專題01一元二次方程（5知識(shí)&15題型&5易錯(cuò)&9方法清單）【清單01】一元二次方程的概念【清單02】一元二次方程的解法【清單03】一元二次方程的判別式【清單04】二次三項(xiàng)式的因式分解【清單05】一元二次方程的應(yīng)用題【題型一】一元二次方程的定義【典例1】（2425八年級(jí)下·吉林·期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．3x2=3x?22B．1x【變式1】（2425八年級(jí)下·浙江杭州·期中）在下列方程中，屬于一元二次方程的是(

)A．x2?2x?3 B．x2=2x+3 C．x【變式2】（2425九年級(jí)上·廣東廣州·期中）關(guān)于x的方程a?1x2+x?2=0A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)=?1 C．a(chǎn)≠±1 D．為任意實(shí)數(shù)【題型二】一元二次方程的一般形式【典例2】（2223九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）一元二次方程3x2?3A．3，?5，9 B．3，?5，?9 C．3，5，9 D．3，5，?9【變式1】（2425九年級(jí)上·廣西欽州·期中）將方程x2?2x=10化為一元二次方程的一般形式，其中二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別是（A．?2,?10 B．?2,10 C．2,?10 D．2，10【變式2】（2425九年級(jí)上·福建漳州·期中）一元二次方程2x2+3=2x【題型三】一元二次方程的解【典例3】（2425八年級(jí)下·安徽淮北·期中）已知a是方程x2+2x?3=0的一個(gè)根，則代數(shù)式a2【變式1】（2526九年級(jí)上·廣東廣州·期中）若a是方程x2+3x?1=0的解，則式子2a【變式2】（2425八年級(jí)下·浙江溫州·期中）若x=2是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx+5=0的一個(gè)根，則k=【題型四】解一元二次方程配方法【典例4】（2425八年級(jí)下·福建福州·期中）解一元二次方程x2A．x?32=12 B．x?32=5 C．【變式1】（2425九年級(jí)上·廣東江門·期中）將方程x2?4x?3=0配方后所得的方程正確的是（A．x?22=7 B．x?22=1 C．【變式2】（2425八年級(jí)上·上?！て谥校┯门浞椒ń夥匠蹋?【題型五】解一元二次方程公式法【典例5】（2324九年級(jí)上·青海西寧·期中）解方程：2x【變式1】（2425八年級(jí)下·山東淄博·期中）若x=2±b2A．3x2+2x?1=0C．?x2?2x+3=0【變式2】（2425九年級(jí)上·山西長(zhǎng)治·期中）解方程：3x【題型六】解一元二次方程因式分解法【典例6】（2425八年級(jí)下·江蘇淮安·期末）一元二次方程x2?1=0的根為（A．?1 B．1 C．1或?1 D．0【變式1】（2425九年級(jí)上·福建泉州·期中）已知一元二次方程的兩根分別為x1=1，A．(x?1)(x?3)=0 B．(x?1)C．x+1x+3=0 【題型七】用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠獭镜淅?】（2324九年級(jí)上·青海西寧·期中）用合適的方法解方程(1)4x?3=2xx?3【變式1】（2425八年級(jí)下·福建福州·期中）解方程：(1)x2?4x?2=0；(2)【變式2】（2425九年級(jí)上·北京·期中）解關(guān)于x的方程．(1)x2+3x+2=0；(2)【變式3】（2425八年級(jí)下·山東東營(yíng)·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?1)6x2+2=7x【題型八】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的根的情況【典例8】（2324九年級(jí)上·安徽宿州·期中）一元二次方程x2?4x?5=0的根的情況為（A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．不能判定【變式1】（2425九年級(jí)下·四川廣安·期中）關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?mA．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【題型九】根據(jù)一元二次方程根的根的情況求參數(shù)【典例9】（2425九年級(jí)上·廣東江門·期中）若關(guān)于x的一元二次方程mx2?2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則mA．m<1且m≠0 B．m≥1 C．m≤l且m≠0 D．m<1【變式1】（2425八年級(jí)下·安徽亳州·期中）若關(guān)于x的一元二次方程方程m?1x2+4x+1=0有實(shí)數(shù)根，則mA．m≤5且m≠1 B．m≥5，且m≠1C．m<5 D．m>5【變式2】（2425九年級(jí)下·江西九江·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?x+2k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（A．k≥48 B．k≤38 C．【題型十】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【典例10】（2425八年級(jí)下·廣西百色·期中）已知m，n是方程x2?5x?2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則A．