01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分?！局芙庾x01】空間向量的線性運(yùn)算及有關(guān)定理【知能解讀02】兩個(gè)向量的數(shù)量積及其運(yùn)算【知能解讀03】空間中的平行與垂直的向量表示【知能解讀04】利用空間向量求空間角【知能解讀05】利用空間向量求空間距離【重難點(diǎn)突破01】利用空間向量解決探索性問題【重難點(diǎn)突破02】利用空間向量解決最值范圍問題【重難點(diǎn)突破03】不規(guī)則幾何體建系問題【重難點(diǎn)突破04】空間向量新定義問題04辨·易混易錯(cuò)：辨析易混易錯(cuò)知識點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)?！疽谆煲族e(cuò)01】忽視零向量【易混易錯(cuò)02】錯(cuò)判數(shù)量積的符號與夾角關(guān)系【易混易錯(cuò)03】忽略建系的條件而出錯(cuò)【易混易錯(cuò)04】由線、面關(guān)系誤解向量關(guān)系【易混易錯(cuò)05】忽視異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同【易混易錯(cuò)06】線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問題【易混易錯(cuò)07】二面角概念模糊【易混易錯(cuò)08】動點(diǎn)問題沒有取舍05點(diǎn)·方法技巧：點(diǎn)撥解題方法，練一題通一類【方法技巧01】用基向量表示指定向量的方法【方法技巧02】三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較【方法技巧03】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【方法技巧04】利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系【方法技巧05】用向量法求異面直線所成角的一般步驟【方法技巧06】用向量法求解直線與平面所成角的方法【方法技巧07】利用向量法解二面角問題的策略【方法技巧08】利用空間向量求空間距離理理思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算向量和(差)模夾角公式a//ba,=λb,a=Ab?a?=Ab?((3)方向向量和法向量均是非零向量且不唯一；同一條直線的方向向量共線；同一個(gè)空間角解題思路則cosθ=a則cosθ=aAL如圖，設(shè)1為平面a的斜線，Ina=A,a為I的方向向面所成角AL平面與平面的夾角平面β的夾角即為向量n,和n,的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為0,則cosθ=lcos平面與平面的夾角空間角則cosθ=則cosθ=面a與平面β的夾角為8,則cosB空間距離空間距離兩個(gè)平面的夾角：[0號]:夾角范圍兩個(gè)平面空間向量的有關(guān)概念空間向量的有關(guān)概念盤盤1、空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有大小和方向的量；(1)空間向量的加減法OB=OA+AB=a+bλa的長度是a的長度的|入倍.有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.(1)數(shù)量積及相關(guān)概念 ①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作OA=a,OB=b,則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>,其范圍是[0,π],若,則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.②非零向量a,b的數(shù)量積a·b=|lal|b|cos<a,b>.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律③分配律：a.b+c)=a·b+a·c.2、空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用向量表示數(shù)量積共線模夾角1、直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線lla,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.位置關(guān)系向量表示直線L?,l?的方向向量分別為n,n?直線I的方向向量為n,平面α的法向量為m04利用空間向量求空間角設(shè)異面直線a,b所成的角為θ,則,其中a,b分別是直線a,b的方向向量.φ為1與α所成的角，(2)平面a與β相交于直線1,平面a的法向量為n,平面β的法向量為n?,<n,n>=θ,,則二面角【真題實(shí)戰(zhàn)】(2025·四川巴中模擬預(yù)測)如圖所示，直三棱柱ABC-A?B?C?,∠ABC=90°,AA?=AB.(2)若AC=2AB,E為A?C?中點(diǎn)，求二面角A?