專題2.6直線與圓的位置關(guān)系（舉一反三講義） 【蘇科版】TOC\o"13"\h\u【題型1判斷直線與圓的的位置關(guān)系】 2【題型2已知直線與圓的的位置關(guān)系求半徑的取值范圍】 4【題型3已知直線與圓的的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】 8【題型4判斷或補全條件使直線為切線的條件】 11【題型5連半徑證明某直線是圓的切線】 15【題型6作垂直證明某直線是圓的切線】 20【題型7切線性質(zhì)的應用】 25【題型8切線的判定和性質(zhì)的綜合應用】 29【題型9求圓平移到與直線相切時圓心經(jīng)過的距離】 36【題型10求直線平移到與圓相切時運動的距離】 41知識點1直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)210d與r關(guān)系d＜rd＝rd＞r公共點名稱割點切點直線名稱割線切線知識點2切線的判定定理和性質(zhì)定理1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．2.切線的判定定理的推論（1）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．（2）經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．3.切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點的半徑．4.證明直線是圓的切線的方法一看利用交點個數(shù)：直線與圓有唯一的公共點二算利用數(shù)量關(guān)系：圓心到直線的距離等于圓的半徑三說明利用切線的判定定理：直線經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑【題型1判斷直線與圓的的位置關(guān)系】【例1】（2425九年級上·甘肅張掖·期末）若⊙O的半徑為5，圓心到一條直線的距離為2.5，則這條直線是（

）A．l1 B．l2 C．l3【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判定方法，比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小，確定直線與圓的位置關(guān)系，再結(jié)合圖形進行判斷．本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓位置關(guān)系的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵圓O半徑r=5，圓心到直線的距離d=2.5，∴d<r．∵當d<r時，直線與圓相交，∴這條直線與圓O相交，結(jié)合圖形可知是l2故選：B．【變式11】（2425九年級上·福建福州·期末）“日出江花紅勝火，春來江水綠如藍”，如圖記錄的日出美景中，太陽與海天邊隙線可看成圓與直線，它們的位置關(guān)系是．【答案】相離【分析】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，即可解答．【詳解】解：由題可知，太陽與海天邊隙線可看成的圓和直線沒有公共點，所以太陽和海天邊隙線看成的直線位置關(guān)系是相離．故答案為：相離．【變式12】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C為圓心，2.4為半徑作⊙C，則⊙C和AB的位置關(guān)系是【答案】相切【分析】本題考查了直線和園的位置關(guān)系，過C作CD⊥AB于D，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形面積公式求出CD，和⊙C的半徑比較即可．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=3由三角形面積公式得：12∴CD=2.4，∴C到AB的距離等于⊙C的半徑長，∴⊙C和AB的位置關(guān)系是相切，故答案為：相切．【變式13】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結(jié)論中正確的是（A．點B在⊙A內(nèi) B．直線BC與⊙A相離C．點C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切【答案】D【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，過A點作AH⊥BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到BH=CH=12BC=4，則利用勾股定理可計算出AH=3，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法對A選項和B選項進行判斷；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系對C選項和D選項進行判斷．設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d<r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H，如圖，∵AB=AC，∴BH=CH=1在Rt△ABH中，AH=∵AB=5＞∴B點在⊙A外，所以A選項不符合題意；∵AC=5>3，∴C點在⊙A外，所以C選項不符合題意；∴AH=3，∴直線BC與⊙A相切，所以D選項符合題意，B選項不符合題意．故選：D．【題型2已知直線與圓的的位置關(guān)系求半徑的取值范圍】【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的范圍是【答案】3<r≤4或r=2.4【分析】本題需要分兩種情況進行討論：①圓與斜邊AB相切時，②點A在圓內(nèi)部、點B在圓上或圓外時．