6.4.3第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例（精練）一、單選題1．在地面上點(diǎn)D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物高度為（

）A．20m B．30mC．40m D．60m【答案】C【詳解】如圖，設(shè)O為塔頂在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20m，BD＝40m，OD＝m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60m．∴AB＝OA－OB＝40m．故選：C．2．如圖，在救災(zāi)現(xiàn)場，搜救人員從處出發(fā)沿正北方向行進(jìn)米達(dá)到處，探測到一個(gè)生命跡象，然后從處沿南偏東行進(jìn)米到達(dá)處，探測到另一個(gè)生命跡象，如果處恰好在處的北偏東方向上，那么（

）A．米 B．米 C．10米 D．米【答案】D【詳解】依題意得，由正弦定理得，所以，故選：D3．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）為h.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑為r的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù).如果地球表面上某一觀測點(diǎn)與該衛(wèi)星在同一條子午線（經(jīng)線）所在的平面，且在該觀測點(diǎn)能直接觀測到該衛(wèi)星.若該觀測點(diǎn)的緯度值為，觀測該衛(wèi)星的仰角為，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：如圖所示，，由正弦定理可得，即，化簡得，故選：A.4．小明同學(xué)想要測得學(xué)校教學(xué)樓的高度，他在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得教學(xué)樓的仰角分別為，且，則學(xué)校教學(xué)樓的高度為（

）m．A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)m在Rt中，，所以，在Rt中，，所以，在Rt中，，所以，在和中分別用余弦定理得，解得.故選：C.5．“云樓”是白云區(qū)泉湖公園的標(biāo)志性建筑，也是來到這里必打卡的項(xiàng)目之一，它端坐于公園的禮儀之軸，建筑外形主體木質(zhì)結(jié)構(gòu)，造型獨(dú)特精巧，是泉湖公園的“陣眼”和“靈魂”，同時(shí)也是泉湖歷史與發(fā)展變化的資料展示館．小張同學(xué)為測量云樓的高度，如圖，選取了與云樓底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，在A點(diǎn)和B點(diǎn)測得C點(diǎn)的仰角分別為45°和30°，測得米，，則云樓的高度CD為（

）A．20米 B．25米 C．米 D．米【答案】B【詳解】解：依題意，，設(shè)，在、中，，，所以，，在中由余弦定理，即，解得或（舍去），所以云樓的高度為米；故選：B6．如圖，A，B兩地相距45km，甲欲駕車從A地去B地，由于山體滑坡造成道路AB堵塞，甲沿著與AB方向成18°角的方向前行，中途到達(dá)C點(diǎn)，再沿與AC方向成153°角的方向繼續(xù)前行到達(dá)終點(diǎn)B，則這樣的駕車路程比原來的路程約多了（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．45.5km B．51.5km C．56.5km D．60.5km【答案】C【詳解】解：在中，由，，所以，由正弦定理，即，所以，，所以．故選：C7．湖北宜昌三峽大瀑布是國家4A級景區(qū)，也是神農(nóng)架探秘的必經(jīng)之地.是展示震旦紀(jì)、奧陶紀(jì)、寒武紀(jì)等多個(gè)地質(zhì)年代的天然地質(zhì)博物館，也是世界上少有的集峽谷、溶洞、山水、化石文化為一體的國家級地質(zhì)公園，以山青、水秀、洞奇、瀑美著稱.走進(jìn)景區(qū)，猶如展開一幅絕美的山水畫卷，這里完全遠(yuǎn)離了都市的塵囂和喧鬧，在樹林間穿行，你可以盡情地呼吸著那沒有任何污染的富含負(fù)氧離子的空氣，你會猶如置身世外，忘掉一切煩惱，你能體會到的只有一個(gè)字--"幽".群山如黛，峽谷幽深，奇石林立，瀑布層疊，原生植物茂盛，生態(tài)環(huán)境原始自然，自然景觀獨(dú)具特色.峽谷內(nèi)溪水常年不斷，構(gòu)成30多道形態(tài)各異的瀑布鑲嵌于峽谷內(nèi)，其中最壯觀的是高102米、寬80米的三峽大瀑布，游瀑中全國獨(dú)一無二的零距離"穿越"大瀑布，讓人充分感受"集體濕身"的歡快和刺激.為了測量湖北宜昌三峽大瀑布的某一處實(shí)際高度，李華同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點(diǎn)位置測得瀑布頂端仰角的正切值為,沿山道繼續(xù)走，抵達(dá)B點(diǎn)位置測得瀑布頂端的仰角為;已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為，則該瀑布的高度約為（

