課堂教學(xué)設(shè)計教師姓名課程名稱授課時數(shù)2累計課時授課日期星期\節(jié)次授課班級課題單元4微分及其應(yīng)用（4-1）知識目標(biāo)理解函數(shù)微分的概念及其，以及微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系技能目標(biāo)熟悉微分幾何意義態(tài)度目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的計算能力、邏輯思維能力和自我學(xué)習(xí)能力，為學(xué)習(xí)專業(yè)課程打下良好的基礎(chǔ)，并能用微分知識解決實際問題教學(xué)重點微分的概念教學(xué)難點微分的幾何意義教學(xué)資源參考書《高等數(shù)學(xué)》——同濟四版作業(yè)【同步訓(xùn)練】教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法時間課堂引入明確教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點難點，熟悉教學(xué)方法講授法5’引例探析【引例4-1】探析金屬薄片受熱變形時面積的改變量；【引例4-2】探析機械掛鐘因熱脹冷縮產(chǎn)生的鐘表誤差討論式教學(xué)法15’概念認(rèn)知1．微分的概念2．微分的幾何意義3．微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系啟發(fā)式教學(xué)法55’同步訓(xùn)練【同步訓(xùn)練】練習(xí)法10’課堂小結(jié)對教學(xué)內(nèi)容進行小結(jié)，對教學(xué)情況進行點評歸納點評5’課后小記課堂教學(xué)講稿課堂教學(xué)講稿單元4微分及其應(yīng)用（4-1）【引例探析】【引例4-1】探析金屬薄片受熱變形時面積的改變量【問題描述】一塊邊長為x的正方形金屬薄片受熱變形，其邊長由變到，如圖4-1所示，試問此薄片的面積改變了多少？圖4-1正方形金屬薄片受熱變形【問題求解】設(shè)正方形邊長為時，面積為，則．當(dāng)正方形邊長由變到時，面積的改變量為上式中包含兩部分：第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和；第二部分當(dāng)時是比高階的無窮小，即，它在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積．當(dāng)很小時，面積的改變量可近似地用第一部分來代替，而省略第二部分．根據(jù)上面的討論，可以表示為，其中的第一部分叫做函數(shù)在點的微分，其中=（．【引例4-2】探析機械掛鐘因熱脹冷縮產(chǎn)生的鐘表誤差【問題描述】如圖4-2所示的一只機械掛鐘，其擺動周期為1s，擺長為l，如圖4-3所示．在冬季，擺長因熱脹冷縮而產(chǎn)生微小縮短，由于擺長縮短，該擺鐘的周期會如何變化？【問題求解】單擺周期的計算公式T=，其中g(shù)=9.8m/s2．當(dāng)擺長縮短?l時，擺長變成l-?l，此時單擺的周長T=．△T=T(l-?l)-T(l)=-=()．由于已知擺動周期為1s，=1，解得擺的原長為l=所以△T=()．假設(shè)擺長縮短的長度為0.0001m，π取3.14159，那么△T=()≈0.31944×()≈0.31944×(3.12987-3.13050)=0.31944×(-0.0063)=-0.0002012472(s)．即擺長因熱脹冷縮而產(chǎn)生微小縮短0.0001米時，掛鐘的周期相應(yīng)地會縮短約0.0002012472秒，所以這只擺鐘每秒快了0.0002012472秒．【概念認(rèn)知】1．微分的概念【定義4.1】：微分的定義形式1一般地，設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義．如果函數(shù)的增量可以表示為，其中不依賴，而是比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點可微，且稱為函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作，即．如果函數(shù)在點x處可導(dǎo)，那么稱為函數(shù)在點x處的微分，簡稱為函數(shù)的微分，即A=，記作或．顯然dx==，即dx=，自變量x的微分dx就是它的增量，因此，微分記號中可用dx代替，稱為自變量的微分．即：或于是：【定義4.2】：微分的定義形式2設(shè)函數(shù)在點x=及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點處的微分，記作．一般地，可導(dǎo)函數(shù)在任一點處的微分為，即函數(shù)的微分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積．【示例4.1】：求函數(shù)的微分．解：因為，所以．注意到當(dāng)時，，這表明自變量的微分等于自變量的改變量，所以函數(shù)的微分又可記為．這說明函數(shù)的微分是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘積．【示例4.2】：求函數(shù)，當(dāng)x=3，微分=0.01時的微分dy．解：因為dy==2x·，而當(dāng)x=3,=0.01，所以dy=2×3×0.01=0.06．2．微分的幾何意義設(shè)點和點是曲線上的兩點，如圖4-4所示．從圖中可以看出：MQ=，QN=．即表示曲線上對應(yīng)于點x=的函數(shù)增量．過點M作曲線的切線MT，設(shè)切線MT的傾斜角為，則MT的斜率為=．可見，QP=MQ=．因此，函數(shù)在點處的微分，在幾何上表示曲線在點M處的切線MT的縱坐標(biāo)的增量．圖中PN是與dy之差，當(dāng)||很小時，PN比||減少得更快，因此≈dy，切線段MP可近似代替曲線弧MN．3．微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商，因此導(dǎo)數(shù)又稱為“微商”．由于或，即函數(shù)的微分等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量的微分之積．導(dǎo)數(shù)與微分是密切相關(guān)的，可導(dǎo)函數(shù)一定可微，可微函數(shù)也一定可導(dǎo)．下面討論函數(shù)可微的條件．【定理4.1】：函數(shù)在點可微的充分必要條件是它在點可導(dǎo)．證：（1）先證必要性．設(shè)y=f(x)在點可微，那么按定義有,在等式兩邊除以Δx，得,因此，極限，該極限存在，即在點x可導(dǎo)，且．（2）再證充分性．設(shè)y=f(x)在點可導(dǎo)，即極限存在，由函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系定理可得，其中是時的無窮?。虼耍@然（當(dāng)時），且不依賴，故在點可微．定理證畢．由定理的必要性證明可見，當(dāng)在