1.4二次函數(shù)的應用xixix

快速定位題型題型目錄TOC\o"13"\h\z\u【題型1】用二次函數(shù)解決固定型拋物線問題 5【題型2】用二次函數(shù)解決運動型拋物線問題 7【題型3】用二次函數(shù)解決商品利潤問題 9【題型4】用二次函數(shù)解決面積問題 11【題型5】用二次函數(shù)解決增長率問題 13xixix

夯實必備知識新知梳理【知識點1】拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系．△=b24ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△=b24ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b24ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b24ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（xx1）（xx2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x1，0），（x2，0）．1.（2024秋?清遠校級期末）如表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值，則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）x1034y0585A．圖象的開口向下B．有最小值8C．圖象與x軸的一個交點是（5，0）D．圖象的對稱軸是x=【知識點2】圖象法求一元二次方程的近似根利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；（2）由圖象與y=h的交點位置確定交點橫坐標的范圍；（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）．1.（2024?梅州模擬）已知關(guān)于x的方程x2+1=kA．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0【知識點3】二次函數(shù)與不等式（組）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系①函數(shù)值y與某個數(shù)值m之間的不等關(guān)系，一般要轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的不等式，解不等式求得自變量x的取值范圍．②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．1.（2024?市中區(qū)校級一模）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．1＜x＜5B．x＞5C．x＜1且x＞5D．x＜1或x＞52.（2024秋?興化市期中）直線y=x+1與拋物線y=x2+1的圖象如圖所示，若一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值，則x的取值范圍是（）A．x＜1B．x＞1C．0＜x＜1D．x＜0或x＞1【知識點4】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．1.（2024秋?巧家縣校級月考）某商品現(xiàn)在的售價為每件50元，每星期可賣出90件．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每星期可多賣出15件，已知商品的進價為每件30元，設(shè)每件降價x元，每星期售出商品的利潤為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y=15x2+210x+1800B．y=（50x）（90+15x）30xC．y=15x2210x+1800D．y=（20x）（9015x）【知識點5】二次函數(shù)的應用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．1.（2024?溫江區(qū)模擬）某市新建一座景觀橋．如圖，橋的拱肋ADB可視為拋物線的一部分，橋面AB可視為水平線段，橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接，拱肋的跨度AB為40米，橋拱的最大高度CD為16米（不考慮燈桿和拱肋的粗細），則與CD的距離為5米的景觀燈桿MN的高度為（）A．13米B．14米C．15米D．16米2.（2024秋?淮陰區(qū)期中）一小球從20米的高處落下，小球離地面的高度h（m）和下落時間t（s）大致有如下關(guān)系：h=5t2+20，那么小球經(jīng)過（）秒落到地面．A．1秒B．2秒C．3秒D．4秒【知識點6】二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題從實際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實際問題有意義．【題型1】用二次函數(shù)解決固定型拋物線問題【典型例題】某水利工程公司開挖的溝渠，蓄水之后截面呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：m）．某學習小組探究之后得出如下結(jié)論，其中正確的為(

)A.B.池底所在拋物線的解析式為C.池塘最深處到水面的距離為3.2mD.若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的【舉一反三1】“盧溝曉月”是著名的北京八景之一，古時乾隆皇帝曾在秋日路過盧溝橋，賦詩“半鉤留照三秋淡，一練分波平鏡明”于此，并題“盧溝曉月”，立碑于橋頭．盧溝橋主橋拱可以近似看作拋物線，橋拱在水面的跨度約為22米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標系，則主橋拱所在拋物線可以表示為則主橋拱最高點P與其在水中倒影之間的距離為（

）米．A.11B.13C.22D.26【舉一反三2】隨著國民經(jīng)濟和城市化建設(shè)的不斷發(fā)展，城市道路的功能得到不斷完善，復雜的城市道路網(wǎng)要求設(shè)置越來越多的下沉式立交橋.下沉式立交橋?qū)⑾嘟坏缆吩O(shè)置在地面層或地上半層，主路設(shè)置在地下層或地下半層，下沉武立交橋也因此具有比高架立交景觀條件好、比隧道立交造價低的特點．某下沉式立交橋的主路橋截面是拋物線形，如圖以主路橋面最低點O為原點，以原點所在的水平直線為x軸建立平面直角坐標系．已知主路橋面跨徑，主路橋面的最低點O到的距離為．由于下沉式立交橋的主路橋面低于周邊地面且縱坡較大，所以容易出現(xiàn)橋面積水現(xiàn)象，在一次暴雨后，橋面有積水且積水跨徑為，已知普通轎車的安全涉水深度大于，若一位普通轎車駕駛員能駕車從這個下沉式立交橋安全通過，則積水跨徑的長度不能超過

米．【舉一反三3】如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面時，水面寬，則水面下降時，水面寬度增加

．【舉一反三4】懸索橋又名吊橋，其纜索幾何形狀由力的平衡條件決定，一般接近拋物線．如圖1是某段懸索橋的圖片，主索近似符合拋物線，從主索上設(shè)置豎直的吊索，與橋面垂直，并連接橋面承接橋面的重量，兩橋塔，間距為，橋面水平，主索最低點為點P，點P距離橋面為，如圖2，以的中點為原點O，所在直線為x軸，過點O且垂直于的直線為y軸，建立平面直角坐標系．(1)求主索拋物線的函數(shù)表達式；(2)距離點P水平距離為和處的吊索共四條需要更換，求四根吊索總長度為多少米？【題型2】用二次函數(shù)解決運動型拋物線問題【典型例題】一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃圈中心距離地面高度為，下列說法正確的是（）