）.A． B．

C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意作出示意圖：其中，過點(diǎn)B作于C，設(shè)，則，在中，,,在中,,即,即，解得，所以該瀑布的高度約為，故選：A8．今年北京冬奧會，首鋼滑雪大跳臺（如圖1）是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設(shè)計(jì)中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.西青區(qū)某校研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點(diǎn)A（如圖2）距離地面的高度AB（AB與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物PQ.測得PQ的高度約為25米，并從P點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為30°.在賽道與建筑物PQ之間的地面上的點(diǎn)M處測得A點(diǎn)、P點(diǎn)的仰角分別為75°和30°（其中B，M，Q三點(diǎn)共線）.則該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．59 B．60 C．65 D．68【答案】A【詳解】如圖所示：由題意得：，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，，所以，所以賽道造型最高點(diǎn)A距離地面的高度約59.故選：A.二、多選題9．如圖所示，在坡地一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若m，山坡對于地平面的坡度為，則下列說法正確的是(

)A．B．C．山坡A處與建筑物CD的頂端C的距離為米D．山坡A處與建筑物CD的頂端C的距離為100米【答案】AC【詳解】，∠BAC=15°，，在中，由正弦定理得在中，由正弦定理得，，即，故A正確，B錯(cuò)誤；在△ABC中，∠ABC=135°，由正弦定理得：，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．10．如圖，甲船從出發(fā)以每小時(shí)25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船出發(fā)時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里．當(dāng)甲船航行12分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距5海里，下面正確的是（

