第62講：統(tǒng)計案例與線性回歸分析

一、課程標準

1、會作兩個有關聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點圖，并利用散點圖認識變量間的相關關系.

2、了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.

3、了解獨立性檢驗的基本思想、方法及其簡單應用，能通過計算判斷兩個變量的相關程度.

二、基礎知識回顧

1.變量間的相關關系

(1)常見的兩變晟之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是相關關系；與函數(shù)關系不同，相關關系

是一種非確定性關系.闌體現(xiàn)的不一定是因果關系

(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系稱為正相關；點散布

在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系為負相關.

2.兩個變量的線性相關

(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間

具有線性相關關系，這條直線叫做回歸宜?線.

(2)1可歸方程為H=yx+aA，其中其中aA，B是待定參數(shù)，錯誤!(yLbxi-a)2的最小值而得到回歸直線

的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法.

(4)相關系數(shù)：

當r>0時，表明兩個變量正J眩；當rVO時，表明兩個變量負相關.

I?的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強.r的絕對值越接近于。，表明兩個變量之間幾乎

不存在線性相關關系.通常卜|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關性.

3.獨立性檢驗

⑴2X2列聯(lián)表

(2)獨立性檢驗

n(nd—he)2

利用隨機變量K2(也可表示為片)的觀測值k=(a+b)91c)(b+d)(其中n=a+b+

c+d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗.

常用結論

(I)求解回歸方程的關鍵是確定回歸系數(shù)心，bA，應充分利用歸I歸直線過樣本中心點(X-，丫一).

(2)根據(jù)Y的值可以判斷兩個分類變最有關的可信程度，若K?越大，則兩分類變最有關的把握越大.

(3)根據(jù)回歸方程計算的b人值，僅是一個預報值，不是真實發(fā)生的值.

三、自主熱身、歸納總結

1、根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)

X345678

y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0

得到的回歸方程為y=bx+a，則()

A.a>()，b>()B.aX)，b<()

C.a<0?b>0D.a<0，b<0

2、為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:

收入x(萬元)8.28.610.011.311.9

支出y(萬元)6.27.58.08.59.8

根據(jù)卜表可得回歸直線方程y=hx+a，其中b=0.76*a=y---hx—.據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15

萬元家庭的年支出為()

4.11.4萬元4.11.8萬元

C.12.0萬元D12.2萬元

3、己知x,y的取值如下表，從散點圖可以看出y與x具有線性相關關系，且回歸方程為y/\=0.95x+a八，

則aA=________

X0134

y2.2434.86.7

5、為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2X2列聯(lián)表:

理科文科

男1310

女720

已知P(K223.841)弋0.05,P(IC25.024)=0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2的觀測值1<=

年胃,4.844.則認為選修文科與性別有關系出錯的可能性為.

X乙3'八//入ZX）入3U

四、例題選講

考點一線性回歸方程

例1、已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)元=3,y=3.5,則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線

性回歸方程可能是

A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2A

C.?=-2x+9.5D.y=-0.3x+4.4

變式1、有下列數(shù)據(jù):

X-2〃3-

y,3-5.99-12.0產(chǎn)

下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為（

A.y=3x2'TB.y=log,xC.y=3xD.y=x2

變式2、某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費工（單位：千元）對年捎售量）'（單位：

/）和年利潤Z（單位：千元）的影響.對近8年的年宣傳費占和年銷售量x（i=l,2,...8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得

到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

//

62c

5HO

3r>o

口3■

520

5CX).

4f4363k4()4亍AA-4K50525ft,

《I：力傳快/TTC

kiX

有下列5個曲線類型：①了二位+G：②歹=cJ7+d；③y=〃+t/lnx：?y=k[+e；⑤＞二^^十6，

則較適宜作為年銷售量）'關于年宣傳費x的回歸方程的是（）

A.①@B.②③C.②④D.③⑤

變式3、對具有線性相關關系的兩個變量”和丁，測得一組數(shù)據(jù)如卜表所示：根據(jù)表格，利用最小二乘法得到

回歸直線方程為y=10.5x+L5,則小一()

X24568

y20406070in

A.85.5B.80C.85D.90

方法總結：數(shù)據(jù)處理，要求結合散點圖，初步建立線性回歸的直觀感知:

(1)依托數(shù)據(jù)，結合公式準確計算線性回歸方程的相關系數(shù)值；

(2)根據(jù)線性回歸方程，正確使用回歸方程進行估計.

