重難點培優(yōu)04解三角形含中線、角平分線、垂線的條件破解目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）TOC\o"12"\h\u01知識重構?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 3題型一含中線（向量法）（★★★★★） 3題型二含中線（常規(guī)思路和余弦值相加為0）（★★★★★） 8題型三含中線（同理變形）（★★★★） 14題型四含角平分線（角平分線定理和直接正（余）弦定理）（★★★★） 19題型五含角平分線（等積法）（★★★★★） 25題型六含垂線（★★★） 3203實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效 37檢測Ⅰ組重難知識鞏固 37檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 58一、中線問題如圖，△ABC中，AD為BC的中線，已知AB,AC,及∠A，求中線AD長.二、角平分線問題△ABC中，AD平分∠BAC.注：為A到BC的距離，為D到AB,AC的距離.證法2（正弦定理）②等面積法三、垂線問題題型一含中線（向量法）【技巧通法·提分快招】1、向量法：AD2＝14(b2＋c2＋2bccos推導過程：由AD＝12(AB＋AC)，得AD2＝14(AB＋AC)2＝14AB2＋所以AD2＝14(b2＋c2＋2bccos2、中線長定理：在△ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).推導過程：在△ABD中，cosB＝AB2＋BD2－聯(lián)立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).A． B． C． D．【答案】D故選：D【答案】C【分析】利用正弦定理、三角恒等變換等知識化簡已知條件，求得，結合余弦定理、向量運算、基本不等式等知識來求得正確答案.所以邊上的中線長度的最小值為.故選：C.【答案】C故選：C(1)求角的大?。弧痉治觥浚?）利用正弦定理邊角互化，利用兩角和的正弦公式化簡，轉化為三角函數(shù)求角；因為為中線，即為中點，（?。┣蟮娜≈捣秶弧敬鸢浮?1)證明見解析（2）（?。└鶕?jù)三角形三邊關系列不等式求解即可；題型二含中線（常規(guī)思路和余弦值相加為0）【技巧通法·提分快招】如圖，△ABC中，AD為BC的中線，已知AB,AC,及∠A，求中線AD長.【答案】18故答案為：18.A． B． C． D．【答案】A故選：A(1)求；【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角轉化，結合三角形角度關系與三角恒等變換轉化即可得角的大??；【答案】(1)證明見解析(2)所以取得最大值為.(1)求角A；(2)2【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理建立方程，可得答案.（2）由題意，利用正弦定理表示出邊與角之間的等量關系，結合余弦定理建立方程，可得答案.故的長為2．題型三含中線（同理變形）【技巧通法·提分快招】線段定比分點的向量表達式DDACB【答案】B所以，的最小值為.故選：B.A．4 B． C． D．2【答案】C【詳解】如圖：因為是上的三等分點（靠近點），故選：C【答案】C【分析】利用正弦定理與余弦定理，結合平面向量求長度得出線段的表達式，再由三角函數(shù)值域求解即可.故選：C.(1)求；(1)求；(2)題型四含角平分線（角平分線定理和直接正（余）弦定理）【技巧通法·提分快招】三角形中與角平分線有關的解題策略在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.1、利用角度的倍數(shù)關系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD.2、內角平分線定理：ABAC＝BD【答案】D【分析】利用角平分線定理以及平面向量的線性運算法則即可求解.故選：D【答案】D故選：D.A． B． C．1 D．【答案】C故選：C【答案】A故選：A【答案】(1)證明見解析；【分析】（1）利用余弦定理結合已知變形，再利用正弦定理邊化角及和差角的正弦推理即得.(2)求的長.【答案】(1)證明見解析(2)題型五含角平分線（等積法）【技巧通法·提分快招】等面積法因為S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以12c·ADsinA2＋12b·ADsinA2＝1所以b＋cAD＝2bccosA2，整理得AD【分析】（1）根據(jù)面積公式運算求解即可；（2）設角平分線為，根據(jù)面積關系運算求解即可.（2）設角平分線為，(1)求的長；【答案】(1)又是角的角平分線，【答案】(1)1(2)

【分析】（1）運用三角形外角性質及正弦定理即可求得結果.【詳解】（1）如圖所示，②求內角的角平分線長的最大值.(2)①；②【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出，即可得解；題型六含垂線【技巧通法·提分快招】垂線問題的處理策略1、等面積法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC. 2、AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD. 【答案】D故選：D.【答案】D故選:DA． B． C． D．【答案】B故選：B．速解故選：B．【答案】4【詳解】利用面積公式和余弦定理：故最大值為4.故答案為：4.(1)求；【答案】(1)【分析】（1）利用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系，進而求出角；（2）先根據(jù)余弦定理求出邊的值，再通過三角形面積公式求出邊上的高.(1)求C；(2)若邊上的高為，求的最小值．(2)2故的最小值為2.(1)求；【答案】(1)檢測Ⅰ組重難知識鞏固1．（2025·湖北孝感·三模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊的中線AD=，那么BC=．【答案】9故答案為：9.【答案】2故答案為：.【答案】故答案為：.【點睛】知識點點睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式，具有一定的綜合性，問題解決的關鍵在于結合圖形建立等量關系，結合三角形面積公式確定邊的關系，屬于較難題.【答案】64所以的最小值為6.故答案為：6，4.【答案】【分析】利用平面向量的線性運算得到的方程組，解之可得的值；再利用三角形面積公式與向量數(shù)量積的運算法則、結合基本不等式即可得解.故答案為：；.A． B．1 C．2 D．【答案】A故選：A【答案】A【分析】利用平面向量的運算法則結合余弦定理求解即可【詳解】為的中點，故選：【答案】A故選：A(1)求；【分析】（1）利用正弦定理將邊轉化為角，再結合三角函數(shù)的性質求解角；（2）先根據(jù)余弦定理求出邊，然后利用三角形面積公式求出邊上的高.(1)求；【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊角互化，再根據(jù)二倍角公式化簡可得解；(1)求角A的大??；【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理角化邊，再由余弦定理即可求解；(1)求；【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，化簡后求解即可；(1)求A；則為BC邊上的中線，(1)求A；【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合二倍角公式、和角的正弦公式化簡即得.(1)求角的大??；【答案】(1)【分析】（1）利用正弦定理，邊化角，然后化簡計算即可：【答案】(1)（2）通過等面積法，用兩種方法表示三角形的面積即可求得三邊之間的關系，用正弦定理將邊化為角，用輔助角公式化簡，借助角的范圍來求得最值.【詳解】（1）方法