第35頁（共35頁）2026年中考數(shù)學復習熱搜題速遞之圖形的對稱一．選擇題（共10小題）1．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°2．若點A（1+m，1﹣n）與點B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，則m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．13．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF4．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．若⊙O的半徑為5，AB＝4，則BC的長是（）A．23 B．32 C．5326．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F．若AB＝6，BC＝46，則FD的長為（）A．2 B．4 C．6 D．237．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°8．將一張矩形的紙對折，然后用筆尖在上面扎出“B”，再把它鋪平，你可見到（）A． B． C． D．9．如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且ACCB=13，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形A．（2，2） B．（52，52） C．（83，83） D．（10．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．10二．填空題（共5小題）11．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+55BD的最小值是12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是．13．折疊矩形紙片ABCD時，發(fā)現(xiàn)可以進行如下操作：①把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△CDG翻折，點C落在線段AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上，若AB＝AD+2，EH＝1，則AD＝．14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為．15．如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝10，AB＝8，將AB沿AE翻折，使點B落在B'處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點C恰好落在線段EB'上的點C'處，EF為折痕，連接AC'．若CF＝3，則tan∠B'AC′＝．三．解答題（共5小題）16．如圖，已知點O是∠APB內(nèi)的一點，M，N分別是點O關(guān)于PA、PB的對稱點，連接MN，與PA、PB分別相交于點E、F，已知MN＝6cm．（1）求△OEF的周長；（2）連接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代數(shù)式表示）；（3）當∠a＝30°，判定△PMN的形狀，并說明理由．17．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的長．18．如圖，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作點A關(guān)于BD的對稱點C；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，連接BC，DC，連接AC，交BD于點O．①求證：四邊形ABCD是菱形；②取BC的中點E，連接OE，若OE=132，BD＝10，求點E到19．如圖，點P是∠AOB外的一點，點Q是點P關(guān)于OA的對稱點，點R是點P關(guān)于OB的對稱點，直線QR分別交∠AOB兩邊OA，OB于點M，N，連接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度數(shù)．20．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB＝22，BC＝4，點E在BC上，CE＝AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．（1）求EF的長；（2）求sin∠CEF的值．

2026年中考數(shù)學復習熱搜題速遞之圖形的對稱（2025年10月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案BDDDBBBCCD一．選擇題（共10小題）1．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；模型思想．【答案】B【分析】過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，可證得△ABG≌△AB′G（ASA），所以∠E′B′G＝∠E′BG，由“直角三角形兩銳角互余”可得∠AB′F′＝40°＝∠ABE，所以∠BE′F′＝50°，由此可得結(jié)論．【解答】解：過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，如圖，此時BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．【點評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱最值問題，直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)軸對稱最值問題作出輔助線是解題關(guān)鍵．2．若點A（1+m，1﹣n）與點B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，則m+n的值是（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標．【專題】常規(guī)題型；平面直角坐標系．【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，據(jù)此求出m、n的值，代入計算可得．【解答】解：∵點A（1+m，1﹣n）與點B（﹣3，2）關(guān)于y軸對稱，∴1+m＝3、1﹣n＝2，解得：m＝2、n＝﹣1，所以m+n＝2﹣1＝1，故選：D．【點評】本題主要考查關(guān)于x、y軸對稱的點的坐標，解題的關(guān)鍵是掌握兩點關(guān)于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)．3．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，P為對角線BD上的一個動點，則下列線段的長等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF【考點】軸對稱﹣最短路線問題；正方形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形．【答案】D【分析】連接CP，當點E，P，C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，依據(jù)△ABF≌△CDE，即可得到AP+EP最小值等于線段AF的長．【解答】解：如圖，連接CP，由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP＝CP，∴AP+PE＝CP+PE，∴當點E，P，C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，此時，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∴AP+EP最小值等于線段AF的長，故選：D．【點評】本題考查的是軸對稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于BD的對稱點C是解答此題的關(guān)鍵．4．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合．5．如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．