首先根據(jù)勾股定理求出斜邊AB的長，再根據(jù)圓與斜邊AB的位置關(guān)系與公共點數(shù)量之間的聯(lián)系進行分類討論．其中，圓與斜邊AB相切時的半徑CD的長可利用三角形的面積公式求出．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC根據(jù)勾股定理，AB=A分兩種情況：①圓與斜邊AB相切時，連接圓心C與切點D，根據(jù)切線的性質(zhì)可知：CD⊥AB，∵S∴CD=AC×BC即r=2.4；②點A在圓內(nèi)部、點B在圓上或圓外時，此時AC<r≤BC，即3<r≤4，∵BC>AC，∴此時以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點；故答案為：3<r≤4或r=2.4．【點睛】本題主要考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，三角形的面積公式，直線與圓的位置關(guān)系等知識點，運用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式21】已知⊙O和直線L相交，圓心到直線L的距離為10cm，則⊙OA．8cm B．9cm C．10cm【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離為d，若d<r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d>r，則直線與圓相離．【詳解】解：設(shè)圓心到直線的距離為d，∵⊙O和直線L相交，∴d<r∵d=10cm∴r>10cm∴只有選項D符合條件，故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟悉直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系：d<r，直線和圓相交；d=r，直線和圓相切；d>r，直線和圓相離．【變式22】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點O是邊BC上一點，以O(shè)為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤133 B．4≤OC≤133 C．4＜OC≤143【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，當⊙O與邊AD相切時，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設(shè)OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝133【詳解】作DE⊥BC于E，如圖所示：則DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，當⊙O與邊AD相切時，切點為D，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設(shè)OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝133∴以O(shè)為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是4≤x≤133故選B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握直角梯形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2425九年級上·江蘇常州·期中）如圖，已知∠BAC=45°，點O在AC上，且AO=42，以點O為圓心，r為半徑畫⊙O．若⊙O與射線AB有1個公共點，則r的取值范圍是【答案】r=4或r>4【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握若d<r，則直線與圓相交；若d=r，則直線于圓相切；若d>r，則直線與圓相離．分兩種情況討論：①當⊙O與AB相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑；②當⊙O和射線AB相交，但另一個交點在AB的延長線上時，圓的半徑大于AO．【詳解】解：①如圖，當⊙O與AB相切時，⊙O與射線AB有1個公共點，∴∠ODA=90°，∵∠BAC=45°，∴△ADO是等腰直角三角形，∴DA=DO，AO=D∵AO=42∴DO=4，即圓的半徑是4；②如圖，當⊙O和射線AB相交，但另一個交點在AB的延長線上時，⊙O與射線AB有1個公共點，∴點A在⊙O內(nèi)，∴半徑r>42綜上可知，⊙O與射線AB有1個公共點，則r的取值范圍是r=4或r>42故答案為：r=4或r>42【題型3已知直線與圓的的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】【例3】如圖，已知⊙O是以數(shù)軸的原點O為圓心，以3為半徑的圓，∠AOB＝45°，點P在數(shù)軸上運動．若過點P與OA平行的直線與⊙O有公共點，設(shè)點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為x．則x的取值范圍是（）A．0≤x≤32 B．x＞32 C．﹣3≤x≤3 D．﹣32≤x≤32，且x≠0【答案】D【分析】首先作出圓的切線，求出直線與圓相切時的P的取值，再結(jié)合圖象可得出P的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：∵半徑為1的圓，∠AOB＝45°，過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，∴當P′C與圓相切時，切點為C，∴OC⊥P′C，CO＝3，∠P′OC＝45°，OP′＝32，∴過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，即0＜x≤32，同理可得：過點P且與OA平行的直線與⊙O有公共點，即﹣32≤x＜0，綜上所述：﹣32≤x≤32，且x≠0．故選D．【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，作出切線找出直線與圓有交點的分界點是解決問題的關(guān)鍵．【變式31】圓O的半徑為5，若直線與該圓相離，則圓心O到該直線的距離可能是（

