緒論二重積分是高等數(shù)學課程的重要內(nèi)容之一，是“考研”數(shù)學二真題中?？嫉膬?nèi)容，有時是以填空題或選擇題形式出現(xiàn)在真題中，有時是以綜合類的大題出現(xiàn)在真題中?？佳兄嘘P(guān)于二重積分的題目主要考察二重積分的定義，二重積分的性質(zhì)，二重積分的計算，偶爾會考察二重積分的應(yīng)用。本文將圍繞歷年考研數(shù)學二考試大綱中的二重積分問題對二重積分真題進行解答和分析，針對不同的二重積分題型，總結(jié)出不同的解法。隨著近年來全國考研人數(shù)的增加，考研的競爭力越來愈大，抓住考研題的每一分都是能否考上研究生的關(guān)鍵，二重積分問題在考研數(shù)學二中屬于中等難度題目，所以對于考研題中出現(xiàn)的二重積分問題盡量不使自己出錯。而通過對考研數(shù)學二中的二重積分的相關(guān)問題的分析和總結(jié)，能夠使學生更加清晰明了的理解二重積分問題，使學生用合理的方法解決不同的二重積分問題，對做二重積分相關(guān)問題有著巨大的幫助，同時能夠提高學生的邏輯思維能力。2011年，青島理工大學琴島學院的孫衛(wèi)衛(wèi)、杜美華在科技信息發(fā)表了《二重積分的計算方法》，主要概括了如何將二重積分化為二次積分，并對一些特殊類型的二重積分的解題技巧進行了總結(jié)，見文獻[1]；2011年，趙赫在衡水學院學報上發(fā)表了《幾種特殊類型二重積分的計算技巧》,見文獻[2]；2011年，曹毅在江蘇技術(shù)師范學院學報上發(fā)表了《簡化二重積分的方法》,見文獻[3]；2012年，袁榮在數(shù)學學習與研究發(fā)表了《利用極坐標計算二重積分的方法和技巧》,見文獻[4]；2015年，潘偉等人在牡丹江師范學院學報上發(fā)表了《二重積分計算技巧研究》主要以研究生考試試題為例，總結(jié)并拓展二重積分的計算技巧，為進一步學習奠定基礎(chǔ)，見文獻[5]；2015年，張輝等人在商丘職業(yè)技術(shù)學院學報上發(fā)表了《談二重積分的計算方法》，見文獻[6]；2016年，來阿龍在農(nóng)村經(jīng)濟與科技上發(fā)表了《二重積分的幾種計算方式》，本文主要是利用二重積分某些特殊性質(zhì)及定理總結(jié)出幾條比較簡單的方法，使一些題目在求解的過程中更加簡單明了，見文獻[7]；2016年，馬艷麗等人在玉溪師范學院學報上發(fā)表了《關(guān)于二重積分計算法的補充》,見文獻[8]；2017年，黃治文在數(shù)學學習與研究上發(fā)表了《二重積分的計算與應(yīng)用》，見文獻[9]；2018年，白亞旭等人在佳木斯大學學報上發(fā)表了《二重積分簡便運算的證明》，見文獻[10]；2018年，劉紅梅在普洱學院學報上發(fā)表了《二重積分計算巧用對稱性簡化求解》，通過系列的證明以及推導指出二重積分在區(qū)域?qū)ΨQ以及函數(shù)奇偶下具有簡化二重積分的性質(zhì)，并通過具體的實例進行求解進一步證明，巧妙利用二重積分的對稱性質(zhì)能極大地簡化二重積分問題，提高求解效率，見文獻[11]；2019年，鄭劍平在赤峰學院學報上發(fā)表了《計算二重積分的幾種簡便方法》，在二重積分的計算中，常用的方法是利用直角坐標或極坐標把二重積分化成二次積分計算，但對于某些二重積分可以利用二重積分的對稱性、兩個定積分相乘、二重積分的分布積分公式等簡便方法計算，詳見文獻[12]；2019年雍龍泉在湖北工程學院學報上發(fā)表了《直角坐標系下二重積分的計算方法研究》，見文獻[13]。本文主要基于二重積分的理論知識，對“考研”數(shù)學二真題中二重積分的定義，二重積分的性質(zhì)，二重積分的計算問題進行梳理并歸類解析。