若⊙O的半徑為5，AB＝4，則BC的長是（）A．23 B．32 C．532【考點】翻折變換（折疊問題）；垂徑定理；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計算．【答案】B【分析】連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥AB，則AD＝BD=12AB＝2，于是根據(jù)勾股定理可計算出OD＝1，再利用折疊的性質(zhì)可判斷弧AC和弧CD所在的圓為等圓，則根據(jù)圓周角定理得到AC=CD，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性質(zhì)得AE＝DE＝1，接著證明四邊形ODEF為正方形得到OF＝EF＝1，然后計算出CF后得到CE＝BE＝3，于是得到BC【解答】解：連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，∵D為AB的中點，∴OD⊥AB，∴AD＝BD=12AB＝在Rt△OBD中，OD=(5∵將弧BC沿BC折疊，∴弧AC和弧CD所在的圓為等圓，∴AC=∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°，∴四邊形ODEF是矩形，∵DE＝OD＝1，∴四邊形ODEF是正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF=(5∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝32．故選：B．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了圓周角定理和垂徑定理．6．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F．若AB＝6，BC＝46，則FD的長為（）A．2 B．4 C．6 D．23【考點】翻折變換（折疊問題）．【專題】壓軸題．【答案】B【分析】根據(jù)點E是AD的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可證得DF＝GF；設FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進行計算即可得解．【解答】解：∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴AE＝EG，AB＝BG，∴ED＝EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°，∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED=∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF＝FG，設DF＝x，則BF＝6+x，CF＝6﹣x，在Rt△BCF中，（46）2+（6﹣x）2＝（6+x）2，解得x＝4．故選：B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)，找出三角形全等的條件ED＝EG是解題的關(guān)鍵．7．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【專題】壓軸題．【答案】B【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝60°，進而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″的長即為△AMN的周長最小值．∵∠DAB＝120°，∴∠AA′M+∠A″＝60°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，故選：B．【點評】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．8．將一張矩形的紙對折，然后用筆尖在上面扎出“B”，再把它鋪平，你可見到（）A． B． C． D．【考點】生活中的軸對稱現(xiàn)象．【專題】推理能力．【答案】C【分析】認真觀察圖形，首先找出對稱軸，根據(jù)軸對稱圖形的定義可知只有C是符合要求的．【解答】解：觀察選項可得：只有C是軸對稱圖形．故選：C．【點評】本題考查軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形．折痕所在的這條直線叫做對稱軸，仔細觀察圖形是正確解答本題的關(guān)鍵．9．如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點C在邊AB上，且ACCB=13，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形A．（2，2） B．（52，52） C．（83，83） D．（【考點】軸對稱﹣最短路線問題；坐標與圖形變化﹣平移．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（0，2），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為y=14x【解答】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵ACCB=13，點∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點E，連接EC交OA于P，則此時，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），∵直線OA的解析式為y＝x，設直線EC的解析式為y＝kx+b，∴b=2解得：k=∴直線EC的解析式為y=14x解y=xy∴P（83，8故選：C．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的找到P點的位置是解題的關(guān)鍵．10．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．10【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】D【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．【解答】解：如圖，連接BM，∵點B和點D關(guān)于直線AC對稱，∴NB＝ND，則BM就是DN+MN的最小值，∵正方形ABCD的邊長是8，DM＝2，∴CM＝6，∴BM=62∴DN+MN的最小值是10．故選：D．【點評】此題考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，解題的難點在于確定滿足條件的點N的位置：利用軸對稱的方法．然后熟練運用勾股定理．二．填空題（共5小題）11．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+55BD的最小值是45【考點】胡不歸問題；解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】解直角三角形及其應用；應用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA=BEAE=2，設AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理構(gòu)建方程求出a，再證明DH=55BD，推出CD+5【解答】解：如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA=BEAE=2，設AE＝a，BE＝則有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝25或﹣25（舍棄），∴BE＝2a＝45，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝45（等腰三角形兩腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH=DH∴DH=55∴CD+55BD＝CD+∴CD+DH≥CM，∴CD+55BD≥4∴CD+55BD的最小值為4故答案為45．【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是245【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，由AD是∠BAC的平分線．