專題7.6空間向量的應(yīng)用（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1平行關(guān)系的向量證明】 4【題型2垂直關(guān)系的向量證明】 5【題型3異面直線夾角的向量求法】 7【題型4線面角的向量求法】 8【題型5面面角的向量求法】 10【題型6點到直線距離、異面直線距離的向量求法】 11【題型7點面距離、面面距離的向量求法】 12【題型8軌跡問題的向量求法】 14【題型9探索性問題的向量求法】 151、空間向量的應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理(2)能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用(3)會求空間中點到直線以及點到平面的距離(4)以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件2023年新高考I卷：第18題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第20題，12分2024年新高考I卷：第17題，15分2024年新高考Ⅱ卷：第17題，15分2025年全國一卷：第9題，6分、第17題，15分2025年全國二卷：第17題，15分2025年北京卷：第17題，14分2025年天津卷：第17題，15分空間向量的應(yīng)用是高考的重點、熱點內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，空間向量解立體幾何一般以解答題形式為主，每年必考，難度中等偏難，第一小問一般考查空間線、面位置關(guān)系的證明；空間角與點、線、面距離問題通常在解答題的第二小問考查；有時在選擇題、多選題中也會涉及，難度一般.近年命題趨勢更注重動態(tài)幾何問題和向量法的綜合應(yīng)用，如通過翻折情境分析空間角的變化，需靈活求解；備考時需強化坐標系建立技巧、法向量求解步驟及空間角公式的熟練應(yīng)用，同時注重向量運算的嚴謹性，避免因計算失誤失分.知識點1空間位置關(guān)系的向量表示1．直線的方向向量直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，那么稱此向量a為直線l的方向向量.2．平面的法向量平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則稱向量a為平面α的法向量.知識點2用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系1．空間中直線、平面的平行(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明．知識點3用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系1．空間中直線、平面的垂直(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.2．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點4用向量法求空間角1．用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；2．向量法求直線與平面所成角的主要方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.3．向量法求二面角的解題思路:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.知識點5用空間向量研究距離問題1．距離問題2．向量法求點到直線距離的步驟：(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.(2)在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量MN.3．求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離.(2)轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面α的距離來求.(3)等體積法.【方法技巧與總結(jié)】【題型1平行關(guān)系的向量證明】【例1】（2425高二下·四川南充·階段練習）如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1,M在EF上且AM//平面BDE，則M點的坐標為（

）

A．1,1,1 B．22,22,1 【變式11】（2425高二上·江西·階段練習）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1，當A．1 B．2 C．3 D．5【變式12】（2025·陜西安康·模擬預測）如圖，已知多面體是由正四棱錐PABCD與正方體ABCD?A1B

(1)求證：PC//平面ADC(2)若AB=3，求四棱錐P?ADC【變式13】（2025·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐A?BCD中，△ABC和△BCD都是正三角形，E是BC的中點，點F滿足DF=λ(1)求證：平面ABC⊥平面ADF；(2)若AD=BC=23，且BF∥【題型2垂直關(guān)系的向量證明】【例2】（2425高三下·陜西安康·階段練習）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是線段A．BD⊥AM B．平面A1BD⊥C．MN//平面A1BD D．【變式21】（2425高二上·上海嘉定·期中）在正方體ABCD?A1B1C1DA．存在點Q使得BQ與平面B1CD垂直 B．存在點Q使得DQ與平面C．存在點Q使得B1Q與平面B1CD垂直 D．存在點Q使得【變式22】（2025·陜西咸陽·模擬預測）如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB//CD，且CD=6,AB=12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點P為BC的中點，點E在線段AB上（不同于