-BC-E知能解讀05利用空間向量求空間距離已知直線l的單位方向向量為u,A是直線1上的定點(diǎn)，P是直線1外一點(diǎn)，設(shè)向量AP在直線1上的投影向量為AQ=a,則點(diǎn)P到直線I的距離為√a2—(a-u)2(如圖).2、點(diǎn)到平面的距離已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的任一點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作則平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則點(diǎn)P到平面α的距離為(如圖).線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解.(1)直線a與平面α之間的距離：,其中A∈a,B∈α,n是平面α的法向量.(2)兩平行平面α,β之間的距離：,其中A∈α,B∈β,n是平面α的法向量。BC=1.點(diǎn)P在線段AC?上，點(diǎn)P到直線BB?的距離的最小值為破重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)突破01利用空間向量解決探索性問題【典例1】(25-26高二山西臨汾·開學(xué)考試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD,若不存在，請說明理由.【典例2】(25-26高三·廣東深圳·開學(xué)考試)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，沿EF將四邊形EFCD折起，使二面角A-EF-C的大小為60°,M為線段AB上一為60°.(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線DE與平面EMC所成的角為60°?若存在，求此時(shí)線段AM的長；若不存在，請說明理由.此類問題多以規(guī)則幾何體為載體，涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等，題目較為綜合，解決此類問題一般可從三個(gè)方面思考：一是函數(shù)法，即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立所求的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解.BC上的點(diǎn)，滿足BM=2AM,BN=CN,且△ABC?與△MNC?的面積之比為3.(2)求點(diǎn)A?到平面ABC?與到平面MNC?的距離之比；(3)若BC>AB,直線AB,BC,A?B兩兩相互垂直，求平面ABC?與平面MNC?所成角余弦值的取值范圍·【典例2】(2025·福建福州模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD⊥1平面PAD,PA⊥AD.(2)若底面ABCD是正方形，AP=AB=2,E為PB中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱PD上，且異面直線AF與PB所成的角(i)求PF的長度；常見的x,y軸選取的參考原則：①盡可能的讓底面上更多的點(diǎn)位于x,y軸上；②找角：x,y軸要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直條件；③找對稱關(guān)系：尋找底面上的點(diǎn)能否存在軸對稱特點(diǎn).還需證明所用坐標(biāo)軸兩兩垂直(即一個(gè)線面垂直+底面兩條線垂直),這個(gè)過程不能省略.(1)證明：A?在底面ABC上的射影是線段BC的中點(diǎn).(2)點(diǎn)P在棱CC?上一點(diǎn)，若二面角C?-A?B?-P的正弦值為,確定點(diǎn)P位置并說明理由.∠ABC=60°,平面AA?C?C⊥平面ABCD,∠A?AC=60°.(2)求二面角D-A?A-C的平面角的余弦值.(3)在直線CC?上是否存在點(diǎn)P,使得BP//平面DA?C??若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由.面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結(jié)合.明確解題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式.在解題過程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡化問題.對于復(fù)雜問題，可嘗試建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明.同時(shí)，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解對象.最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來遇到類似問題時(shí)能夠迅速應(yīng)對.n=(a,b,c)(a2+b2+c2≠0)的平面法向式方程為a(x-x?)+b(y-y)+c(z-z?)=0,將其整理成一般式方程為ax+by+cz-d=0,其中d=式方程為2x-√2y+z+5=0,平面β的一般式方程為2x+3y+z-1=0,平面Y的一般式方程為x-y-2z+4=0,平面μ的一般式方程為(2m+1)x+(3m+2)y+(m+1)z-5=0.