得出PQ＝PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用勾股定理求出AB，再運用S△ABC=12AB?CM=12AC?BC，得出CM的值，即【解答】解：如圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ＝PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB=A∵S△ABC=12AB?CM=12∴CM=AC故答案為：245【點評】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+PQ有最小值時點P和Q的位置．13．折疊矩形紙片ABCD時，發(fā)現(xiàn)可以進行如下操作：①把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△CDG翻折，點C落在線段AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上，若AB＝AD+2，EH＝1，則AD＝3+23．【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．【專題】計算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設AD＝x，則AB＝x+2，利用折疊的性質(zhì)得DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，則可判斷四邊形AEFD為正方形，所以AE＝AD＝x，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得DH＝DC＝x+2，當AH＝AE﹣HE＝x﹣1，然后根據(jù)勾股定理得到x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，再解方程求出x即可．【解答】解：設AD＝x，則AB＝x+2，∵把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，∴四邊形AEFD為正方形，∴AE＝AD＝x，∵把△CDG翻折，點C落在直線AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上，∴DH＝DC＝x+2，∵HE＝1，當AH＝AE﹣HE＝x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2，∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+23，x2＝3﹣23（舍去），即AD的長為3+23．故答案為：3+23．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理．14．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為10°．【考點】軸對稱的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知∠CA′D＝∠A＝50°，然后根據(jù)外角定理可得出∠A′DB．【解答】解：由題意得：∠CA′D＝∠A＝50°，∠B＝40°，由外角定理可得：∠CA′D＝∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB＝10°．故答案為：10°．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，屬于基礎題，注意外角定理的運用是解決本題的關(guān)鍵．15．如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝10，AB＝8，將AB沿AE翻折，使點B落在B'處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點C恰好落在線段EB'上的點C'處，EF為折痕，連接AC'．若CF＝3，則tan∠B'AC′＝14【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；勾股定理；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；解直角三角形及其應用；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接AF，設CE＝x，用x表示AE、EF，再證明∠AEF＝90°，由勾股定理得通過AF進行等量代換列出方程便可求得x，再進一步求出B′C′，便可求得結(jié)果．【解答】解：連接AF，設CE＝x，則C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折疊知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，當x＝6時，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝10﹣6＝4，EC′＞B′E，不合題意，應舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′=B故答案為：14另一解法：由折疊知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∴ABEC設BE＝x，則BE＝B'E＝x，C'E＝CE＝10﹣x，∴810-解得，x＝4或6，∴BE＝B'E＝4，CE＝C'E＝6，或BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，∵B'E＞C'E，∴BE＝B'E＝6，CE＝C'E＝4，∴B'C'＝B'E﹣C'E＝6﹣4＝2，由折疊知，AB'＝AB＝8，∠B'＝∠B＝90°，∴tan∠B'AC′=B解法三：設BE＝a，EC＝b，則a+b＝10．由于△AB'E∽△EC'F，所以AB'：EC'＝EB'：C'F，即8：b＝a：3，ab＝24．B'C'＝a﹣b，因為（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝100﹣96＝4．所以B'C′＝2．所以tan∠B'AC′=1故答案為14【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用勾股定理列出方程．三．解答題（共5小題）16．如圖，已知點O是∠APB內(nèi)的一點，M，N分別是點O關(guān)于PA、PB的對稱點，連接MN，與PA、PB分別相交于點E、F，已知MN＝6cm．（1）求△OEF的周長；（2）連接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代數(shù)式表示）；（3）當∠a＝30°，判定△PMN的形狀，并說明理由．【考點】軸對稱的性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到EM＝EO，F(xiàn)N＝FO，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到∠MPA＝∠OPA，∠NPB＝∠OPB，根據(jù)角的和差關(guān)系解答；（3）根據(jù)等邊三角形的判定定理證明．【解答】解：（1）∵M，N分別是點O關(guān)于PA、PB的對稱點，∴EM＝EO，F(xiàn)N＝FO，∴△OEF的周長＝OE+OF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝6cm；（2）連接OP，∵M，N分別是點O關(guān)于PA、PB的對稱點，∴∠MPA＝∠OPA，∠NPB＝∠OPB，∴∠MPN＝2∠APB＝2a；（3）∵∠a＝30°，∴∠MPN＝60°，∵M，N分別是點O關(guān)于PA、PB的對稱點，∴PM＝PO，PN＝PO，∴PM＝PN，∴△PMN是等邊三角形．【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定、角平分線的定義，掌握軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．17．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的長．