）A．2.5 B．5 C．5 D．6【答案】D【分析】當直線與圓相離時，可知圓心到直線的距離大于半徑，于是有d>r；【詳解】∵直線與圓相離，且圓O的半徑為5，∴d>r，即d>5.四個選項中只有D選項符合.故選:D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.①直線l和⊙O相交?d<r②直線l和⊙【變式32】如圖，已知直線y=34x－3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是以C(0，2)為圓心，半徑為1的圓上一動點，連結(jié)PA、PB．則△PAB面積的最大值是【答案】25【分析】求出A、B的坐標，根據(jù)勾股定理求出AB，求出點C到AB的距離，即可求出圓C上點到AB的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可．【詳解】解：∵直線y=3∴A點的坐標為（4，0），B點的坐標為（0，3），即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5過C作CM⊥AB于M，連接AC，則由三角形面積公式得：12即：12∴CM=4，∴圓C上點到直線y=34x?3∴△PAB面積的最大值是12故答案為252【點睛】本題考查了三角形的面積，勾股定理等知識，解此題的關(guān)鍵是求出圓上的點到直線AB的最大距離．【變式33】在直角坐標系xOy中，對于直線l：y＝kx+b，給出如下定義：若直線l與某個圓相交，點M的坐標為(?1,0)，若⊙M的半徑為2，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，則b【答案】±1【分析】如圖所示，設(shè)直線l與⊙M交于B、C，過點M作MD⊥BC于E，連接MB，先證明當點E與點D重合時，ME最小，即此時BC最小，再由BC最小=22求出MD=2【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線l與⊙M交于B、C，過點M作MD⊥BC于E，連接MB，∵MB＝∴BC＝在Rt△MBE中，由勾股定理得BE=∴當ME最小時，BE最大.∵ME≤MD，∴當點E與點D重合時，ME最大，∵直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，即B∴BD=1∴MD=M∵D(0,b)，∴1+b解得b=±1．故答案為：±1．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，垂徑定理，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．【題型4判斷或補全條件使直線為切線的條件】【例4】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D是⊙O外一點，過點A作AE⊥CD，垂足為E，連接OC．若使CD切⊙O于點C，添加的下列條件中，不正確的是（）A．OC∥AE B．∠OAC=∠CAE C．∠OCA=∠CAE D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)，逐項判定即可得到答案．【詳解】解：A、∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，當OC∥AE時，則∠OCD=90°，即∴CD切⊙O于點C，該選項正確，不符合題意；B、∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，則∠CAE+∠ACE=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，當∠OAC=∠CAE時，則∠OCA+∠ACE=90°，即OC⊥DE，∴CD切⊙O于點C，該選項正確，不符合題意；C、當∠OCA=∠CAE時，OC∥∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠OCD=90°，即OC⊥DE，∴CD切⊙O于點C，該選項正確，不符合題意；D、當OA=AC時，由OA=OC得到OA=OC=AC，∴△OAC是等腰三角形，無法確定∠OCD=90°，∴不能得到CD切⊙O于點C，該選項不正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查切線的判定，平行線的判定與性質(zhì)，熟記圓的切線的判定是解決問題的關(guān)鍵．【變式41】如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當∠CAB的度數(shù)等于度時，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因為OA⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=1∵當OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，∴當∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式42】在下圖中，AB是⊙O的直徑，要使得直線AT是⊙O的切線，需要添加的一個條件是．（寫一個條件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）【分析】根據(jù)切線的判定條件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加條件：∠ABT=∠ATB=45°即可．