2025 B．2028 C．2030 D．4048【變式1】（2425九年級(jí)下·湖南婁底·期中）已知m，n是一元二次方程x2+x?2025=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式m2A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【變式2】（2425八年級(jí)下·北京·期中）若α，β是一元二次方程x2+x?2023=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2A．2028 B．2026 C．2024 D．2022【變式3】（2425九年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┮阎辉畏匠蘹2?3x+2=0的兩個(gè)根為x1、x2，則A．?3 B．?23 C．1 【題型十一】一元二次方程應(yīng)用與幾何圖形的綜合應(yīng)用【典例11】（2425九年級(jí)上·天津·期末）如圖，在長(zhǎng)為100米，寬為80米的矩形場(chǎng)地上修建兩條寬度相等且互相垂直的道路，剩余部分進(jìn)行綠化，要使綠化面積為7644米2，則道路的寬應(yīng)為多少米？設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（

）A．100×80?100x?80x=7644 B．100?xC．(100?x)(80?x)=7644 D．100x+80x=356【變式1】（2425九年級(jí)下·山西長(zhǎng)治·期中）《千里江山圖》是青山綠水畫中的一幅巨制杰作，由我國(guó)北宋著名畫家王希孟所作．圖1是《千里江山圖》的一幅局部臨摹畫作，該畫作是一個(gè)長(zhǎng)為2.4m，寬為1.6m的矩形．將該畫的四周裝裱上寬度相等的邊襯（如圖2），裝裱后整幅畫的面積為4.16m2．若四周裝裱上的邊襯的寬度為x?mA．(1.6?x)(2.4?x)=4.16 B．(1.6+x)(2.4+x)=4.16C．(1.6?2x)(2.4?2x)=4.16 D．(1.6+2x)(2.4+2x)=4.16【變式2】（2526九年級(jí)上·湖北孝感·期中）如圖，若要建一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，墻對(duì)面有一個(gè)2米寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)33米，圍成的長(zhǎng)方形的雞場(chǎng)除門之外四周不能有空隙．(1)若墻長(zhǎng)為18米，要圍成的雞場(chǎng)的面積為150平方米，則雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少米？(2)圍成的雞場(chǎng)的面積可能達(dá)到200平方米嗎？(3)若墻長(zhǎng)為a米，對(duì)建150平方米面積的雞場(chǎng)有何影響？【題型十二】一元二次方程應(yīng)用增長(zhǎng)率問(wèn)題【典例12】（2425九年級(jí)上·重慶合川·期中）某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，三月份的營(yíng)業(yè)額為288萬(wàn)元，如果平均每月的增長(zhǎng)率為x，則由題意列方程為（

）A．2001+x2=288C．200+2x=288 D．200+200【變式1】（2425八年級(jí)下·浙江溫州·期中）電影《哪吒之魔童鬧?！酚?025年春節(jié)檔上映，一上映就獲得全國(guó)人民的追捧.據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，某市第一天票房約200萬(wàn)元，以后每天票房按相同的增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，三天后累計(jì)票房收入共728萬(wàn)元，將增長(zhǎng)率記作x，則方程可以列為.【變式2】（2425九年級(jí)上·云南昆明·期中）云南陽(yáng)光玫瑰葡萄，近兩年被廣大消費(fèi)者所熟知，它肉質(zhì)緊密，口感脆爽，甜度很高，香味濃郁．云南某生態(tài)果園陽(yáng)光玫瑰葡萄2022年產(chǎn)量為60噸，2024年產(chǎn)量為86.4噸，若該生態(tài)果園陽(yáng)光玫瑰葡萄產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率相同．(1)求該生態(tài)果園陽(yáng)光玫瑰產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率；(2)若陽(yáng)光玫瑰葡萄產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率不變，請(qǐng)預(yù)估2025年該生態(tài)果園陽(yáng)光玫瑰葡萄產(chǎn)量．【題型十三】一元二次方程應(yīng)用傳染問(wèn)題【典例13】（2425九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）兔熱病是一種傳播速度很快的人獸共患傳染病，又稱土拉菌病或鹿蠅熱，一輪傳染時(shí)間為一天．某養(yǎng)兔場(chǎng)某天發(fā)現(xiàn)一例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只兔子患有這種病，若每例病兔子傳染健康兔子的只數(shù)均為x，則x=．