2025年數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專升本高等代數(shù)試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)A為n階可逆矩陣，B為n階矩陣，則下列運算有定義的是（）。（1）AB-BA（2）|AB|（3）BA（4）A+B2.向量組α1，α2，α3線性無關(guān)的充分必要條件是（）。（1）存在不全為零的k1，k2，k3使得k1α1+k2α2+k3α3=0（2）α1，α2，α3中任意兩個向量線性無關(guān)（3）α1，α2，α3的秩為3（4）存在一個向量可以用其余兩個向量線性表示3.設(shè)A為n階矩陣，B為n階可逆矩陣，若r(A)=r(AB)，則（）。（1）A必為可逆矩陣（2）B必為可逆矩陣（3）A必與B等價（4）A與B行向量組等價4.設(shè)A為n階實對稱矩陣，且A的特征值均大于零，則（）。（1）A可逆（2）A必為正定矩陣（3）A的特征向量必正交（4）A的行列式大于零5.設(shè)V為n維線性空間，W為V的一個子空間，維數(shù)分別為n和m，則下列說法正確的是（）。（1）W中任何一組基都可以擴(kuò)展為V的一組基（2）V中任何一組基都可以縮減為W的一組基（3）V中存在一組基，其中任意m個向量都構(gòu)成W的一組基（4）W的維數(shù)必小于等于V的維數(shù)二、填空題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。請將答案填在題中橫線上。6.設(shè)A為三階矩陣，|A|=-1，A的伴隨矩陣為A*，則|A*|=。7.設(shè)向量組α1，α2，α3，α4的秩為3，α1，α2，α3線性無關(guān)，則α4可以由α1，α2，α3線性表示，且表示系數(shù)唯一。8.設(shè)A為n階可逆矩陣，B為n階矩陣，若r(A)+r(B)<n，則矩陣方程AX=B無解。9.設(shè)n階矩陣A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則det(A)=。10.設(shè)V為三維線性空間，W為V的一個二維子空間，則V中存在非零向量α，使得αW。三、計算題：本大題共4小題，每小題10分，共40分。11.計算行列式D的值，其中D=|123||0-11||402|12.設(shè)A為三階矩陣，A的逆矩陣為A=|121||012||101|求矩陣A。13.求解線性方程組x1+2x2+3x3=12x1+5x2+7x3=43x1+7x2+10x3=614.設(shè)矩陣A為A=|12||21|求A的特征值和特征向量。四、證明題：本大題共2小題，每小題15分，共30分。15.證明：若向量組α1，α2，…，αr線性無關(guān)，且α1，α2，…，αr可以由向量組β1，β2，…，βs線性表示，則r≤s。16.設(shè)V為線性空間，W1，W2為V的兩個子空間，證明：W1+W2也是V的一個子空間。五、綜合應(yīng)用題：本大題共1小題，20分。17.設(shè)V為四維線性空間，V的一組基為α1，α2，α3，α4。線性變換T:V→V由下列條件給出：T(α1)=α2+α3T(α2)=α1+α4T(α3)=α1T(α4)=α2（1）求線性變換T在基α1，α2，α3，α4下的矩陣表示；（2）求線性變換T的特征值和特征向量。試卷答案一、選擇題1.（3）2.（2）3.（2）4.（1）5.（4）二、填空題6.17.是8.是9.λ1λ2…λn10.不在三、計算題11.D=1×(-1)×2+2×1×4+3×0×0-3×(-1)×4-1×1×0-2×0×2=-2+8+0+12+0-0=1812.設(shè)A的逆矩陣為B=|x1x2x3||x4x5x6||x7x8x9|則AB=I，即|121||x1x2x3|=|100||012||x4x5x6||010||101||x7x8x9||001|得方程組：x1+2x2+x3=1x4+2x5+x6=0x7+2x8+x9=0x1+x7=0x2+x8=1x3+x9=0解得x1=1,x2=0,x3=-1,x4=-1,x5=1,x6=0,x7=-1,x8=0,x9=1。所以B=|10-1||-110||-101|A=B=|10-1||-110||-101|13.對增廣矩陣進(jìn)行行變換：[123|1][257|4][3710|6]→[123|1][011|2][011|3]→[123|1][011|2][000|1]因增廣矩陣的秩為3，系數(shù)矩陣的秩為2，故方程組無解。14.特征方程為det(A-λI)=0，即|1-λ2|=(1-λ)^2-4=λ^2-2λ-3=(λ-3)(λ+1)=0|21-λ|特征值為λ1=3，λ2=-1。當(dāng)λ1=3時，(A-3I)x=0，即|-22||x1|=|0||2-2||x2||0|得x1=x2。令x2=t，則x1=t。