【詳解】解：添加條件：∠ABT=∠ATB=45°，∵∠ABT=∠ATB=45°，∴∠BAT=90°，又∵AB是圓O的直徑，∴AT是圓O的切線，故答案為：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式43】如圖，點C在以AB為直徑的半圓上AB=6，∠ABC=30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F，當AD長度為時，EF與半圓相切．【答案】32【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對稱的性質(zhì)等知識，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接OC，CD，先證明△AOC是等邊三角形，從而可得∠ACO=60°，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠ACD=30°，進而可得∠ECA=30°，然后再證∠OCE=90°，即可判斷．【詳解】解：當AD=32時，連接OC，CD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°∵OA=OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO=60°，∵AD=32，∴OD=OA?AD=3?3∴AD=OD，∴∠ACD=1∵點E與點D關(guān)于AC對稱，∴∠ECA=∠ACD=30°，∴∠OCE=∠ECA+∠ACO=90°，∴OC⊥EF，∵OC是半⊙O的半徑，∴EF與半⊙O相切，∴當AD=32時，故答案為：32【題型5連半徑證明某直線是圓的切線】【例5】（2425九年級上·甘肅嘉峪關(guān)·期末）如圖：等腰△ABC，以腰AB為直徑作⊙O交底邊BC于P，PE⊥AC，垂足為E．求證：PE是⊙O的切線．【答案】見詳解【分析】連接OP，推出∠BPA=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BP=PC，根據(jù)三角形中位線定理求出OP∥AC，推出【詳解】證明：連接OP，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90°，∵AB=AC，∴BP=CP，∵OB=OA，∴OP為△ABC的中位線，∴OP∥∵PE⊥AC，∴OP⊥PE，∵PO是半徑，∴PE是⊙O的切線．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、切線的判定、圓周角定理等知識點的運用，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意證切線的方法：知道過圓上一點，連接圓心和該點證垂直．【變式51】（2025·山東臨沂·一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是BC上一點，AD=AC．E是⊙O外一點，∠BAE=∠CAD，∠ADE=∠ACB，連接BE．(1)若CD=2，DE=6，求BD的長；(2)求證：EB是⊙O的切線．【答案】(1)4(2)見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，掌握切線的判定是關(guān)鍵．（1）證明△ADE≌△ACB(ASA)，得到（2）連接BO并延長交⊙O于點F，可得∠AFB+∠ABF=90°，∠AFB=∠ACB，∠ABE=∠AFB，所以∠ABF+∠ABE=90°，結(jié)合切線的判定即可求解．【詳解】（1）解：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，即∠EAD=∠BAC，又∵∠ADE=∠ACB，AD=AC，∴△ADE?△ACB(ASA∴BC=DE=6，∴BD=BC?CD=6?2=4；（2）證明：連接BO并延長交⊙O于點F，連接AF，∵BF是⊙O的直徑，∴∠BAF=90°，∴∠AFB+∠ABF=90°，∵AB?∴∠AFB=∠ACB，由（1）知△ADE?△ACB(∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，又∠BAE=∠CAD，∴∠ABE=∠ACB，∴∠ABE=∠AFB，∴∠ABF+∠ABE=90°，∴OB⊥BE，∴EB是⊙O的切線．【變式52】（2025·遼寧朝陽·三模）如圖，AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，點D為OB上一點，過點D作DE⊥AB于點D，交AC的延長線于點E，點F為線段DE上一點，且CF=EF．求證：CF是⊙O的切線；【答案】見解析【分析】本題題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵；連結(jié)OC，根據(jù)OA=OC，可得∠A=∠OCA，根據(jù)CF=EF，可得∠E=∠FCE，由DE⊥AB，可得∠A+∠E=90°，進而得出∠OCF=90°，即可得證．【詳解】（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵CF=EF，∴∠E=∠FCE，∵DE⊥AB于點D，∴∠ODE=90°，∴∠A+∠E=90°，∴∠OCA+∠FCE=90°，∵∠OCA+∠OCF+∠FCE=180°，∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線.【變式53】（2025九年級下·浙江·專題練習）如圖，AB為⊙O的直徑，四邊形OBCD是矩形，連接AD，延長AD交⊙O于E，連接CE．求證：CE為⊙O的切線．【答案】見解析【分析】本題考查圓周角定理，圓的切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等眾多知識點，熟悉掌握以上知識點是解題關(guān)鍵．