【模型解讀】如圖,BP，CP分別是∠ABC，∠ACE的平分線，則∠P=12【答案】【詳解】【詳解】【變式53】（2425八年級上·江西上饒·期中）問題情境：【探究發(fā)現(xiàn)】【解決問題】（2）請你利用以上結(jié)