通過對歷年真題中有關(guān)于二重積分問題的解答和分析，對二重積分相關(guān)真題的考察方式做出總結(jié)，希望對于理工生在研究生入學考試中在二重積分的問題上不丟分，考取滿意的分數(shù)，邁進理想的學校。第二章二重積分的定義與性質(zhì)相關(guān)真題解析2.1預備知識定義2.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域?σ1,?σ2,···,?在每個?σi上任取一點(ξi,ηi)，作乘積(f(ξi,ηi)?σii=1,2,···,n)，并作和i=1nf(ξ性質(zhì)2.1設(shè)α與β為常數(shù)，則D性質(zhì)2.2若閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分之和.性質(zhì)2.3若在D上，f(x,y)=1，S為D的面積，則S=性質(zhì)2.4若在D上，f(x,y)≤D特別地，又由于?故D性質(zhì)2.5設(shè)M和m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有mσ2.2真題解析例2.1（2010年考研數(shù)學二第(6)題）limn→∞AC分析：二重積分的定義是由計算曲頂柱體的體積引入的，采用了“劃分、取近似、求和、取極限”的經(jīng)典四大步來完成的。本題主要考察利用二重積分的定義求極限。要求學生在理解二重積分構(gòu)造步驟的基礎(chǔ)上采用逆向的思維，仔細觀察題目也不難發(fā)現(xiàn)，就是將本題化成一個二次積分，與定積分求和式極限的方法完全一樣。解：考慮將原極限寫成二重積分.令?σij=i?1n,in×[j?1n,jn由于i=1n故原極限==應(yīng)選D.例2.2（2013年考研數(shù)學二第(6)題）設(shè)Dk是圓域D={x,y|x2(A)I1>0.BI2分析：本題主要考察了二重積分的性質(zhì).若被積函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)非負且恒不等于零，則相應(yīng)的二重積分大于零。解：由于在第一象限內(nèi)x>0,y>0,第二象限內(nèi)x<0,y>0,第三象限內(nèi)x<0,y<0,第四象限內(nèi)x>0,y<0,故被積函數(shù)y?x在第二象限內(nèi)恒大于零，從而D例2.3（2019年考研數(shù)學二第(5)題）已知平面區(qū)域D={(x,y)|x+|y|≤π2}，I1AC分析：本題主要考察了二重積分的比較大小.本題中所給二重積分的積分區(qū)域相同，所以要比較它們的大小，可以比較相應(yīng)的被積函數(shù)的大小。解：區(qū)域D由四條直線圍成:x±y=π2,x±y=?π2.該區(qū)域包含于圓心在原點，半徑為π2的圓盤區(qū)域{(x,y)|令u=x2+y2.由于在0,π考慮1?cosu和sinu的大小關(guān)系.令fu=sinu+cosu?1,則f'u=cosu?sinu.當0<u<π4時,f'u>0,f(u)單調(diào)增加;當π4<u<π2時,f'u<0,因此，對區(qū)域D內(nèi)的點，均有Dsinx綜上所述，I3<I小結(jié)：二重積分的定義和性質(zhì)是“考研”數(shù)學二真題中出題頻率相對來說不是特別高的一種題型，一般是隔幾年考察一次，考察的形式主要是選擇題。只要熟練掌握二重積分的定義和性質(zhì)，并且能夠做到靈活運用，解決這類問題還是非常容易的。第三章二重積分的計算相關(guān)真題解析3.1預備知識1.在直角坐標系下計算二重積分(1)將二重積分化為先對y，再對x的二次積分設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式φ來表示，其中函數(shù)φ1x,φ2x在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，我們將這種類型的區(qū)域為X型區(qū)域.