(1)證明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求三棱錐P?ABQ的體積．【變式23】（2025·新疆·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60(1)求證：AC⊥PB；(2)若AB=2，當平面PAB⊥平面PBC時，求PD的長.【題型3異面直線夾角的向量求法】【例3】（2025·浙江·二模）正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M,N分別為正方形A1A．0 B．34 C．12 【變式31】（2025·安徽合肥·模擬預測）中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上?下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為2，AA1、BB1、CC1、DD1均與曲池的底面ABCD垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為A．45 B．35 C．1010【變式32】（2025·江蘇蘇州·三模）如圖，正四棱錐S?ABCD，SA=2，AB=2，P為側(cè)棱SD上的點，且SP(1)求證：AC⊥SD；(2)求異面直線SA與CP所成角的余弦值．【變式33】（2025·河南新鄉(xiāng)·二模）《九章算術(shù)·商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體ABCD中，CD⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=4，BC=CD=3，AE=(1)證明：四面體ABCD為鱉臑；(2)若直線MN⊥平面ABD，求直線BE與MN所成角的余弦值.【題型4線面角的向量求法】【例4】（2024·青海西寧·模擬預測）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=32AA1，D為線段BC的中點，點EA．16 B．26 C．36【變式41】（2024·四川攀枝花·一模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；鱉臑指的是四個面均為直角三角形的三棱錐如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，∠ACB=90°，若AC=BC=1，AA．31010 B．1010 C．1【變式42】（2025·全國·模擬預測）由四棱柱ABCD?A1B1C1D1截去三棱錐D1?A1D(1)求證：B1O//平面(2)若B1O=23，求A【變式43】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預測）如圖，在三棱臺ABC?A1B1C1中，平面AA1C(1)證明：A1(2)求直線BB1與平面【題型5面面角的向量求法】【例5】（2025高三·全國·專題練習）如圖，將菱形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E,F分別為AD,BC的中點，O是AC的中點，∠ABC=2π3，則折后二面角E?OF?A

A．217 B．?217 C．3【變式51】（2024·江西宜春·模擬預測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，平面α經(jīng)過點B,D，平面β經(jīng)過點A,DA．12 B．33 C．63【變式52】（2025·湖南湘潭·一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD,△PAD為正三角形，E，F(xiàn)分別是棱AD，DC的中點，點G在側(cè)棱PD上，且PG:GD=3:1．(1)求證：PB∥平面EFG；(2)若PB⊥BC，求二面角F?EG?D的余弦值．【變式53】（2025·河北秦皇島·模擬預測）如圖①，在梯形ABCD中，BC∥AD,∠ABC=∠DCB=60°,BA=AD=DC,M為線段BC的中點，將△BAM沿AM折起至△B(1)若B′D=AD，證明：(2)若二面角B′?AM?D的大小為120°，求平面DA【題型6點到直線距離、異面直線距離的向量求法】【例6】（2025·四川·二模）已知空間中向量AB=（0，1，0），向量AC的單位向量為（?33，33，?A．33 B．63 C．23【變式61】（2425高二下·甘肅平?jīng)觥て谥校┱睦忮FS?ABCD中，O為頂點S在底面ABCD內(nèi)的正投影，P為側(cè)棱SD的中點，且SO=OD=2，則異面直線PC與BD的距離為（

A．1010 B．105 C．510【變式62】（2425高二上·遼寧大連·期末）三棱臺ABC?A1B1C1中，AB=2A1B1,AB⊥BC,AC⊥BB1

(1)證明：DE∥平面A(2)求異面直線A1C1【變式63】（2025·廣東·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，△PAB為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，M為PD的中點．

(1)求點P到直線BM的距離；(2)求平面PAC與平面PAD的夾角的余弦值．【題型7點面距離、面面距離的向量求法】【例7】（2025·江西萍鄉(xiāng)·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，E為CD的中點，沿AE將△DAE翻折至△PAE的位置得到四棱錐P?ABCE，且PB=2.若F為棱PB的中點，則點F到平面PCE的距離為（