A.籃球出手時離地面的高度是B.籃圈中心的坐標是C.此拋物線的頂點坐標是D.此拋物線的解析式是【舉一反三1】如圖，在池中心豎直水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為，水柱落地處離池中心，水管的長為（

）A.B.C.D.【舉一反三2】小明周末外出游玩時看到某公園有一圓形噴水池，如圖1，簡單測量得到如下數(shù)據(jù)：圓形噴水池直徑為，水池中心處立著一個圓柱形實心石柱，在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱呈拋物線型，水柱在距水池中心處到達最大高度為，從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點處匯合，小明根據(jù)圖示建立了平面直角坐標系，如圖2，則的高度是（）

A.B.C.D.【舉一反三3】一種禮炮的升空高度與飛行時間的關(guān)系式是．若這種禮炮在升空到最高點時引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為

s．【舉一反三4】大型客機是我國首次按照國際通行適航標準自行研制，具有自主知識產(chǎn)權(quán)的噴氣式干線客機，如圖1，在某次大型客機過水門儀式中，兩條水柱從兩輛消防車中斜向上射出，形似拋物線，以兩車所連水平直線的中點為坐標原點，平行于的直線為軸，建立如圖2所示的平面直角坐標系，其函數(shù)關(guān)系式為，當兩輛消防車噴射口位置的水平距高為m時，“水門”最高點距離噴射口的豎直高度為

m．【舉一反三5】圖1所示是一個簡易桶裝水的取水裝置，圖2是其示意圖．從出水口A處噴出的水流可抽象為拋物線，點C是水流與杯子底部的接觸點．水流運動的高度與運動的水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系式：．(1)求拋物線的解析式；（不必寫x的取值范圍）(2)為了取水便捷舒適，要將取水裝置墊高，若墊高后點C離出水口的水平距離不得小于，求取水裝置至少要墊高多少厘米？【題型3】用二次函數(shù)解決商品利潤問題【典型例題】2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大．（

）A.250B.300C.200D.550【舉一反三1】某商品現(xiàn)在的售價為每件50元，每星期可賣出90件．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價1元，每星期可多賣出15件，已知商品的進價為每件30元，設(shè)每件降價元，每星期售出商品的利潤為元，則與的函數(shù)關(guān)系式為（

）A.B.C.D.【舉一反三2】某批發(fā)商銷售一種成本是40元/副的防寒手套，當每副防寒手套的售價定為60元時，一天內(nèi)可賣出100副．經(jīng)調(diào)研得知，該防寒手套的單價每降低1元，每天的銷量可增加10副．（1）當防寒手套的單價在定價的基礎(chǔ)上降低2元時，每天的銷售量為

副．（2）該批發(fā)商每天要獲利2240元，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，那么這種防寒手套的售價應降價

元．當每副防寒手套的定價為

元時，該批發(fā)商可獲得最大利潤．【舉一反三3】某超市購進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為

元（利潤＝總銷售額－總成本）．

【舉一反三4】經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在第x天的售價與銷量的相關(guān)信息如下表；已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品每天的利潤為y元．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)該商品銷售過程中，共有多少天日銷售利潤不低于4800元？直接寫出答案．【舉一反三5】水果店購進某品種榴蓮，榴蓮的保質(zhì)期為30天，平均每顆榴蓮的售價為100元，由于榴蓮需要冷藏保存，因此成本也會逐日增加，設(shè)第x天的銷售量m顆，每顆榴蓮的成本為y元．y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．m與x之間的關(guān)系如表：(1)求y與x的函數(shù)表達式．(2)若每天的銷售利潤為W元，求W與x的函數(shù)表達式，并求出第幾天時當天的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少元？【題型4】用二次函數(shù)解決面積問題【典型例題】用一根長為的鐵絲圍成一個面積為的矩形，小亮說：“a的值可能是，小情說：“a的值可能是”，小強說：“a的值可能是”，小英說：“a的值可能是”，其中說法錯誤的是（

）A.小亮B.小倩C.小強D.小英【舉一反三1】如圖，用總長度為的不銹鋼材料設(shè)計成如圖所示的外觀為矩形的框架，所有橫檔和豎檔分別與平行，則矩形框架的最大面積為（

）

A.B.C.D.【舉一反三2】九年級某班計劃在勞動實踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長買回來8米長的圍欄，準備圍成一邊靠墻（墻足夠長）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學們提出了圍成矩形、等腰直角三角形（底邊靠墻）、半圓形這三種方案，如圖所示，最佳方案是（

）A.方案1B.方案2C.方案3D.面積都一樣【舉一反三3】用木料制作成一個如圖所示的“目”形長方形大窗框（橫檔，也用木料，其中，要使窗框的面積最大，則的長為

m．【舉一反三4】[綜合與實踐]數(shù)學來源于生活，同時數(shù)學也可以服務(wù)于生活．[知識背景]如圖，校園中有兩面直角圍墻（兩邊足夠長），墻角內(nèi)的處有一棵古樹與墻、的距離分別是15米和6米，在美化校園的活動中，某數(shù)學興趣小組想借助圍墻（兩邊足夠長），用28米長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍、兩邊），設(shè)米．[方案設(shè)計]設(shè)計一個矩形花園，使之面積最大，且要將古樹P圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細）．[解決問題]思路：把矩形的面積S與邊長（即的長）的函數(shù)解析式求出，并利用函數(shù)的性質(zhì)來求面積的最大值即可．

(1)請用含有x的代數(shù)式表示的長：__________；(2)求面積S與x的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍；并求當x為何值時，花園面積S最大，最大面積為多少？【舉一反三5】如圖，一塊周長為的矩形鐵皮，如果在該鐵皮的四個角上截去四個邊長為的小正方