3.4圓心角xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】圓心角的概念辨析及簡(jiǎn)單計(jì)算 3【題型2】利用圓心角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系計(jì)算 6【題型3】利用圓心角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系證明 9xixix

夯實(shí)必備知識(shí)新知梳理【知識(shí)點(diǎn)1】圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．1.（2024?霍邱縣模擬）如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB與弦CD互相垂直，垂足為點(diǎn)E，如果AB=CD=8，那么OE的長(zhǎng)為（）A．3B．3C．4D．4【答案】A【分析】本題考查的是正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練的應(yīng)用垂徑定理求值是解本題的關(guān)鍵．如圖，連接OC，OA，過(guò)O作OH⊥AB于H，過(guò)O作OQ⊥CD于Q，再利用垂徑定理求解OQ=OH=3，再證明四邊形OQEH是正方形，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：如圖，連接OC，OA，過(guò)O作OH⊥AB于H，過(guò)O作OQ⊥CD于Q，∵AB=CD=8，∴CQ=1∵OC=OA=5，∴OQ=O∴OQ=OH，∴AB⊥CD，OQ⊥CD，OH⊥AB，∴四邊形OQEH是正方形，∴OH=EH=3，∴OE=3故選：A．【題型1】圓心角的概念辨析及簡(jiǎn)單計(jì)算【典型例題】如圖，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一點(diǎn)．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（）A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】A【解析】∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故選：A．【舉一反三1】如圖中是圓心角的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵∠AOB是圓心角，∴∠AOB的頂點(diǎn)為圓心O．故選C．【舉一反三2】圖中是圓心角的是（）A.

B.

C.

D.

【答案】B【解析】A為圓周角，不符合題意；B是圓心角，符合題意；C不是圓心角，不符合題意；D不是圓心角，不符合題意；故選：B.【舉一反三3】將一個(gè)圓分割成三個(gè)扇形，它們圓心角度數(shù)的比1：3：5，則最大扇形的圓心角的度數(shù)為

．【答案】200°【解析】最大扇形的圓心角的度數(shù)＝360°×＝200°．故答案為200°.【舉一反三4】如圖所示，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，則∠DOE=

.【答案】36°【解析】設(shè)∠AOE=2x，則∠BOC=∠COD=∠DOE=x，∵∠AOB是平角，∴∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=180°，∴x+x+x+2x=180°，∴x=36°,∴∠DOE=36°.故答案為36°.【舉一反三5】如圖，圓心角．(1)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】解：（1）；∵，，，∴.（2）∵，，，，∴，∴.【舉一反三6】如圖，在正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，，三點(diǎn)，那么所對(duì)的圓心角的大小是多少？

【答案】解：連接，分別作的垂直平分線，即可得到圓心，

由圖可得：，，∴，故，即所對(duì)的圓心角為．【題型2】利用圓心角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系計(jì)算【典型例題】如圖，點(diǎn)為上三點(diǎn)，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于，，，則的長(zhǎng)為（

）A.B.2C.D.【答案】B【解析】如圖所示，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【舉一反三1】如圖，已知的直徑，弦與弦交于點(diǎn)E．且，垂足為點(diǎn)F．若，求的長(zhǎng)為（

）A.B.1C.D.【答案】C【解析】如圖，連接，,,又，,即，,，，∴，，∴，，，∵，即，解得，∴，故選：C．【舉一反三2】如圖，A、B、C、D為⊙O上的點(diǎn)，且．若∠COD=40°，則∠ADO=____________度．【答案】30【解析】∵，，∴，∴，又，∴，故答案為：30．【舉一反三3】如圖，已知圓O的弦與直徑交于點(diǎn)，且平分．(1)已知，，求圓O的半徑；(2)如果，求弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)．【答案】解：（1）連接，如圖，設(shè)的半徑為，則，，平分，，，在中，，解得，即的半徑為；（2）連接，如圖，，，即，，，在中，，，，，，即弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)為．【題型3】利用圓心角定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系證明【典型例題】如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，連接CO，AD，∠BAD＝25°，下列結(jié)論中正確的有（

）①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE.A.①④B.②③C.②③④D.①②③④【答案】B【解析】∵AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD于E，∴CE=DE，，，∴∠BOC=2∠A=40°，，即，故③正確；∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，∴∠C=50°，故②正確；∵∠C≠∠BOC，∴CE≠OE，故①錯(cuò)誤；作OP∥CD，交AD于P，∵AB⊥CD，∴AE＜AD，∠AOP=90°，∴OA＜PA，OE＜PD，∴PA+PD＞OA+OE，∵OE＜OA，∴AD＞2OE，故④錯(cuò)誤；故選：B．【舉一反三1】如圖，的頂點(diǎn)A、B、C均在上，點(diǎn)A是中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.B.C.D.【答案】B【解析】A、∵點(diǎn)A是中點(diǎn)，∴，∴，無(wú)法得出，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B、如圖：連接，∵，∴，∵，∴，∴，故此選項(xiàng)正確；C、∵，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D、無(wú)法得出，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．

【舉一反三2】如圖，在一個(gè)圓內(nèi)有、、，若+=，則AB+CD與EF的大小關(guān)系是（）

A.AB+CD＝EFB.AB+CD＜EFC.AB+CD≤EFD.AB+CD＞EF【答案】D【解析】如圖，在弧EF上取一點(diǎn)M，使，

則，所以AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，F(xiàn)M+EM＞EF，所以AB+CD＞EF，故選：D．【舉一反三3】判斷下列命題是真命題還是假命題（寫在橫線上）：（1）在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等．

（2）在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧也相等．

（3）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等．

（4）在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦也不相等．

【答案】（1）真命題（2）假命題（3）真命題（4）假命題【解析】對(duì)于（1），在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧也相等，原命題為真命題；對(duì)于（2），在等圓中，如果弦相等，那么它們所對(duì)的弧不一定相等，因?yàn)橐粭l弦對(duì)應(yīng)兩條弧，原命題為假命題；對(duì)于（3），在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對(duì)的弦的弦心距也相等，原命題為真命題；對(duì)于（4），在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對(duì)的弦有可能相等，如圓心角分別為和所對(duì)的兩條弧，其所對(duì)的弦相等，原命題為假