.3三角形的內(nèi)角與外角【考點(diǎn)歸納】【知識歸納】知識點(diǎn)一、三角形的內(nèi)角和定理及推論（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．知識點(diǎn)二．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．知識點(diǎn)三．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．【題型歸納】題型一：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【例1】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∵，∴．故選：A．【跟蹤訓(xùn)練1】．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，分別是的高和角平分線，且，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了高線以及角平分線的定義，根據(jù)高線的定義得出，，根據(jù)角平分線的定義得出的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵是的高，且，，∴，，∴，∵是的角平分線，∴，∴．故選：A．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·吉林·期末）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，由一副三角板的性質(zhì)可知：，∴，∴，故選：B．題型二：與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【例2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖，直線，平分．若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：如圖，∵平分．，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故選B．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25七年級下·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，直線，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，先求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出結(jié)論即可．【詳解】解：如下圖：，，，，，，故選：D．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025·安徽滁州·三模）兩個直角三角板如圖擺放，其中，，，若是上一點(diǎn)且，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角板的有關(guān)計(jì)算，由，，，則，，又，則，然后通過角度和差即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：．題型三：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題【例3】（25-26八年級上·吉林長春·開學(xué)考試）如圖，在中，為的平分線，為邊上的高，與交于點(diǎn)，．求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再由角平分線的定義可得的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵為的平分線，∴，∵為邊上的高，即，∴，∴．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，在中，于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，首先由垂直定義得到，利用角平分線求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，即可根據(jù)，得出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，平分，∴∴∵，∴．故選C．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·福建莆田·期中）已知，如圖在中，，平分交于F，交于E，．求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查三角形的高線、角平分線，三角形內(nèi)角和定理，由垂直可得，由角平分線可得，由三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出，再由對頂角相等即可得出．【詳解】解：∵，∴，∵平分，，∴，∴，∴．題型四：三角形折疊中的角度問題【例4】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，中，，沿將此三角形對折，又沿再一次對折，點(diǎn)落在上的處，此時，則原三角形的的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由折疊的性質(zhì)可知，，求出，然后通過三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，，∴．在中，，，∴．故選：．【跟蹤訓(xùn)練1】（24-25八年級上·河南安陽·期末）如圖，在中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)F處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)折疊得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵將沿翻折后，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，∴，，∵，∴，∵，∴，∴,故選：C．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25八年級上·江蘇·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為上一點(diǎn)，將沿直線翻折至同一平面內(nèi)，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，，分別交邊于點(diǎn)M，N．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了翻折變換，鄰補(bǔ)角，直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平角定義可得，然后利用折疊的性質(zhì)可得：，，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得，進(jìn)而可得，最后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：∵，∴，由折疊得：，，∵，∴，∴，∴，故選：A．題型五：直角三角形的兩個銳角互余問題【例5】（24-25八年級上·廣東肇慶·階段練習(xí)）如圖，在三角形中，，D是上一點(diǎn)，且，，，求：的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義，利用三角形的內(nèi)角和定理求解角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．本題根據(jù)垂直的知識得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與等量變換得到，然后即可求解；【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如下圖，在中，，E為射線上一點(diǎn)，且于點(diǎn)F．(1)若，則______．(2)探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)．理由見解析【分析】（1）在中利用內(nèi)角和定理易得：進(jìn)而得到的度數(shù)，再在和中利用內(nèi)角和定理解答即可．（2）根據(jù)（1）猜測出與的數(shù)量關(guān)系即可；在中利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合，得出，再在中利用內(nèi)角和定理結(jié)合對頂角相等得到，再在中利用內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】（1）解：故答案為：（2）解：．理由如下：，，，．，．【跟蹤訓(xùn)練2】（24-25七年級下·河南南陽·期末）如圖，在中，AE平分，AD是BC邊上的高．(1)在圖中將圖形補(bǔ)充完整；(2)當(dāng)，時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)高的定義補(bǔ)充圖形；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，最后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)求出．【詳解】（1）（1）解：如圖所示：（2）解：∵在中，平分，，是邊上的高，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義以及直角三角形的性質(zhì)，主要圍繞三角形中的角平分線和高展開，通過三角形內(nèi)角和定理以及角之間的關(guān)系來求解角度，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義以及直角三角形的性質(zhì)來建立角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型六：三角形的外角問題【例6】（24-25八年級上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，中，，，垂足分別為D、E，、交于點(diǎn)H，已知，，求與的度數(shù)．