這種區(qū)域的邊界可以用x=a,x=b以及此時D或者也可以寫成D(2)將二重積分化為先對x，再對y的二次積分設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式ψ來表示，其中函數(shù)ψ1y,ψ2y在區(qū)間[c,d]上連續(xù)，我們將這種類型的區(qū)域為Y型區(qū)域.這種區(qū)域的邊界可以用y=c,y=d以及此時D或者也可以寫成D2.在極坐標系下計算二重積分點M在直角坐標(x,y)與極坐標(r,θ)的關(guān)系為x=rcosθ,若在極坐標系下計算二重積分，則有公式D其中rdrdθ為極坐標系中的面積元素，有時也采用ρdρdθ這種記號.3.2真題解析例3.1（2010年考研數(shù)學二第(20)題）計算二重積分I=其中D=分析：本題主要考察了二重積分的計算以及極坐標系與直角坐標系的轉(zhuǎn)化.本題中的二重積分是在極坐標系下給出的，但稍做分析就會發(fā)現(xiàn)它的直角坐標系下的區(qū)域表示比較簡單，被積函數(shù)的表達式也比較簡單，所以應(yīng)該選擇在直角坐標系下進行計算.解：在極坐標系下，積分區(qū)域D=r,θ由0≤r≤secθ得，0≤rcosθ≤1.又由于0≤θ≤π4，故可知在直角坐標系下，D為由x=1,y=x以及x軸圍成的三角形區(qū)域.將D寫成D=由x=rcosθ,y=rsinθ.可將rr因此，I===例3.2（2013年考研數(shù)學二第(17)題）設(shè)平面區(qū)域D由直線x=3y,y=3x及x+y=8圍成，計算D分析：本題主要考察的是二重積分的計算，本題中的二重積分，既可以考慮在直角坐標系下計算，也可以考慮在極坐標系下計算，所以本題中給出了兩種方法。解：（法一）在直角坐標系下計算.可以分別求處y=3x與x+y=8的交點，以及x=3y與x+y=8的交點.y=3x,于是直線x=2將區(qū)域D分為兩個部分DDD=（法二）在極坐標系下計算.三條直線的方程分別為θ=arctan13,θD=D==例3.3(2017年考研數(shù)學二第(20)題)已知平面區(qū)域D={(x,y)|x分析：本題主要考察了二重積分的計算，在本題中的積分區(qū)域關(guān)于y軸對稱，因此在計算的過程中，應(yīng)該注意利用對稱性來簡化計算。解：積分區(qū)域D是圓心在點0,1，半徑為1的圓盤，關(guān)于y軸對稱，面積為π.令D'為D展開被積函數(shù)(x+1)2,得(x+1)2=x2+2x+1.由于xD在極坐標系下計算D'D'因此，D例3.4(2018年考研數(shù)學二第(17)題)設(shè)平面區(qū)域D由曲線x=t?sint,y=1?cost,0≤t≤2π與x分析：本題中的區(qū)域D由擺線的一拱與x軸圍成，而擺線方程以參數(shù)方程的形式給出，所以在計算二重積分的時候，應(yīng)該注意積分區(qū)域的寫法和參數(shù)方程的利用.解：把區(qū)域D看成X型區(qū)域，t=0對應(yīng)的點為0,0,t=π對應(yīng)的點為π,2,t=2πD=分別計算D2ydxdyD=32×下面來計算DD=由于(s+sins)(1+cos?π所以，D例3.5(2019年考研數(shù)學二第(18)題)已知平面區(qū)域D={(x,y)|x≤y,分析：本題中的區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，所以可以利用對稱性將所求的二重積分化簡，根據(jù)被積函數(shù)的特點，應(yīng)該選擇在極坐標系下計算二重積分.解:區(qū)域D由直線y=x,y=?x,以及曲線(x2+y2)3≤y4圍成.