特征向量為k1|1||1|，k1≠0。當(dāng)λ2=-1時，(A+I)x=0，即|22||x1|=|0||22||x2||0|得x1=-x2。令x2=t，則x1=-t。特征向量為k2|-1||1|，k2≠0。四、證明題15.證明：用反證法。假設(shè)r>s。因為α1，α2，…，αr線性無關(guān)，且α1，α2，…，αr可以由β1，β2，…，βs線性表示，設(shè)α1=a11β1+a12β2+…+a1sβsα2=a21β1+a22β2+…+a2sβs…αr=ar1β1+ar2β2+…+arsβs記A為系數(shù)矩陣，|A|為上述方程組的系數(shù)行列式。由假設(shè)r>s，A為r×s矩陣，且r>s，故A的列向量組線性相關(guān)，即存在不全為零的系數(shù)c1,c2,…,cr，使得c1α1+c2α2+…+crαr=0代入αi的表達(dá)式，得c1(a11β1+a12β2+…+a1sβs)+c2(a21β1+a22β2+…+a2sβs)+…+cr(ar1β1+ar2β2+…+arsβs)=0即(c1a11+c2a21+…+crar1)β1+(c1a12+c2a22+…+crar2)β2+…+(c1a1s+c2a2s+…+crars)βs=0由于β1，β2，…，βs線性無關(guān)，故c1a11+c2a21+…+crar1=0c1a12+c2a22+…+crar2=0…c1a1s+c2a2s+…+crars=0這與矩陣A的列向量組線性無關(guān)矛盾（因為A的列向量組線性無關(guān)意味著上述系數(shù)全為零，除非ci全為零）。故假設(shè)r>s不成立，即r≤s。16.證明：需證明W1+W2滿足子空間的三個條件：1.包含零向量：零向量x屬于W1，因為W1是子空間；零向量x也屬于W2，因為W2是子空間。故零向量x屬于W1+W2。2.對加法封閉：任取x1,x2屬于W1+W2，則存在x1'屬于W1，x2'屬于W2，使得x1=x1'+x2'，x2=x1'+x2'。令x=x1+x2，則x=(x1'+x2')+(x1'+x2')=x1'+x2'+x1'+x2'。因為W1和W2都是子空間，x1'屬于W1，x2'屬于W2，所以x1'+x2'屬于W1，x1'+x2'屬于W2。因此x屬于W1+W2。故W1+W2對加法封閉。3.對數(shù)乘封閉：任取x屬于W1+W2，k屬于數(shù)域F，則存在x1屬于W1，x2屬于W2，使得x=x1+x2。令y=kx=k(x1+x2)=kx1+kx2。因為W1和W2都是子空間，x1屬于W1，x2屬于W2，k屬于數(shù)域F，所以kx1屬于W1，kx2屬于W2。因此y屬于W1+W2。故W1+W2對數(shù)乘封閉。綜上所述，W1+W2是V的一個子空間。五、綜合應(yīng)用題17.（1）T(α1)=α2+α3在基α1，α2，α3，α4下的坐標(biāo)為(0,1,1,0)。T(α2)=α1+α4在基α1，α2，α3，α4下的坐標(biāo)為(1,0,0,1)。T(α3)=α1在基α1，α2，α3，α4下的坐標(biāo)為(1,0,0,0)。T(α4)=α2在基α1，α2，α3，α4下的坐標(biāo)為(0,1,0,0)。故T在基α1，α2，α3，α4下的矩陣為[0110][1001][1000][0100]（2）特征方程為det(A-λI)=0，即|-λ110||1-λ01||10-λ0||010-λ|=λ[(-λ)(-λ)(-λ)-(-λ)(1)(1)-(1)(0)(1)-(1)(1)(-λ)-(0)(0)(1)+(0)(1)(-λ)]=λ[λ^3+λ-λ-λ-0+0]=λ[λ^3-2λ]=λ^2(λ^2-2)=λ^2(λ-√2)(λ+√2)=0特征值為λ1=0（二重），λ2=√2，λ3=-√2。當(dāng)λ1=0時，(A-0I)x=0，即Ax=0，即[0110]|x1|=|0|[1001]|x2||0|[10-00]|x3||0|[010-0]|x4||0|得x1+x2=0,x1+x4=0,x2+x3=0。令x3=s,x4=t，則x1=-s,x2=s,x1=-t,x4=t。x1=-s=-t,x2=s=t。故s=t。令s=t=1，則x1=-1,x2=1,x3=1,x4=1。特征向量為k1|-1||1||1||1|，k1≠0。由于λ1=0是二重特征值，需要找兩個線性無關(guān)的特征向量。令x3=0,x4=1，則x1+x2=0,x1+x4=0。得x1=-1,x2=1。令x3=1,x4=0，則x1+x2=0,x1+x4=0。得x1=-1,x2=1。故另一個特征向量為k2|-1||1||0||1|，k2≠0。當(dāng)λ2=√2時，(A-√2I)x=0，即[-√2110]|x1|=|0|[1-√201]|x2||0|[10-√20]|x3||0|[010-√2]|x4||0|得x1+√2x2+x3=0,x1-√2x2+x4=0,x1-x3=0。令x3=s,x4=t，則x1=s,x2=(s