【答案】，【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性質(zhì)；能熟練利用三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性質(zhì)得，即可求解．【詳解】解：，，，，，，由三角形的外角性質(zhì)得，．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·四川綿陽）如圖，中，D為邊上一點(diǎn)，過D作，交于E；F為邊上一點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于G，且．(1)求證：平分；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理及三角形的外角定理是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)得到，，，等量代換可得，即可得解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，即得，根據(jù)對頂角相等得到，再根據(jù)三角形的外角定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵，∴，∴平分；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，∵，∴．【跟蹤訓(xùn)練2】（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，平分的外角，且交的延長線于點(diǎn)E．(1)若，，求的度數(shù)；(2)試猜想、、三個角之間存在的等量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查的是角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是關(guān)鍵．（1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明，結(jié)合，，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由條件可知，∵平分，∴，∴；（2）解：，理由如下：由條件可知，又∵，∴，即．題型七：與三角形有關(guān)的角綜合問題【例7】（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在中，三個內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，的外角平分線與的延長線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．（1）已知，平分，平分，根據(jù)角平分線的定義得到的度數(shù)，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可判斷本問結(jié)論；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得，即可得到的度數(shù)，從而求出的度數(shù)；已知、分別為、的角平分線，根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，平分，平分，∴，∴，∴，∴．∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴．∵、分別為、的角平分線，∴，∴．【跟蹤訓(xùn)練1】（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，P是線段上的一個動點(diǎn)，且不與B，C重合，，．(1)已知，．①；②若，則；(2)如圖②，已知，作，試探究，，之間的關(guān)系．【答案】(1)①；②(2)，理由見解析【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等面積法的應(yīng)用；（1）①先求解，再結(jié)合垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理可得答案；②設(shè)，則，可得，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）由等面積法可得，結(jié)合可得答案；【詳解】（1）解：①∵，，∴；∵，，∴，∴；②∵，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：，∴，，∵，∴；（2）解：，理由見解析；∵，，，∴，，，∵，∴,∴.【跟蹤訓(xùn)練2】（25-26八年級上·陜西延安·開學(xué)考試）【問題背景】如圖，直線與直線分別交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．【問題探究】（1）求證：；（2）如圖1，點(diǎn)、分別是射線、上的點(diǎn)，連接，若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；【問題拓展】（3）如圖2，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，連接，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，連接．若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2），理由見詳解（3）【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，列一元一次方程解決幾何問題等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)．（1）利用角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等量代換得出，利用同位角相等，兩直線平行即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得出，利用三角形內(nèi)角和得出，再利用角平分線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的定義得出，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系，假設(shè)，則，，利用三角形內(nèi)角和列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵平分，∴，又∵，∴，∴；（2），理由如下：由（1）得，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（3）∵平分，平分，∴，，由（1）得，∴，，假設(shè)，則，，∴，∵，∴，解得，，∴，∴．【高分演練】一、單選題1．（2025·陜西漢中·二模）如圖，已知，點(diǎn)是邊延長線上一點(diǎn)，，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，先求三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：B．2．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知，垂足為D．下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余寫出各角的關(guān)系，然后選擇答案即可．【詳解】解：∵，，，∴A、B、D選項(xiàng)結(jié)論不一定正確，C選項(xiàng)正確．故選：C．3．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識，熟記平行線性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．由，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到，在中，是的一個外角，代值求解即可得到答案，【詳解】解：，，在中，是的一個外角，則，∵，，故選：C．4．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖．等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形外角、三角形內(nèi)角和的知識，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)與內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．延長，交于點(diǎn)G，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】如圖，延長，交于點(diǎn)G，∴，∵，∴，故選：A．5．（24-25七年級下·湖南長沙·期末）將一副三角板按照如圖方式擺放，點(diǎn)，，共線，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，即可求出的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：是的一個外角，，，，，，故選：B．6．（24-25八年級上·河南駐馬店·期末）如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個，，并畫出了兩銳角的角平分線、及其交點(diǎn)F．小明發(fā)現(xiàn)，無論怎樣變動的形狀和大小，的度數(shù)是定值，則這個定值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題關(guān)鍵．利用三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義求解即可．【詳解】解：在中，，，兩銳角的角平分線、交于點(diǎn)F，，，，，故選：A．7．