2025年浙江省余姚市第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.2．若方程表示雙曲線，則（）A. B.C. D.3．如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與橢圓C相交P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.5．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞6．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.7．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.8．如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個造形為一個底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會召開，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.99．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.113410．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.11．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.1 D.212．已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若直線l直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.14．如圖，按照以下規(guī)律排列的數(shù)陣中，第i行從左向右第j個數(shù)記為，如，，則______；令則______15．某企業(yè)有4個分廠，新培訓(xùn)了一批6名技術(shù)人員，將這6名技術(shù)人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為________.16．已知數(shù)列是遞增等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線（為參數(shù)）交于兩點(diǎn).（1）將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）求長.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）國家助學(xué)貸款由國家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi).從年秋季學(xué)期起，全日制普通本?？茖W(xué)生每人每年申請貸款額度由不超過元提高至不超過元，助學(xué)貸款償還本金的寬限期從年延長到年.假如學(xué)生甲在本科期間共申請到元的助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)還清，已知該學(xué)生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，此后工資不再浮動.（1）學(xué)生甲參加工作后第幾個月的月工資達(dá)到元；（2）如果學(xué)生甲從參加工作后的第一個月開始，每個月除了償還應(yīng)有的利息外，助學(xué)貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，第個月償還剩余的本金.則他第個月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數(shù)據(jù)：；；）20．（12分）（1）若在是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）已知函數(shù)在R上無極值點(diǎn)，求a的值.21．（12分）已知圓M：的圓心為M，圓N：的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）已知點(diǎn)，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時，取得最大值為22.故選：C.2、C【解析】根據(jù)曲線方程表示雙曲線方程有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，，可得.故選：C.3、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長的關(guān)系求出雙曲線實(shí)半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.4、B【解析】設(shè)，由橢圓的定義及，結(jié)合勾股定理求參數(shù)m，進(jìn)而由勾股定理構(gòu)造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】設(shè)，橢圓的焦距為，則，由，有，解得，所以，故得：故選：B.5、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖，結(jié)合均值、方差的實(shí)際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.6、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對于D，因?yàn)椋?，所以，故D不正確.故選：B7、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A8、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)?，所以，所以即相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C9、C【解析】這個數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開來計算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.10、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，所以，解得，故選：D11、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€，，且，所以，故選：D.12、D【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定的值即可.【詳解】由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.25【解析】求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線l與橢圓方程，借助韋達(dá)定理即可計算作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設(shè)直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設(shè)，則，有，因此，，所以的值為.故答案：14、①.55②.【解析】令易知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法求及通項(xiàng)公式，結(jié)合求通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，最后兩次應(yīng)用錯位相減法求即可.【詳解】由題設(shè)知：令，則是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以，即，由上可得：，則，而，所以，則，所以，，所以，令，則，所以，故，綜上，，則.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過圖總結(jié)規(guī)律，易知是等差數(shù)列，應(yīng)用累加法求，再由求通項(xiàng)公式，最后應(yīng)用錯位相減法求前n項(xiàng)和.15、1560【解析】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人，有兩種情況：（1）4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，（2）4個組的人數(shù)為2,2,1,1，求出所有的分組方法，然后再把4個組的人分給4個分廠，從而可求得答案【詳解】先把6名技術(shù)人員分成4組，每組至少一人.（1）若4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配，則不同的分配方案有(種).（2）若4個組的人數(shù)為2,2,1,1，則不同的分配方案有(種).故所有分組方法共有20＋45＝65(種).再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有(種).故答案為：156016、【解析】由題意，，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為.考點(diǎn)：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可.（2）首先求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程得到，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦長即可.【詳解】（1）因?yàn)榍€（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為：.（2）由題知：直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程代入，得.，.所以.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項(xiàng)公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以19、（1）；（2）不能，理由見解析.【解析】（1）設(shè)甲參加工作后第個月的月工資達(dá)到元，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；（2）分析可知從第個月開始到第個月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，計算出甲前個月償還的本金，再由甲第個月的工資可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)甲參加工作后第個月的月工資達(dá)到元，則，可得，，解得，所以，學(xué)生甲參加工作后第個月的月工資達(dá)到元.【小問2詳解】解：因?yàn)榧浊皞€月每個月償還本金元，第個月開始到第個月每個月償還的本金比前一個月多元，所以，從第個月開始到第個月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，前個月償還的本金為，因?yàn)榈趥€月開始，每個月工資比前一個月增加直到元，所以，第個月的工資為元，因?yàn)?，因此，甲第個月的工資不能足夠償還剩余的本金.20、（1）；（2）1【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，求出的最小值，即可得到答案；（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，由，即可得到答案；【詳解】（1）依題意知，在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)恒成立，所以，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（2），依題意有，即，，解得.21、（1），；（2）過，.【解析】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解判斷即可.【小問1詳解】設(shè)圓E的圓心為，半徑為r，則，，所以由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)、實(shí)軸長為6的雙曲線的右支，所以動圓的圓心E的軌跡方程為，；【小問2詳解】設(shè)，，直線l的方程為由得，且，故又，所以又，，所以，即．又故或若，則直線l的方程為，過點(diǎn)，與題意矛盾，所以，故，所以直線l的方程為，過點(diǎn)【點(diǎn)