6.2.4向量的數(shù)量積（精練）一、單選題1．已知是平面上的非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】根據(jù)向量乘積的幾何意義則表示與在上投影數(shù)量的乘積，同理表示與在上投影數(shù)量的乘積，畫圖為：在的投影都為，但是所以充分性不成立.若，則成立,即必要性成立，所以B正確.故選：B．2．已知，，，則等于（

）A．12 B．28 C． D．【答案】C【詳解】，故.故選：C3．已知向量，滿足，且，則，夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意，在向量，中，，解得：∴故選：C.4．已知向量，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【詳解】由，且與的夾角為，所以.故選：B.5．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，它是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，在2022年虎年新春來臨之際，人們?cè)O(shè)計(jì)了一種由外圍四個(gè)大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如圖1）.已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O，四個(gè)半圓的圓心均在正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖2），若點(diǎn)P在的中點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)P在的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，則有，則.故選:D.6．已知中，，設(shè)點(diǎn)M，N滿足，，若，則（

）A．2 B．3 C．2或3 D．或3【答案】D【詳解】,,所以,即解得：或.故選：D7．已知，，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋怨试谏系耐队跋蛄繛楣蔬x：B8．在平面四邊形中，，，，，.若，則（

）A．2 B． C．4 D．6【答案】D【詳解】因?yàn)椋邰凼酵艘?，得：，即，即?③式同乘以，得：，即，即②.①②聯(lián)立解得：，所以.故選：D二、多選題9．在單位圓中，是圓上的動(dòng)點(diǎn)（可重合），則下列結(jié)論一定成立的有（

）A．B．在上的投影向量可能為C．D．若，則【答案】BC【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，在上的投影向量為，若，則，即所成角為.所以當(dāng)所成角為時(shí)，在上的投影向量為，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，因?yàn)槭菃挝粓A上的動(dòng)點(diǎn)（可重合），所以，所以，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC10．把一條線段分為兩部分，使較長部分與全長之比等于較短部分與較長部分之比，該比值是無理數(shù)，由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗柔和，因此稱為黃金分割，也稱為中外比?黃金分割不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫?雕塑?音樂?建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理?工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用.在中，點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說法正確的是（

）A．B．C．在上的投影向量為D．的取值范圍是【答案】BCD【詳解】如圖，，則有，，故A錯(cuò)，B對(duì)；由于為中點(diǎn)，故，，故，在上的投影向量為，故C對(duì)；，明顯可見，當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)與重合時(shí)有最大值，故，可得D對(duì)；故選：BCD三、填空題11．在中,,且在方向上的數(shù)量投影是-2,則的最小值為____________.【答案】【詳解】解:由題知在方向上的數(shù)量投影是-2,,,,即,記,則,若求的最小值即求的最小值,過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),此時(shí)最小,如圖所示:,故答案為:12．下列結(jié)論中正確的有________．①“與共線”是“存在實(shí)數(shù)使”的必要非充分條件②；③或；④；⑤，其中；⑥若，則為鈍角；【答案】①⑤【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，與共線，不存在實(shí)數(shù)使，反之，存在實(shí)數(shù)使，則與共線，因此“與共線”是“存在實(shí)數(shù)使”的必要非充分條件，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，而為非零向量，，②不正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)均為非零向量，③不正確；對(duì)于④，是與共線的向量，是與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等，④不正確；對(duì)于⑤，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律知，，成立，⑤正確；對(duì)于⑥，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，可能為，⑥不正確，所以結(jié)論中正確的有①⑤.故答案為：①⑤四、解答題13．已知，，．(1)求；(2)求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，即，即，又，所以?）14．如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且，是線段上一動(dòng)點(diǎn)．(1)若是線段的中點(diǎn)，，求的值；(2)若，，求解.【答案】(1)；(2)4.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，且，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，不共線，所以，所以；（2）由題意可得，，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，得，所?B能力提升15．如圖，在中，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且滿足.(1)若，用向量表示；(2)若，且，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，.（2）由（1）可知，所以因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，即的取值范圍?16．設(shè)兩個(gè)向量滿足，.(1)若，求的夾角；(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由，得,又,所以，所以，又因?yàn)?所以的夾角為；（2）解：由已知得，則，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角,所以,解得，設(shè),則,無解,故兩個(gè)向量的夾角不可能為,所以向量與的夾角為鈍角時(shí),的取值范圍為.C綜合素養(yǎng)17．已知向量，，且，且，(1)若與夾角，求；(2)記，是否存在實(shí)數(shù)，使，對(duì)任意恒成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)1(2)存在，【詳解】（1）∵，∴，∴，即，得.（2）由（1）中，且對(duì)恒成立，則有：，令，由函數(shù)的單調(diào)性可知：，即，解得，即.18．已知向量，滿足，，．(1)求向量和的夾角；(2)設(shè)向量，，是否存在