（24-25八年級上·陜西西安·期末）如圖，在中，，，分別平分和，且相交于點(diǎn)F，，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)G．則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)各角之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而判斷選項(xiàng)的正確性．根據(jù)角平分線定義得到角的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合平行線性質(zhì)（同位角、同旁內(nèi)角）、垂直性質(zhì)（直角）及三角形內(nèi)角和與外角定理，逐一分析各選項(xiàng)中角的關(guān)系是否成立．【詳解】解：已知在中，，故．∵平分，平分，，．選項(xiàng)∵，∴（兩直線平行，同位角相等）．∵平分，∴，∴，A正確．選項(xiàng)∵，，∴（一條直線垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條），即．∴．在中，，∴．∵平分，∴，∴，B正確．選項(xiàng)C：在中，．∵與是對頂角，∴，C錯誤．選項(xiàng)是的外角，則．，，D正確．故選：C．8．（24-25七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，中，、分別是高和角平分線，點(diǎn)在的延長線上，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】B【分析】本題主要考查的是三角形內(nèi)角和定理，正確運(yùn)用三角形的高、角平分線的概念以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)，和，證明結(jié)論正確；②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；③證明，根據(jù)①的結(jié)論，證明結(jié)論錯誤；④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確．【詳解】解：①，，，，，，故①正確；②平分，，又，，，，故②正確；③∵，∴，，，由①得，，，；故③錯誤；④，又，，，，∴，，，故④正確；綜上分析可知，①②④正確，故B正確．故選：B．二、填空題9．（24-25七年級下·山東泰安·階段練習(xí)）如圖，已知，則．【答案】/80度【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)定理．延長交于點(diǎn)，利用三角形外角的性質(zhì)定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，，,故答案為：．10．（24-25七年級上·湖南衡陽·期末）如圖，將一角折疊，若，則．【答案】/144度【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平角以及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由翻折的性質(zhì)可知，，，，求出的大小，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，故答案為：．11．（25-26八年級上·四川綿陽·開學(xué)考試）如圖，是的外角的平分線，且交的延長線于點(diǎn)E，，，那么的度數(shù)是【答案】【分析】此題主要考查了三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義．注意三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．由，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可求得的度數(shù)，又由角平分線的定義，求得的度數(shù)，又由三角形外角的性質(zhì)，求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，是的平分線，，，故答案為：．（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在中，若，，，，則．【答案】/40度【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角，掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，求出，繼而求出，再由，得到，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．13．（24-25七年級下·上海寶山·期末）如圖，在中，，延長至，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，則．【答案】/25度【分析】由三角形外角的性質(zhì)得到，即可求出的度數(shù)．本題考查角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握三角形的外角的性質(zhì)．【詳解】解：，，，，，，，．故答案為：．14．（2025八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，．【答案】【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．15．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，已知、交于點(diǎn)，，，，則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和的應(yīng)用、對頂角的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，得出，根據(jù)對頂角相等，得出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．16．（25-26八年級上·陜西延安·開學(xué)考試）如圖，分別是延長線上的點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則，其中所有正確結(jié)論的序號為．【答案】①③④【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)定理．利用平行線的判定和性質(zhì)定理，及三角形外角的性質(zhì)定理，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵，∴，該選項(xiàng)正確，符合題意；②根據(jù)已知條件無法得出，該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；③∵，∴，又∵，∴，該選項(xiàng)正確，符合題意；④∵，，∴，∴，該選項(xiàng)正確，符合題意；故答案為：①③④．三、解答題17．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，D為延長線上一點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，若，求證：是直角三角形．【答案】見解析【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，互余關(guān)系，結(jié)合等量代換，得到，進(jìn)而求出，進(jìn)而推出，即可得出結(jié)果．【詳解】證明：∵，∴．又∵，∴，∴，∴，即是直角三角形．18．（24-25八年級上·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，在中，于D平分與交于點(diǎn)F，求．【答案】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出角的度數(shù)，再利用角平分線得到平分角的度數(shù)，結(jié)合高線的垂直關(guān)系，通過三角形外角性質(zhì)求出目標(biāo)角度．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)；由角平分線的性質(zhì)得到的度數(shù)；結(jié)合得出的度數(shù)；再利用三角形外角等于不相鄰兩個內(nèi)角之和，求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，而，∴，∵平分，∴，∵于D，∴，∴．故答案為：．19．（25-26八年級上·全國·單元測試）如圖，把一副三角尺擺放在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．(1)與平行嗎？請說明理由；(2)若為上一點(diǎn)，連接，，且，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（）證明即可求證；（）由得，，即得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)解答即可求解；本題考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的外角性質(zhì)，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，理由如下：由題意得，，∴，∴，∴；（2）解：，∴，，，，，．20．（24-25八年級下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖①所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們把這樣的圖形叫做“規(guī)形圖”，叫“規(guī)角”．(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究規(guī)角與、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)請你利用結(jié)論，解決下列問題：①如圖②，在中，、的平分線交于點(diǎn)P，若，則_________度．②如圖③，平分，平分，若的度數(shù)是__