考點二獨立性檢驗

看書運動合計

男82028

女161228

合計243256

例2、在對人們休閑方式的一次調(diào)杳中，根據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的2x2列聯(lián)表：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K?=56x(8x1276x20);4.667,所以我們至少有()的把握判定休閑方式與

28x28x24x32

性別有關系.(參考數(shù)據(jù):P(K2>3.841)?0.05,P(K2>6.635)^0.01)

A.99%B.95%C.1%D.5%

變式1、某研究性學習小組調(diào)杳研究學生使用智能手機對學習的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表

不使用智能手機”

使用智能手機合計

:學刀龍績優(yōu)秀4812

學習成績不優(yōu)秀16■218

合計?201030

(參考公式：K~=------------------------------,其中〃=4+Z?+c+d.)

(〃+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

附表:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

則下列選項正確的是（）

A.芍99.5%的把握認為使用智能手機對學習有影響

B.有99.5%的把握認為使用智能手機對學習無影響

c.有99.9%的把握認為使用智能手機對學習有影響

D.芍99.9%的把握認為使用智能手機對學習無影響

變式2、在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是（）

A.若K?的觀測值為〃=6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99

人患有肺??；

B.從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可.能患有

肺??；

C.若從統(tǒng)計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推判出現(xiàn)錯誤；

D.以上三種說法都不正確.

變式3、為考察某種疫苗預防疾病的效果，進行動物試驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如卜.：

未發(fā)病發(fā)病總計

未注射疫苗20XA

注射疫苗30yB

總計5050100

2

現(xiàn)從所有試驗動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物的概率為

(I)求2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B的值.

(2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖，并判斷疫苗是否影響到了發(fā)病率?

(3)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提卜認為疫苗有效？

n(ad-be)2

附：附=，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表:

P(K2^k0)0.050.010.0050.001

k03.8416.6357.87910.828

方法總結：(1)根據(jù)題意完善2X2列聯(lián)表，再計算觀測值K2，對照臨界值表即可得出結論；

(2)理解右的運算過程以及在實際問題中的統(tǒng)計學意義.

考點二、統(tǒng)計案例與線性回歸分析的綜合

例3、某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在某學院大一年級100名學生中進行了抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)喜歡

甜品的占70%.這100名學生中南方學生共80人。南方學生中有20人不喜歡甜品.(1)完成下列2x2列聯(lián)表：

喜歡甜品不喜歡甜品合計

南方學生

北方學生

合計

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異〃；

(3)已知在被調(diào)查的南方學生中有6名數(shù)學系的學生，其中2名不喜歡甜品；有5名物理系的學生，其中1名

小喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個系的學生中，各隨機抽取2人，記抽出的4人中小喜歡甜品的人數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學期望.

附：*(Q+Z?、)/(c+叱d)(〃*+c)(/?+d)

0.150.1000.0500.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

變式1、【吉林省梅河口市第五中學2017-2018學年高二下學期期末】某中學一名數(shù)學老師對全班50名學生某

次考試成績分男女生進行統(tǒng)計，其中120分(含120分)以上為優(yōu)秀，繪制了如圖所示的兩個頻率分布直方

圖：

男生女生

(1)根據(jù)以上兩個直方圖完成下面的2x2列聯(lián)表:

性別成績優(yōu)秀不優(yōu)秀總計

男生

女生

總計

（2）根據(jù)（1）中表格的數(shù)據(jù)計算，你有多大把握認為學生的數(shù)學成績與性別之間有關系？

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

尸（片居）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

n(ad-bc)~

附：K2其中〃=〃+〃+c+d.