連接OC、BE，根據(jù)矩形性質(zhì)和圓半徑相等，推出∠CDE=∠AEO，進而得到OP=CP，然后根據(jù)OB∥CD，可以推出∠COE=∠BOC，最后通過證明【詳解】證明：如圖：連接OC、BE，∵四邊形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∵OB∥∴∠A=∠CDE，∵在⊙O中，OA=OB=OE，∴OE=CD，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∴∠CDE=∠AEO，∴DP=PE，∵OE=CD，∴OP=CP，∴∠COE=∠DCO，∵OB∥∴∠DCO=∠BOC，∴∠COE=∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO∴△BOC≌△EOC，∴∠CEO=∠OBC=90°，∴CE⊥OE，又∵OE為⊙O的半徑，∴CE為⊙O的切線．【題型6作垂直證明某直線是圓的切線】【例6】如圖，O為正方形ABCD對角線上一點，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的⊙O與CD相切于點M，（1）求證：BC與⊙O相切；（2）若正方形的邊長為1，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）2?【分析】（1）過O作OH⊥BC于H,由正方形ABCD，可得∠ACB=∠ACD=45°,證明OM⊥CD,再證明OM=OH,從而可得結(jié)論；（2）正方形ABCD，可得∠ACB=∠BAC=45°,求解AC=AB2+BC2=【詳解】解：（1）過O作OH⊥BC于H,∵正方形ABCD，∴∠ACB=∠ACD=45°,∵CD是⊙O的切線，∴OM⊥CD,∴OM=OH,∵OM為⊙O的半徑，∴BC與⊙O相切；（2）∵正方形ABCD，∴AB=BC=1,∠B=90°,∠ACB=∠BAC=45°,∴AC=A∵OH⊥BC,設(shè)⊙O的半徑為r,∴∠OHC=∠OCH=45°,∴OH=CH=r,∴OC=r∵OA+OC=AC,∴r+2∴r=【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，圓的切線的判定，勾股定理的應用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，二次根式的運算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式61】如圖，AO是Rt△ABC的角平分線，∠ACB=90°，以點O為圓心，OC為半徑畫圓，過點B作AO的垂線，交AO的延長線于點D．求證：AB是⊙O的切線【答案】證明：過點作OE⊥AB，垂足為點，如圖，∴∠AEO=90°，由作圖知，AC是⊙O的切線，且∠ACB=90°，∴∠AEO=∠ACO=90°，∵AO是∠BAC的角平分線，∴OE=OC，∴AB是⊙O的切線【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，切線的判定有關(guān)知識.過點作OE⊥AB，垂足為點，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得OE=OC，從而可知AB為⊙O的切線(作垂直證相等).【變式62】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）8【分析】（1）過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠B=90°，即AB⊥BC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，從而證得結(jié)論；（2）根據(jù)已知DE=DC和（1）的結(jié)論可知DF⊥AC，AB⊥BC以及半徑DB=DF，得證Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），進而得證EB=FC,再由AB=AF，可知AC=AF+FC=AB+EB=8．【詳解】解：（1）過點D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B=90°，∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD=DF，∴AC與圓D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD=DF，DE=DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB=FC．∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC，∴AC=5+3=8．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)與判定，直角三角形全等的判定與性質(zhì)．【變式63】如圖1，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與□O相切于點D，底BC交⊙O于點E，F(xiàn)．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）如圖2，連接AF，DF，AF交⊙O于點G，點D是弧EG的中點，若AD=2，AF=4，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑為2.5．【分析】（1）連接OA，OD，過O作OH⊥AC于點H，根據(jù)三線合一可得∠BAO=∠CAO，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OH=OD，然后根據(jù)切線的判定定理即可證出結(jié)論；（2）連接OD，過D作DK⊥BC于點K，根據(jù)平行線的判定證出OD//AF，證出AF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得AD=DK=2，然后利用HL證出Rt△ADF?Rt△KDF，從而得出FK=AF=4，設(shè)⊙O的半徑為【詳解】（1）證明：如圖，連接OA，OD，過O作OH⊥AC于點H．