）A．乙船的行駛速度與甲船相同 B．乙船的行駛速度是海里/小時(shí)C．甲乙兩船相遇時(shí)，甲行駛了小時(shí) D．甲乙兩船不可能相遇【答案】AD【詳解】如圖，連接，依題意，（海里），而海里，，則是正三角形，，海里，在中，，海里，由余弦定理得：，且有，所以乙船的行駛速度是海里/小時(shí)，A正確，B不正確；延長與延長線交于O，顯然有，即，海里，海里，海里，甲船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)（小時(shí)），乙船從出發(fā)到點(diǎn)O用時(shí)（小時(shí)），，即甲船先到達(dá)點(diǎn)O，所以，甲乙兩船不可能相遇，C不正確，D正確.故選：AD三、填空題11．圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑.1996年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的必到景點(diǎn)，其集圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美，小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索非亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為米，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B、M、D三點(diǎn)共線）處測得樓頂A和教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為______米.【答案】【詳解】根據(jù)題意可得：，在三角形中，，故可得，在三角形中，由正弦定理可得：，即，解得，在三角形中，，故可得.即索菲亞教堂的高度為.故答案為：.12．欲測量河寬即河岸之間的距離（河的兩岸可視為平行），受地理?xiàng)l件和測量工具的限制，采用如下辦法：如圖所示，在河的一岸邊選擇A，B兩個(gè)觀測點(diǎn)，觀察對岸的點(diǎn)C，測得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，AB＝120米，由此可得河寬約為______米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，sin75°≈0.97）【答案】95【詳解】如圖，在中，，由正弦定理得：，，，到的距離（米）．故答案為：95四、解答題13．某校運(yùn)動(dòng)會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡角為的觀禮臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部B的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為米（即圖中線段），旗桿底部與第一排在同一水平面上．(1)求旗桿長度；(2)若國歌播放的時(shí)間約為50秒，升旗手應(yīng)以約多大的速度勻速升旗？【答案】(1)30（米）(2)0.6（米/秒）【詳解】（1）在△BCD中，，，，由正弦定理，得；在Rt△ABC中，（米）．（2）升旗速度（米/秒）．14．如圖，一輛汽車在水平的公路上向正西直線行駛，到處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山項(xiàng)（在水平面上的射影為點(diǎn)）在西偏北的方向上，仰角為，行駛后到達(dá)處，測得山頂在西偏北的方向上．(1)求此山的高度（單位，精確到）：(2)求汽車行駛過程中仰望山頂?shù)难鼋堑淖畲笾担ň_到）【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)此山高，則，在中，，根據(jù)正弦定理得，即，解得．答：山的高度為．（2）由題意可知，當(dāng)點(diǎn)到公路距離最小時(shí)，仰望山頂?shù)难鼋沁_(dá)到最大．過作，垂足為，連接．則所以答：仰角的最大值為B能力提升15．如圖，某大型廠區(qū)有三個(gè)值班室，值班室在值班室的正北方向千米處，值班室在值班室的正東方向千米處．(1)保安甲沿從值班室出發(fā)行至點(diǎn)處，此時(shí)千米，求的距離，并說明點(diǎn)在點(diǎn)方向角哪個(gè)方向上；(2)保安甲沿從值班室出發(fā)前往值班室，保安乙沿從值班室出發(fā)前往值班室，甲乙同時(shí)出發(fā)，甲的速度為千米/小時(shí)，乙的速度為千米/小時(shí).若甲乙兩人通過對講機(jī)聯(lián)系，對講機(jī)在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為千米（含千米），試問有多長時(shí)間兩人不能通話？【答案】(1)千米，點(diǎn)在點(diǎn)北偏東方向上或東偏北方向上(2)不能通話的時(shí)間為小時(shí)【詳解】（1）由題意可知，是，因?yàn)?，由勾股定理，解?在中，，可得.當(dāng)時(shí)，，在中，由余弦定理得，解得.因?yàn)椋玫?所以千米，點(diǎn)在點(diǎn)北偏東方向上或東偏北方向上.（2）已知甲的速度為千米/小時(shí)，乙的速度為千米/小時(shí)，因?yàn)?，所以兩小時(shí)后保安甲到達(dá)值班室的同時(shí)，保安乙到達(dá)值班室.設(shè)甲乙同時(shí)出發(fā)小時(shí)后，甲到達(dá)點(diǎn)處，乙到達(dá)點(diǎn)處，可得，當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理得，所以.由，整理得，解得.因?yàn)?，所以，又因時(shí)，；時(shí)，，所以，兩人不能通話的時(shí)間為小時(shí)．16．如圖，A，B是某海域位于南北方向相距海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)南偏東的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)正西方向且與B點(diǎn)相距50海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為40海里/時(shí)．(1)求B，C兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時(shí)應(yīng)該沿怎樣的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長時(shí)間？（角度精確到）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)30海里(2)救援船前往營救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東方向航行，到達(dá)C處需要1.75小時(shí)（1）在中，，則，，由正弦定理，得（海里），故B，C兩點(diǎn)間的距離為30海里．（2）在中，，由余弦定理得，則（海里），所以救援船到達(dá)C處需要的時(shí)間（時(shí)）．由余弦定理可得．又D為銳角，所以，所以．故救援船前往營救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東方向航行，到達(dá)C處需要1.75小時(shí)．C綜合素養(yǎng)17．疫情無情，人間有情．為了有效解決疫情發(fā)生以來市民群眾因管控帶來的出門買菜難等生活不便問題，某市在全市范圍內(nèi)組織開展“送菜上門、便民利民”工作．如圖，運(yùn)送物資的車輛已裝車完畢，運(yùn)送人員小趙計(jì)劃從處出發(fā)，前往，，，4個(gè)小區(qū)運(yùn)送生活物資，已知，，，與的交點(diǎn)為，且，．(1)分別求，的長度．(2)假設(shè)，，，，，，，均為平坦的直線型馬路，小趙開著貨車在馬路上以的速度勻速行駛，每到1個(gè)小區(qū)，需要10分鐘的卸貨時(shí)間，直到