2025-2026學年湖北省襄陽市第四中學高二上學期9月月考數(shù)學試卷一、單選題(★★)1.復數(shù)的共軛復數(shù)為（）

A．B．C．D．(★)2.設，，，則與的夾角為（）

A．B．C．D．(★)3.已知隨機事件和互斥，和對立，且，則（）

A．B．C．D．(★)4.在正方體中，異面直線與所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．1(★★)5.已知直線和三個不重合的平面，則下列結論正確的是（）

A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則(★★)6.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)．根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）

A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2B．平均數(shù)為2，方差為2.4C．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D．中位數(shù)為3，方差為2.8(★★★)7.若平面向量，，，兩兩的夾角相等，且，，，則（）

A．4B．8或C．10D．4或10(★★)8.向量旋轉(zhuǎn)具有反映點與點之間特殊對應關系的特征，在電子信息傳導方面有重要應用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學數(shù)學中用于求旋轉(zhuǎn)相關點的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點，則點的坐標為（）

A．B．C．D．二、多選題(★★)9.在中，內(nèi)角的對邊分別為，下列說法中正確的是（）

A．若為銳角三角形，則B．若，則為等腰三角形C．若，則D．若，則符合條件的有兩個(★★★)10.下列說法中不正確的是（）

A．若事件兩兩獨立，則B．從裝有3個紅球，4個白球的袋中任意摸出3個球，事件“至少有2個紅球”，事件“都是白球”，則事件與事件是對立事件C．數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23.5D．若的平均數(shù)為2，方差為1，的平均數(shù)為6，方差為2，則的方差為5(★★★★★)11.已知正方體的棱長為2，為上一動點，為棱的中點，則（）

A．四面體的體積為定值B．存在點，使平面C．二面角的正切值為D．當為的中點時，四面體的外接球表面積為三、填空題(★★)12.在中，角所對的邊分別為，，則______．(★)13.直線l的方向向量為，且l過點，則點到l的距離為______.(★★★)14.我國南北朝時期的著名數(shù)學家祖晅提出以下體積計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”.用現(xiàn)代語言可以描述為：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等，利用祖暅原理計算球的體積時，如圖1，將同底等高的半球與圓柱放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體，用任意一個平行于底面的平面去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等.已知平面截半球所得截面是半徑為1的圓，則平面截新幾何體所得截面面積為___________.如圖2是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線和均是以1為半徑的半圓，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，類比上述半球的體積計算方法，運用祖暅原理可求得該帳篷的體積為___________.四、解答題(★★★)15.某校舉行了一次“垃圾分類知識競賽”，高二年級學生參加了這次競賽，為了了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，將成績進行整理后，分成五組（，，，，），其中第二組的頻數(shù)是第五組的頻數(shù)的8倍，請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題.(1)若根據(jù)這次成績，年級準備淘汰的學生，僅留的學生進入下一輪競賽，請問晉級分數(shù)線劃為多少合理？(2)從樣本數(shù)據(jù)在，，這三個組內(nèi)的學生中，用按比例分配分層抽樣的方法抽取7名學生，再從這7名學生中隨機選出2人，求選出的2人來自不同組的概率.(★★★)16.如圖，設是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是軸，軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標，假設.(1)設向量，若與共線，求實數(shù)的值；(2)是否存在實數(shù)，使得與向量垂直，若存在求出的值，若不存在請說明理由.(★★★★)17.在體育比賽中，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞.傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的資格，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率.假設最終進入半決賽的有四支隊伍，傳統(tǒng)的淘汰賽制下，會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍；雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入勝者組，敗者進入敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入總決賽，敗者進入敗者組，之前進入敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍（賽制流程圖如圖所示）.雙敗賽制下會發(fā)生一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其他的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制：假設四支隊伍分別為，其中對陣其他三個隊伍時獲勝的概率均為，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝的概率均為，最初分組時，同組，同組.(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？(★★★★★)18.已知a，b，c為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且，線段邊對應的高為，內(nèi)心、重心、外心、垂心依次為點I、G、O、H．(1)求中高的長度；(2)若的角平分線交于E，求證；(3)歐拉線定理：設的重心，外心，垂心分別是G，O，H，則G，O，H三