∵AB=AC，O是底邊BC的中點，∴∠BAO=∠CAO，∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，∴OH=OD．∴AC是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接OD，過D作DK⊥BC于點K．∵點D是EG的中點，∴∠AFD=∠DFK=∠ODF，∴OD∴AF⊥AB，∴AD=DK=2在Rt△ADF和Rt△KDF中，AD=DK∴Rt△ADF?Rt△KDF∴FK=AF=4設(shè)⊙O的半徑為x由勾股定理得：DK2＋OK2=OD2即22解得：x=2.5．∴□O的半徑為2.5．【點睛】此題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．【題型7切線性質(zhì)的應用】【例7】（2425九年級上·江西新余·階段練習）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點為B．將△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，使點O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO【答案】85【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA=90°，連接OO′，如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A=∠A′=25°，∠ABA′=∠OBO′，【詳解】解：∵⊙O與△OAB的邊AB相切，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°，連接OO∵△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O∴∠A=∠A∵OB=OO∴△OO∴∠OBO∴∠ABA∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°．故答案為：85．【變式71】（2025·湖南·中考真題）如圖，△ABC的頂點A，C在⊙O上，圓心O在邊AB上，∠ACB=120°，BC與⊙O相切于點C，連接OC．(1)求∠ACO的度數(shù)；(2)求證：AC=BC．【答案】(1)30°(2)見解析【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由切線的性質(zhì)得到∠OCB=90°，據(jù)此根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案；（2）由等邊對等角得到∠OAC=∠ACO=30°，再由三角形內(nèi)角和定理可得∠B=30°，則可證明∠A=∠B，進而可證明AC=BC．【詳解】（1）解：∵BC與⊙O相切與點C，∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，∵∠ACB=120°，∴∠ACO=∠ACB?∠OCB=120°?90°=30°;（2）證明：∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO=30°，∵∠ACB=120°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠B=30°，∴∠A=∠B，∴AC=BC．【變式72】（2025·重慶·二模）如圖，在△ABC中，AC=BC，⊙O經(jīng)過點C且與AB相切于點B，交AC于點D，連接BD，OC，OD．若∠ABD=40°，則A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊對等角．利用切線的性質(zhì)求得∠ABO=90°，求得∠OBD=50°，利用等邊對等角求得∠ODB=50°，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BOD=80°，利用圓周角定理求得∠BCD=40°，再利用等邊對等角和圓周角定理即可求解．【詳解】解：連接OB，∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB即∠ABO=90°，∵∠ABD=40°，∴∠OBD=50°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=50°，∴∠BOD=180°?50°?50°=80°，∵BD=∴∠BCD=1∵AC=BC，∴∠A=∠CBA=1∴∠CBD=70°?∠ABD=30°，∵CD=∴∠COD=2∠CBD=60°，故選：C．【變式73】（2425九年級上·湖北宜昌·期末）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O與BC，AC分別交于點D，E，AF與過E點的切線EF垂直，垂足為(1)求證：AC平分∠BAF；(2)當BC=AC時，求證：CD=CE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）利用切線的性質(zhì)求得∠OEF=90°，利用平行線的性質(zhì)求得∠FAE=∠AEO，再等邊對等角即可得到∠FAE=∠OAE，即可得到AC平分∠BAF；（2）證明∠AOE=∠BOD，推出BD=AE，即可證明CD=CE．【詳解】（1）證明：連接OE，∵EF為⊙O的切線，∴OE⊥EF，∴∠OEF=90°，又∵AF⊥EF，∴∠AFE=90°，∴∠OEF=∠AFE=90°，∴AF∥∴∠FAE=∠AEO，又∵OE=OA，∴∠OAE=∠AEO，∴∠FAE=∠OAE，即AC平分∠BAF；（2）證明：連接OD，∵BC=AC，∴∠OAE=∠ABC，∵OA=OE=OB=OD，∴∠OEA=∠OAE=∠OBD=∠ODB∴∠AOE=∠BOD，∴BD=AE，∴CD=CE．