【變式1】（2425九年級(jí)上·湖北武漢·期中）某種植物的主干長(zhǎng)出x個(gè)支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出x個(gè)小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是57，根據(jù)題意可列方程．（不必解方程）【變式2】（2425九年級(jí)上·遼寧大連·期中）某小區(qū)有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81個(gè)人患了流感．(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后，累計(jì)患流感的人數(shù)能否超過(guò)800？【變式3】（2425九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）化學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科，小華在化學(xué)老師的幫助下，學(xué)會(huì)了用高錳酸鉀制取氧氣的實(shí)驗(yàn)，回到班上后，第一節(jié)課手把手教會(huì)了同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的x名同學(xué)做該實(shí)驗(yàn)，第二節(jié)課小華因家中有事請(qǐng)假了，班上其余會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的每名同學(xué)又手把手教會(huì)了x名同學(xué)，這樣全班43名同學(xué)恰好都會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)了．求x的值．【題型十四】一元二次方程應(yīng)用經(jīng)濟(jì)問(wèn)題【典例14】（2425九年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·期中）2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)吉祥物“巳（si）升升”，設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于中華傳統(tǒng)文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調(diào)，外形憨態(tài)可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，在市場(chǎng)上一度走紅．(1)某商店銷售A，B兩款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的單價(jià)比B款吉祥物的單價(jià)高20元，若顧客花800元購(gòu)買A款吉祥物的數(shù)量與花600元購(gòu)買B款吉祥物的數(shù)量相同，則A，B兩款吉祥物的單價(jià)分別是多少元？(2)若A款吉祥物的進(jìn)價(jià)為每件60元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)定為每件100元，則每天能銷售A款吉祥物20件，而售價(jià)每降價(jià)1元，每天可多售出A款吉祥物2件，為了推廣宣傳，商家決定降價(jià)促銷，同時(shí)盡量減少庫(kù)存，若使每天銷售后獲利1200元，則A款吉祥物售價(jià)應(yīng)降低多少元？【變式1】（2425九年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）在2025年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上，新年吉祥物“巳升升”特別惹人注目，其設(shè)計(jì)靈感源于中華傳統(tǒng)文化，整體造型參考甲骨文中的“巳”字，采用青綠色為主色調(diào)，外形愁態(tài)可掬，寓意“福從頭起，尾隨如意”，我們?cè)陔娚唐脚_(tái)和實(shí)體店了解其銷售情況．(1)統(tǒng)計(jì)某電商平臺(tái)，2024年12月份吉祥物一月的銷售量是5萬(wàn)件，2025年2月份吉祥物一月的銷售量是7.2萬(wàn)件，若近三個(gè)月月平均增長(zhǎng)率相同，求月平均增長(zhǎng)率；(2)對(duì)某實(shí)體店的銷售情況進(jìn)行了解，該店吉祥物的進(jìn)價(jià)為每件60元，若售價(jià)定為每件100元，則每天能銷售量20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每降價(jià)1元，每天可多售出2件，為了進(jìn)一步推廣宣傳，商家決定降價(jià)促銷，要求盡量減少庫(kù)存，且使每天銷售獲利1200元，請(qǐng)你分析售價(jià)應(yīng)降低多少元？【變式2】（2425九年級(jí)上·廣東茂名·期中）某商場(chǎng)有A，B兩款電器，購(gòu)買2臺(tái)A款電器和1臺(tái)B款電器要840元，購(gòu)買1臺(tái)A款電器和2臺(tái)B款電器要780元．(1)求A，B兩款電器每臺(tái)的售價(jià)；(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每臺(tái)A款電器的利潤(rùn)為100元時(shí)每月可以賣出100臺(tái)，為了盡可能減少庫(kù)存，該商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)A款電器的售價(jià)每降低10元，則平均每月可多售出20臺(tái)，該商場(chǎng)想要每月銷售A款電器的利潤(rùn)為10800元，則每臺(tái)A款電器應(yīng)降價(jià)多少元？