）A．32 B．1510 C．1515【變式71】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，AD，B1A．13 B．23 C．12【變式72】（2025·湖南長沙·模擬預測）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面PCD，PA⊥AD，PA=AD=2，點E為線段PD的中點，點F為線段PC上的動點（不含端點）.(1)證明：平面AEF⊥平面PCD；(2)若平面AEF與平面PBC的夾角為π4，求點P到平面AEF【變式73】（2425高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）如圖所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC=90°,BC=2,CC1=4，點E在線段BB1(1)求證：B1D⊥平面(2)求證：平面EGF//平面ABD；(3)求平面EGF與平面ABD的距離．【題型8軌跡問題的向量求法】【例8】（2024·四川成都·三模）在棱長為5的正方體ABCD?A1B1C1D1中，Q是DDA．5π B．25π C．5【變式81】（2025·北京·二模）設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，P為正方體表面上一點，且點P到直線AA1的距離與它到平面A．32 B．22+π C．【變式82】（2025·浙江嘉興·二模）如圖，已知AD//BC//FE，平面ABF⊥平面ADEF，AB⊥AF，AF⊥AD，AD=2BC=2EF=2AF=2，點P為梯形ADEF內(nèi)（包括邊界）一個動點，且(1)求點P的軌跡長度；(2)當線段BP最短時，直線BP與平面BCEF所成角θ的正弦值為36，求三棱錐P?CDE【變式83】（2025·江蘇·三模）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點(1)證明：AD⊥平面BB(2)若AB=AC=22,AB⊥AC，二面角C?AC①求AC與平面ADC②點E在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，且三棱錐E?ADC【題型9探索性問題的向量求法】【例9】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=π(1)設(shè)線段BE中點為F，證明：CF∥平面ADE(2)在線段AB上是否存在點M，使得點B到平面CEM的距離等于22，如果存在，求MB【變式91】（2025·江西景德鎮(zhèn)·模擬預測）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)證明：AC⊥平面BCC(2)若AC=BC，在線段EC1上是否存在點M，使平面AMA1與平面AME夾角的余弦值為【變式92】（2025·貴州遵義·模擬預測）在多面體ABCDMN中，已知四邊形ABNM是邊長為2的正方形，AB=AD=12BC，AD//BC，AB⊥AD，平面ABNM⊥平面ABCD(1)若平面ANH∩平面MNC=l，求證：MC//(2)在線段NC上是否存在一點P，使得平面PAH⊥平面NAH？若存在，求PNNC【變式93】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，D=60°,DC=2AD=2，將△ADC沿AC折起，使點D到達點P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐P?ABC，如圖2．(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為58，若存在，求出|PM|一、單選題1．（2024·寧夏吳忠·一模）已知平面α=P∣n?P0P=0，其中點PA．1,2,3 B．?2,4,5 C．?3,4,5 D．2,?4,82．（2025·貴州遵義·模擬預測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、A．A1M∥CN C．MN⊥面AA1C1C3．（2025·甘肅白銀·三模）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A．63 B．79 C．594．（2025·甘肅甘南·模擬預測）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，A．255 B．55 C．15．（2025·河南安陽·一模）如圖，在三棱錐S?ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，SC=3，SB=2，SA=1，D為線段SC上靠近C的三等分點，點E為△ABC的重心，則點E到直線BD的距離為（

）A．36 B．66 C．336．（2025·北京順義·一模）六氟化硫是一種無機化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學式為SF6，在其分子結(jié)構(gòu)中，硫原子位于中心，六個氟原子均勻分布在其周圍，形成一個八面體的結(jié)構(gòu).如圖所示，該分子結(jié)構(gòu)可看作正八面體，記為P?ABCD?Q，各棱長均相等，則平面PAB與平面QAB夾角的余弦值是（A．22 B．23 C．127．（2025·黑龍江·一模）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E為棱DD1的中點，點A．BD1B．AC．直線B1E與平面CDD．三棱錐P?ACD18．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）已知四面體ABCD中，AB,BC,BD兩兩垂直，BC=BD=2,AB與平面ACD所成角的正切值為12，則點B到平面ACDA．32 B．233 C．5二、多選題9．（2025·山東濰坊·二模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、A．EF與BC異面 B．EF//平面C．EF⊥AC D．BD⊥平面EF10．（2025·河北秦皇島·模擬預測）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1DA．OB//平面B．OB⊥C．直線BC1與CD．直線BC與平面ACD111．（2025·山西·三模）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，A．BB．平面A1EF與側(cè)面AC．點C到平面A1EFD．B1D與平面A三、填空題12．（2025·黑龍江哈爾濱·三模）直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=2,AA1=3,∠ABC=13．（2025·湖南·三模）如圖，在直三棱柱AB