【典例2】(2025高一山西運(yùn)城·期末)離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標(biāo).設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂Q(i=1,2,…,k,k≥3)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面Q?PQ?,平面Q-?PQ和平面QPQ?為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面.如圖中.(1)求三棱錐P-ABC在各個(gè)頂點(diǎn)處的(2)若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,三棱錐P-ABC在頂點(diǎn)C處的離散曲率為,求點(diǎn)A到平面PBC的距離；(3)在(2)的前提下，又知點(diǎn)Q在棱PB上，直線CQ與平面ABC所成角的余弦值為求BQ的長度.易混易錯(cuò)01忽視零向量辨析：在進(jìn)行空間向量相關(guān)概念判斷時(shí)，要注意零向量的特殊性，如零向量與任意向量平行等。【典例1】(多選)下列命題為真命題的是()A.若空間向量a,b滿足 B.在正方體ABCD—A?B?C?D?中，必有AC=ACC.若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=pD.空間中，a//b,b//c,則al/c【典例2】【多選】(2025高二·安徽合肥期中)下列說法正確的有()B.若兩個(gè)非零向量AB與CD滿足AB+CD=0,則AB//CDD.兩個(gè)單位向量一定是相等向量易混易錯(cuò)02錯(cuò)判數(shù)量積的符號與夾角關(guān)系辨析：未考慮共線情況，誤判數(shù)量積的符號與夾角的關(guān)系.【典例1】已知向量a=(1,1,x),b=(-2,x,4),若(a,b〉為鈍角，則x的取值范圍為_【典例2】已知空間向量a=(3,-1,1),b=(m,2,-2),若a與6的夾角是鈍角，則m)辨析：缺乏空間象限能力，忽略空間直角坐標(biāo)系的定義要求.【典例1】已知在直三棱柱ABC-AB?C?中，∠ABC=135°,AB=√2,BC=1,BB?=2,則異面直線AB?與BC?所成角的余弦值為()【典例2】已知直三棱柱ABC-A?B?C?的棱長均為2,則異面直線A?C與BC?)易混易錯(cuò)04由線、面關(guān)系誤解向量關(guān)系辨析：利用空間向量處理線、面關(guān)系，錯(cuò)誤理解直線向量、法向量之間的關(guān)系.分別是平面α,β的法向量，且α⊥β,則m的值為A.-6B.-4易混易錯(cuò)05忽視異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同辨析：兩異面直線所成角的范圍是。兩向量的夾角的范圍是[0,π],需要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系?！镜淅?】已知三棱柱ABC-A?B?C?的各條棱長相等，且∠A?AB=∠A?AC=45°,∠BAC=60°,則異面直線易混易錯(cuò)06線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問題辨析：若直線與平面所成的角為θ,直線的方向向量為a,平面的法向量為n,則sinθ=|cos<an>|。容易出錯(cuò)的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了【典例1】若直線l的一個(gè)方向向量為ü=(0,1,-√3),平面a的一個(gè)法向量為；n=(√2,0,1),則1與α所成【典例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD為等邊三角形，PD⊥AB,AD//BC,AD=4,AB=BC=2,M為PA的中點(diǎn).(2)求直線PB與平面MCD所成角的正弦值.辨析：若兩個(gè)平面的法向量分別為a,b,若兩個(gè)平面所成的銳二面角為θ,則cosθ=|cos<a,b>|;若合圖形判斷二面角的取值范圍.【典例1】如圖所示，正方形ABCD,ABEF的邊長都是1,且它們所在的平面互相垂直.動點(diǎn)M,N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM=BN.當(dāng)MN的長最小時(shí)，二面角A-MN-B【典例2】如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的√2倍，SD⊥平面PAC,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，則二面角P-AC-B的余弦值為()易混易錯(cuò)08動點(diǎn)問題沒有取舍BE.【典例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD,△PAD是邊長為2的等邊三角形，底若不存在，請說明理由.點(diǎn)方法技巧01用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.【典例1】(25-26高二·河北衡水·開學(xué)考試)在直三棱柱ABC-A?B?C?中，若 AB?