由區(qū)域D的表達式可知，區(qū)域由于fx,y=x為關(guān)于x的奇函數(shù)，gx,yD在極坐標系下計算D寫出區(qū)域D1邊界曲線y=x的極坐標表示為θ=π4，y軸的極坐標表示為θ=π2，(xDD==?==原積分=2小結(jié)：二重積分的計算是是“考研”數(shù)學二中的重點，每年的考試中必定會出現(xiàn)關(guān)于二重積分計算的題目，一般都是在解答題中出現(xiàn)，滿分11分，占比比較重。在二重積分的計算題目中，大部分都是對直角坐標系下給出的二重積分作極坐標變化來化簡計算，但是有時候給出的題目中，直接在極坐標系下計算二重積分比較困難，然而在直角坐標系下計算比較簡單。這就提醒我們，在解題的過程中，切忌養(yǎng)成“思維定勢”，要學會針對具體問題具體分析。總之，只要掌握好在直角坐標系下和在極坐標系下計算二重積分這兩種方法，那么在二重積分的計算中拿到滿分還是很簡單的。最后二重積分的計算有以下四個方面需要注意：=1\*GB3①對稱性的利用、=2\*GB3②坐標系的選區(qū)、=3\*GB3③改變積分次序、=4\*GB3④區(qū)域分塊.第四章結(jié)論與展望本文主要研究了“考研”數(shù)學二真題中二重積分相關(guān)問題,首先給出了二重積分的定義和性質(zhì)、二重積分的計算方法，解決考研真題中出現(xiàn)的有關(guān)于二重積分的問題，對考研真題中的典型題型進行了解答和分析，并對此類型問題的解決方法進行了總結(jié)，通過解決考研真題中有關(guān)二重積分的問題，對此類問題進行了解析，最后給出了有關(guān)二重積分的定義和性質(zhì)，二重積分的計算相關(guān)問題解析。對歷年的真題整理發(fā)現(xiàn)，2010年第6題，2013年第6題，2019年第5題考察了二重積分的概念與性質(zhì)；2015年第6題，2017年第13題，2018年第6題考察了二次積分與交換積分次序；2010年第20題，2011年第13題，2011年第21題，2012年第6題，2012年第18題，2013年第17題，2014年第17題，2015年第18題，2016年第18題，2017年第20題，2018年第17題，2019年第18題考察了二重積分的計算；2013年第21題考察了二重積分的應(yīng)用。由此可見，對于二重積分相關(guān)題目，二重積分的計算是重中之重，所以一定要在二重積分的計算上下功夫，多做題，多總結(jié)，保證在二重積分這里不丟分。希望本文梳理的結(jié)果能對理工科考研的學生提供借鑒。事實上“考研”數(shù)學一、數(shù)學三真題中二重積分相關(guān)問題還有很多，今后可對“考研”數(shù)學一、數(shù)學二、數(shù)學三真題中二重積分問題做通盤對比梳理和思考。參考文獻[1]孫衛(wèi)衛(wèi),杜美華.二重積分的計算方法[J].科技信息,2011(21):142-143.[2]趙赫.幾種特殊類型二重積分的計算技巧[J].衡水學院學報,2011,13(04):10-12.[3]曹毅.簡化二重積分的方法[J].江蘇技術(shù)師范學院學報,2011,17(10):58-61.[4]袁榮.利用極坐標計算二重積分的方法和技巧[J].數(shù)學學習與研究,2012(01):60-61.[5]潘偉,趙立陽,張笑笑,許曉蕾,薛博,孫楚怡.二重積分計算技巧研究[J].牡丹江師范學院學報(自然科學版),2015(01):8-10.[6]張輝,李應(yīng)岐,敬斌,吳聰偉.談二重積分的計算方法[J].商丘職業(yè)技術(shù)學院學報,2015,14(02):5-7.[7]來阿龍.二重積分的幾種計算方式[J].農(nóng)村經(jīng)濟與科技,2016,27(04):128-129.[8]馬艷麗,丁健,李海霞.關(guān)于二重積分計算法的補充[J].玉溪師范學院學報,2016,32(04):16-20.[9]黃冶文.二