【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB＝∠DBC，根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB＝∠BDF，所以∠DBC＝∠BDF，得BE＝DE，即可用AAS證△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，知BC＝23，在Rt△BCD中，CD＝2，∠EDC＝30°，知CE=233，所以BE＝BC﹣【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝∠C＝90°，∴∠DBC＝∠BDF，∴BE＝DE，在△DCE和△BFE中，∠BEF∴△DCE≌△BFE（AAS）；（2）在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠ADB＝∠DBC＝30°，∴BC＝23，在Rt△ECD中，∵CD＝2，∠EDC＝30°，∴DE＝2EC，∴（2EC）2﹣EC2＝CD2，∴CE=2∴BE＝BC﹣EC=4【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．18．如圖，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．（1）作點A關(guān)于BD的對稱點C；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖中，連接BC，DC，連接AC，交BD于點O．①求證：四邊形ABCD是菱形；②取BC的中點E，連接OE，若OE=132，BD＝10，求點E到【考點】作圖﹣軸對稱變換；等腰三角形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于直線的對稱點的畫法，過點A作BD的垂線段并延長一倍，得對稱點C；（2）①根據(jù)菱形的判定即可求解；②過B點作BF⊥AD于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理得到OB＝5，OA＝12，AD＝13，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【解答】解：（1）如圖所示：點C即為所求；（2）①證明：∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵C是點A關(guān)于BD的對稱點，∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；②過B點作BF⊥AD于F，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=12BD＝∵E是BC的中點，OA＝OC，∴BC＝2OE＝13，∴OC=BC∴OA＝12，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝13，∴BF=12×故點E到AD的距離是12013【點評】此題主要考查了基本作圖以及軸對稱變換的作法、菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識，得出BC，AC的長是解題關(guān)鍵．19．如圖，點P是∠AOB外的一點，點Q是點P關(guān)于OA的對稱點，點R是點P關(guān)于OB的對稱點，直線QR分別交∠AOB兩邊OA，OB于點M，N，連接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度數(shù)．【考點】軸對稱的性質(zhì)．【專題】幾何圖形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)點P與點Q關(guān)于直線OA對稱可知OM是線段PQ的垂直平分線，故PM＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠PQM的度數(shù)，同理可得出PN＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定義得出∠PNQ的度數(shù)，由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵點Q和點P關(guān)于OA的對稱，點R和點P關(guān)于OB的對稱∴直線OA、OB分別是PQ、PR的中垂線，∴MP＝MQ，NP＝NR，∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO，∵∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70°∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°∴∠MQP＝57°，∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°，∴∠QPN＝17°．【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，已知四邊形ABCD為矩形，AB＝22，BC＝4，點E在BC上，CE＝AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．（1）求EF的長；（2）求sin∠CEF的值．【考點】翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；矩形的性質(zhì)．【專題】矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）17；（2）834【分析】（1）根據(jù)翻折變換的特點和勾股定理結(jié)合方程思想解答即可；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，根據(jù)翻折可得：∠ECA＝∠FCA，∠BAC＝∠CAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴DA∥CB，∴∠ECA＝∠CAD，∴∠EAC＝∠CAD，∴∠DAF＝∠BAE，∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝90°，設CE＝AE＝x，則BE＝4﹣x，在△BAE中，根據(jù)勾股定理可得：BA2+BE2＝AE2，即：(22解得：x＝3，在Rt△EAF中，EF=AF（2）過點F作FG⊥BC交BC于點G，設CG＝y(tǒng)，則GE＝3﹣y，∵FC＝4，F(xiàn)E=17∴FG2＝FC2﹣CG2＝FE2﹣EG2，即：16﹣y2＝17﹣（3﹣y）2，解得：y=4∴FG=F∴sin∠CEF=FG【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)，熟練掌握這些性質(zhì)特點是解答本題的關(guān)鍵．

考點卡片1．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．2．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．3．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．5．菱形的判定與性質(zhì)（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．6．矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質(zhì)①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．7．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．8．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。?．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．10．生活中的軸對稱現(xiàn)象（1）軸對稱的概念：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱軸對稱；這條直線叫做對稱軸．（2）軸對稱包含兩層含義：①有兩個圖形，且這兩個圖形能夠完全重合，即形狀大小完全相同；②對重合的方式有限制，只能是把它們沿一條直線對折后能夠重合．11．軸對稱的性質(zhì)（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個圖形的對應點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就