=()【典例2】(2025高三·全國·專題練習(xí))我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖所示，已知四棱錐P-ABCD是陽馬，PA⊥平面ABCD,且,若AB=a,AD=b,AP=c,則BE=()【典例3】(25-26高二全國·課后作業(yè))如圖，在空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在OA上，且|OM|=2|MA|,N為BC的中點(diǎn)，則MN等于()三點(diǎn)(P,A,B)共線空間四點(diǎn)(M,P,A,B)共面對空間任一點(diǎn)0,OP=OA+tAB【典例1】(25-26高二全國·課后作業(yè))設(shè)向量e,e?,e?不共面，已【典例2】(25-26高二全國·課后作業(yè))四棱柱ABCD-A'B'C'D′的六個(gè)面都是平行四邊形，點(diǎn)M在對角(2)求證：M、N、D三點(diǎn)共線.【典例3】(2025高二全國·專題練習(xí))已知空間中點(diǎn)A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D(1,1,2),若A,B,C,D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)λ的值為()P滿足且點(diǎn)P在平面A?BC內(nèi)，則k=()滿足且點(diǎn)P在平面A?BC內(nèi)，則k=()C.PM⊥AB1、求夾角：設(shè)向量a,b所成的角為θ,則,進(jìn)而可求兩異面直線所成的角；2、求長度(距離):運(yùn)用公式la2=aa,可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題；3、解決垂直問題：利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題。點(diǎn)的三條棱長均為1,且兩兩之間的夾角都是60°,則下列說法中正確的是()C.向量B?C與AA的夾角是120°D.BD?與AC所成角的余弦值為AB|=|AD|=|AA|=1,且,M為A?C?與B?D?的交點(diǎn)，設(shè)AB=aAD=b,AA?=G則下列結(jié)論正確的是()A.AC=a+b+cD【典例3】【多選】(25-26高二全國·課后作業(yè))已知空間向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),則下列結(jié)論正確的是()A.(2a+b)//aD.a在6上的投影向量為【典例4】【多選】(25-26高二全國·單元測試)在空間直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，且A(1,0,2),B(-1,1,1),C(3,1,2),則下列結(jié)論正確的是()C.AB⊥AC,則P,A,B,C四點(diǎn)共面方法技巧04利用空間向量證明空間線面位置關(guān)系線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題線線垂直線面垂直證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡膙=(m,-1,-2),直線1的方向向量為7=(n,-2,-4),則()C.若n=-20,則1/1aD.【典例2】(25-26高三·江蘇階段練習(xí))已知正方體ABCD-A?B?C?D?,點(diǎn)P,Q分別在AB,B?C上，A?P=BQ,下列說法錯(cuò)誤的是()A.直線B?C與CC?所成的角為45°B.DD?⊥PQC.P,Q,A?,C?四點(diǎn)共面D.PQ//平面ABCDC(1,1,-1).下列說法中錯(cuò)誤的是()C.OC是平面OAB的一個(gè)法向量D.三棱錐OABC的體積為【典例4】(25-26高二全國·單元測試)已知v,V?分別為直線l,L的方向向量(l,L?不重合),n,n?分別為平面α,β的法向量(a,β不重合),則下列說法中正確的是()(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.M,N分別是B?C?,A?B?的中點(diǎn)，則直線BM與直線CN所成角的余弦值()【典例2】(2025高二·湖北武漢期末)在正方體ABCD-AB?C?D?中，若A?E=3EB,C?F=3FD?,則BE與DF所成的角的正弦值是()∠CPA=∠CPB=60°,PA=PB=PC=2,點(diǎn)D,E,F滿足PD=DB,PE=2EA,AF=FC,則直線CE與DF所成的角余弦值為()在四邊形A?B?C?D?的邊上，沿A?→B?→C?→D?→A移動，則異面直線A【典例5】(25-26高二河北邢臺·開學(xué)考試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,記平面PAB∩平面PCD=l,1//平面ABCD.(3)已知PA=AD=AB=3,CD=2,求直線BC與直線PD所成角的余弦值.方法技巧06用向量法求解直線與平面所成角的方法AB=BC=BB?=2.(2)求直線AB?與平面B?DQ所成角的正弦值.方法技巧07利用向量法解二面角問題的策略1、找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得2、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.【典例1】(25-26高二黑龍江哈爾濱階段練習(xí))在平行四邊形ABCD中(圖1),為AB的中點(diǎn)，將等邊△ADM沿DM折起，連接AB,AC,且AC=4(圖2