【題型十五】一元二次方程應(yīng)用動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【典例15】（2324九年級(jí)上·廣東梅州·期中）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cms的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P，Q(1)問(wèn)當(dāng)t為多少時(shí)，AP=2PQ？(2)連接AQ，是否存在時(shí)間t，使得S△APQ=4？若存在，求出【變式1】（2425八年級(jí)下·河北邯鄲·期中）如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，點(diǎn)P從A向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D即停止．點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B以2cms的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B即停止，直線(1)則當(dāng)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后所截得兩個(gè)四邊形中，其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？(2)若∠B=90°，當(dāng)AB=8cm時(shí)，直接寫出經(jīng)過(guò)______秒后，PQ=CD【變式2】（2425九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從A出發(fā)，沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)(1)PB=______，QC=______；(2)t為何值時(shí)，△DPQ的面積等于28cm【題型一】根據(jù)一元二次方程根的根的情況求參數(shù)1．（2324九年級(jí)上·四川南充·期中）關(guān)于x的一元二次方程(k+1)x2?2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則kA．k≤0且k≠?1 B．k<0且k≠?1 C．【題型二】一元二次方程應(yīng)用增長(zhǎng)率問(wèn)題2．（2425九年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）習(xí)近平總書記說(shuō)：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”某校為響應(yīng)我區(qū)全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開(kāi)放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館400人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館1456人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，則可列方程為．【題型三】一元二次方程應(yīng)用幾何面積問(wèn)題3．（2425九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，用長(zhǎng)為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門．(1)設(shè)花圃的一邊AB長(zhǎng)為x米，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示另一邊AD的長(zhǎng)為米；(2)若此時(shí)花圃的面積剛好為45平方米，求此時(shí)花圃的長(zhǎng)與寬．(3)建成花圃的面積可能為60平方米嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型四】一元二次方程應(yīng)用經(jīng)濟(jì)問(wèn)題4．（2425九年級(jí)上·四川成都·期中）某景區(qū)民宿有客房60間供游客居住，每個(gè)房間是按整間出租．已知當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為140元時(shí)，客房會(huì)全部住滿，當(dāng)個(gè)房間每天的定價(jià)每增加20元時(shí)，就會(huì)有4個(gè)房間空閑．(1)若某天每間客房的定價(jià)增加了60元，求這天客房的總收入；(2)如果政府規(guī)定該農(nóng)家樂(lè)入住率超過(guò)80%【題型五】一元二次方程應(yīng)用動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題5．（2425九年級(jí)上·山東青島·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=6?cm，BC=7?cm，∠ABC=30°，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1?cm/s的速度向B點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2?cm/s的速度向(1)AP=________cm，BP=________cm，BQ=________cm（用含t的代數(shù)式表示）；(2)經(jīng)過(guò)幾秒后△PBQ的面積等于4?(3)四邊形APQC的