【題型8切線的判定和性質(zhì)的綜合應用】【例8】（2425九年級上·江西南昌·期末）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，過點B作BC∥OA交⊙O于點C，連接OC，請僅用無刻度的直尺，按下列要求畫圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖1中作∠C的平分線CD；(2)在圖2中作⊙O的切線AE（切點E不與B重合）．【答案】(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解【分析】（1）如圖所示，設(shè)⊙O與OA交于點D，連接CD，根據(jù)等邊對等角，平行線的性質(zhì)即可求解；（2）如圖所示，延長CO交⊙O于點E，連接AE,OB，可證△AOE≌△AOBSAS，得到∠AEO=∠ABO【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)⊙O與OA交于點D，連接CD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∵BC∥OA，∴∠ODC=∠BCD，∴∠OCD=∠BCD，∴CD是∠BCO的角平分線，∴CD即為所求作作圖；（2）解：如圖所示，延長CO交⊙O于點E，連接AE,OB，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵BC∥OA，∴∠EOA=∠OCB,∠AOB=∠OBC，∴∠EOA=∠BOA，在△AOE和△AOB中，OE=OB∠EOA=∠BOA∴△AOE≌△AOBSAS∴∠AEO=∠ABO，∵AB是⊙O的切線，B為切點，∴∠ABO=90°，∴∠AEO=90°，且OE是半徑，點E是半徑外端點，∴AE是⊙O的切線，即AE是所求作圖形．【點睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，等腰三角形的定義，平行線的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式81】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且DC＝AD．過點A作⊙O的切線，過點C作DA的平行線，兩直線交于點F，F(xiàn)C的延長線交AB的延長線于點G．(1)求證：FG與⊙O相切；(2)連接EF，若AF＝2，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)EF=【分析】（1）連接OC，AC．先證明△ACD為等邊三角形．可得∠ACO=∠OAC=30°．再由FG∥DA，可得∠ACF=∠DAC=60°．從而得到∠OCF=90°．即可求證；（2）根據(jù)AD∥FG，可得∠AGF=∠DAE=30°．再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得FG=2AF=4，AG=FG2?AF2=23．再證得△【詳解】（1）證明：連接OC，AC．∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC．∵DC=AD，∴DC=AD=AC．∴△ACD為等邊三角形．∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．∴∠AOC=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=30°．∵FG∥DA，∴∠ACF=∠DAC=60°．∴∠OCF=90°．∴OC⊥FG．∵OC為半徑，∴FG與⊙O相切．（2）解∶∵AD∥FG，∴∠AGF=∠DAE=30°．∵AF為⊙O的切線，∴∠FAG=90°，∴FG=2AF=4，∴AG=F在△ADE和△GCE中，∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，∴△ADE≌△GCE．∴AE=GE=3．∴EF=A【點睛】本題主要考查了垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，切線的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式82】已知：如圖，⊙O過正方形ABCD的頂點A,B，且與CD邊相切于點E．點F是BC與⊙O的交點，連接OB，OF，AF，點G是AB延長線上一點，連接FG，且∠G+1(1)求證：FG是⊙O的切線；(2)如果正方形邊長為8，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可得AF是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理可得∠BAF=12∠BOF，再根據(jù)∠G+12（2）如圖所示，連接OE，過O作OH⊥BC于H，可得四邊形OECH是矩形，可求出OH的長，設(shè)OB=OE=CH=r，可用含r的式子表示BH，在Rt△BOH【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABF=90°，∴AF是⊙O的直徑，∵∠BAF=12∠BOF∴∠BAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，即AF⊥FG∴FG是⊙O的切線．（2）解：如圖所示，連接OE，∵⊙O與CD相切于點E，即CD是⊙O的切線，∴OE⊥CD，且OB=OF（圓的半徑相等），過O作OH⊥BC于H，則四邊形OECH是矩形，BH=FH，∴OH=CE,CH=OE，∵AO=OF,AB=8，即O,H分別是AF,BF的中點，∴OH=1設(shè)OB=OE=CH=r，∴BH=BC?OE=8?r，在Rt△BOH∵OB∴r2∴r=5．【點睛】本題主要考查圓與正方形的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，切線的證明和性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．【變式83】如圖，已知D是⊙O上一點，AB是直徑，∠BAD的平分線交⊙O于點E，⊙O的切線BC交OE的延長線于點C，連接OD，CD．(1)求證：CD為⊙O的切線．