(a+b)(^c+cl)(a+c)(b+d)

變式2、（2020屆山東省德州市高三上期末）某公司為了了解年研發(fā)資金投人量X（單位：億元）對年銷售額

V（單位：億元）的影響.對公司近12年的年研發(fā)資金投入量X：和年銷售額%的數(shù)據(jù)，進行了對比分析，建

立了兩個函數(shù)模型：①y-a+4%2,②y=/x”，其中。、0、義、/均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).并得

到一些統(tǒng)計量的值.令〃匕=lny.（i=l,2,…,12）,經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：

2

Xy拈T白…)’WV

1=11=1

20667724604.20

￡（'；-V）2白玉-磯匕T

2(%-祖%-5)

11=1r?l

312502153.0814

（1）請從相關系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？

（2）（0）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立）,關于X的I可歸方程;

（0）若下一年銷售額）'需達到90億元，預測下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?

附：①相關系數(shù)廠二1日

丁…）5（…『

回歸直線^陞江菽中公式分別為：人=J--------:—，S=y-K：

Z"）

1=1

②參考數(shù)據(jù)：308=4x77,廊*9.4868，e44998?90.

變式3、（2020?湖北高三期末（理））某土特產(chǎn)超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，對2019

年元旦期間的90位游客購買情況進行統(tǒng)計，得到如卜.人數(shù)分布表.

購買金額（元）[0J5)[15,30)[30,45)[45,60)[60,75)[75,90]

人數(shù)101520152010

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

不少于60元少于60元合計

男40

女18

合計

（2）為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎概率為〃（每次

抽獎互不影響，且〃的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率），中獎1次減5元，中獎2次減10

元，中獎3次減15元.若游客甲卜劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實際付款數(shù)X（元）的分布列并求其數(shù)學期

望.

附：參考公式和數(shù)據(jù)：K2=（i）（L）（」c）（"d）'…+"c+"?附表：

即2.0722.7063.8416.6357.879

pR..k°)0.1500.1000.0500.0100.005

方法總結：統(tǒng)計案例與線性回歸分析的綜合往往涉及到直方圖、概率等綜合性問題，對于此類問題可以從以

下兩個方面入手：1、理解直方圖具體時間頻率與概率的對應關系，獨立事件的概率計算過程；理解列聯(lián)表的

數(shù)據(jù)生成，以及使用公式進行基本運算，學會利用運算結果進行簡單的數(shù)據(jù)分析：2、數(shù)學期望是離散型隨機

變量中重要的數(shù)學概念，反映隨磯變量取值的平均水平.求解離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望時，首先

要分清事件的構成與性質(zhì)，確定離散型隨機變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計算每個變量取

每個值的概率，列出對應的分布列，最后求出數(shù)學期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其

是正態(tài)分布的3。原則.

五、優(yōu)化提升與真題演練

1、（2020年高考全國⑦卷理數(shù)）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的

關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（K，￡）（i=L2,…,20）得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10℃至40＜之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度*的回歸方程類

型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=?+Z?lnx

2、（2018年高考全國H卷理數(shù)）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折

線圖.

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變吊/的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至

2016年的數(shù)據(jù)（時間變量，的值依次為1，2,…，17）建立模型①：y=-30.4+13.5/：根據(jù)2010年至2016年

的數(shù)據(jù)（時間變量/的值依次為1，2,…，7）建立模型②：》=99+17.5/.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.

3、（2020年高考全國團卷理數(shù)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為

調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方

法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)依，2,...?20）,其中為和力分別表示第/?個樣區(qū)的植

物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得￡七二60,￡^.=1200,￡（A;-X）2=80,

1=1/=||=|

2020

2（其一了）2=9000,「衿=800.

I=II=I

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平

均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（x”y））（i=l,2.......20）的相關系數(shù)（精確到Q01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生

動物數(shù)最更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

?（%-無）（y-刃

附：相關系數(shù)旦-----------------V2?1.414.

j七（七-1）2次

V（=1/=1

4、（2020年高考全國III卷理數(shù)）某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公

園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）:

鍛煉人次

人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）;

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4,則稱

這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握

認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？

人次“00人次＞400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

,n(ad-bcY。(K2》)0.0500.0100.001

附：K------1~-----

(U1UjC十Cl)\Cl\C1(Tu1

k3.8416.63510.828.

5、（2020年高考山東）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查

了100天空氣中的PM2.5和SO?濃度（單位：|ig/m3）,得下表：

so,[0.501(5O,15O|(150.4751

PM2.5^\

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150〃的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成卜.面的2x2列聯(lián)表：