(2)若AB=2，①若AE∥CD，則②作△AEO關(guān)于直線OE對稱的△FEO，連接BF，BE，當四邊形BEOF是菱形時，求CE的長．【答案】(1)見詳解(2)①3；②CE=1【分析】（1）先由切線的性質(zhì)得到∠OBC=90°，由角平分線的定義得到∠DAE=∠BAE，再由圓周角定理得到∠DOE=2∠DAE，∠BOE=2∠BAE，則∠DOE=∠BOE，證明△ODC≌△OBCSAS得到∠ODC=∠OBC=90°（2）①先證明OD⊥AE，則由垂徑定理可得AD=DE，則∠AOD=∠DOE=∠BOE=60°，進而求出∠BCO=30°，即可得到②如圖所示，由菱形的性質(zhì)可得BE=OE=1，∠EOB=∠EBO，進而證明∠BCE=∠CBE，即可得到CE=BE=1．【詳解】（1）證明：∵BC是⊙O的切線，∴BC⊥OB，∴∠OBC=90°，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAE=∠BAE，又∵∠DOE=2∠DAE，∠BOE=2∠BAE，∴∠DOE=∠BOE，又∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≌△OBCSAS∴∠ODC=∠OBC=90°，又∵D是⊙O上一點，∴CD為⊙O的切線；（2）解：①∵CD∥AE，∴OD⊥AE，∴AD=∴∠AOD=∠DOE=∠BOE，又∵∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，∴∠AOD=∠DOE=∠BOE=60°，∴∠BCO=30°，∴BC=3故答案為：3；②如圖所示：∵四邊形BEOF是菱形，∴BE=OE=1，∠EOB=∠EBO，∵∠EOB+∠BCE=90°，∠EBO+∠CBE=90°，∴∠BCE=∠CBE，∴CE=BE=1．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，等邊對等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知切線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型9求圓平移到與直線相切時圓心經(jīng)過的距離】【例9】如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC=30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在直線AB上，開始時，PO=6cm．如果⊙P以1cm/s的速度向右運動，那么當⊙P的運動時間t(s)滿足條件【答案】4<t<8【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，分當點P在射線OA和點P在射線OB兩種情況進行計算是解題的關(guān)鍵．求得當⊙P位于點O的左邊與CD相切時t的值和⊙P位于點O的右邊與CD相切時t的值，兩值之間即為相交．【詳解】解：當點P在射線OA時，⊙P與CD相切，如圖，過P作PE⊥CD于E，∴PE=1cm∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了6?2cm后與CD∴⊙P移動所用的時間=6?2當點P在射線OB時，⊙P與CD相切，如圖，過P作PE⊥CD與F，∴PF=1cm∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動了6+2cm后與CD∴⊙P移動所用的時間=6+2∴當⊙P的運動時間t（s）滿足條件4<t<8時，⊙P與直線CD故答案為：4<t<8．【變式91】（2425九年級上·四川南充·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為?3,0，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（

A．1 B．1或5 C．3 D．3或5【答案】B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．分兩種情況討論：⊙P位于y軸左側(cè)和⊙P位于y軸右側(cè)，根據(jù)平移的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【詳解】解：⊙P的圓心P的坐標為(?3,0)，∴OP=3，∵⊙P的半徑為2，∴AP=BP=2，∴OA=1，OB=5，∴當⊙P位于y軸左側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為1，當⊙P位于y軸右側(cè)且與y軸相切時，平移的距離為5，∴平移的距離為1或5，故選：B．【變式92】如圖，RtΔACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，半徑為1的⊙O與AC，BC相切，當⊙O沿邊CB平移至與AB相切時，則⊙O平移的距離為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】連接OA，OB，OC，設(shè)此時點O到AC的距離為h，根據(jù)S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出S△AOC，即可求出h，即可得到答案．【詳解】當⊙O與AB，BC相切時，如圖，連結(jié)OA，OB，OC，

設(shè)此時點O到AC的距離為h，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，∴AB=AC∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，∴12AC·BC=S△AOC+1∴12×6×8=S△AOC+1∴S△AOC=249=15=12AC·h=1∴h=5，∴⊙O的平移距離為51=4，故選：B．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，掌握知識點是解題關(guān)鍵．【變式93】如圖，在邊長為6cm的菱形ABCD中，∠BAD=60