專題04統(tǒng)計(jì)與概率（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)能根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇合適的統(tǒng)計(jì)量分析數(shù)據(jù)基礎(chǔ)必考點(diǎn)，選擇題中出現(xiàn)頻率高，概念易混淆方差與標(biāo)準(zhǔn)差理解方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，能計(jì)算并分析數(shù)據(jù)的離散程度計(jì)算難點(diǎn)，公式記憶要求高，意義理解程度要求較高頻數(shù)分布表與直方圖能從統(tǒng)計(jì)圖表中提取信息并進(jìn)行分析信息提取、讀圖能力考查必考簡單事件的概率能計(jì)算簡單隨機(jī)事件的概率概率基礎(chǔ)，等可能性的理解考查用列舉法求概率能用列表、畫樹狀圖等方法求等可能事件的概率方法應(yīng)用難點(diǎn)，樹狀圖法知識點(diǎn)01數(shù)據(jù)的集中趨勢1.平均數(shù)：??2.加權(quán)平均數(shù)：3.中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按大小排列后位于中間位置的數(shù)4.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)·示例：1.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3的平均數(shù)是3，那么另一組數(shù)據(jù)2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均數(shù)為．【解答】由條件可知13∴x1+x2+x3＝9，則數(shù)據(jù)2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均數(shù)為：13(2x=23(x1+x2+x2．樂樂參加了學(xué)校廣播站招聘小記者的三項(xiàng)素質(zhì)測試，成績（百分制）如下：采訪寫作60分，計(jì)算機(jī)操作70分，創(chuàng)意設(shè)計(jì)80分．若采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作和創(chuàng)意設(shè)計(jì)的成績分別按50%，20%，30%的比例計(jì)算最終成績，則他的素質(zhì)測試的最終成績?yōu)椋ǎ〢．67分 B．68分 C．70分 D．72分【解答】60×50%+70×20%+80×30%＝30+14+24＝68（分）．故選：B．3.“五銖錢”（如圖所示）是我國古代的一種銅制貨幣，某古幣愛好者收藏了7枚“五銖錢”，測得它們的質(zhì)量（單位：g）分別為3.5，3.4，3.5，3.4，3.3，3.3，3.5．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4【解答】將數(shù)據(jù)從小到大排列，中間的是3.4，中位數(shù)為3.4；3.5出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)是3.5，故選：B．·易錯(cuò)點(diǎn)：求中位數(shù)時(shí)未先將數(shù)據(jù)排序；加權(quán)平均數(shù)中權(quán)重理解錯(cuò)誤；眾數(shù)可能有多個(gè)或不存在.知識點(diǎn)02數(shù)據(jù)的離散程度1.極差：最大值與最小值的差.2.方差：3.標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.·示例：1.一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均數(shù)是b，則另一組數(shù)據(jù)3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均數(shù)分別是（）A．a(chǎn)，b B．9a，3b+2 C．3b，2a D．3a+2，b+2【解答】∵數(shù)據(jù)x1，x2，x3，……，xn的方差是a，平均數(shù)是b，∴數(shù)據(jù)3x1+2，3x2+2，3x3+2，……，3xn+2的方差和平均數(shù)分別是32a＝9a，3b+2．故選：B．2.一組數(shù)據(jù)5，2，5，7，6的方差為．【解答】∵數(shù)據(jù)5，2，5，7，6的平均數(shù)為：（5+2+5+7+6）÷5＝5，∴這組數(shù)據(jù)的方差S2=15×[（5﹣5）2+（5﹣2）2+（5﹣5）2+（5﹣7）2+（5﹣6）2]故答案為：2.8．3.某校甲乙兩班聯(lián)合舉辦了消防知識競賽，從甲班和乙班各隨機(jī)抽取10名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)這部分學(xué)生的競賽成績，結(jié)果如下：甲班10名學(xué)生競賽成績：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89乙班10名學(xué)生競賽成績：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81（1）已知兩班的數(shù)據(jù)分析如下表：班級平均數(shù)中位數(shù)方差甲班8079S甲乙班80a27求a，S甲（2）甲班共有學(xué)生50人，乙班共有學(xué)生45人，按競賽規(guī)定，80分及80分以上的學(xué)生獲獎(jiǎng)，估計(jì)這兩個(gè)班獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)．【解答】解：（1）乙班成績從低到高排列為：73，74，75，77，80，80，81，85，85，90，故中位數(shù)a=80+802S甲2=110×[（85﹣80）2+（78﹣80）2+（86﹣80）2+（79﹣80）2×2+（72﹣80）2+（91﹣80）2+（71﹣80）2+（70﹣80）2+（89﹣80（2）根據(jù)題意得：（×410答：估計(jì)這兩個(gè)班可以獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)大約是47人．·易錯(cuò)點(diǎn)：方差公式記憶錯(cuò)誤；計(jì)算方差時(shí)未先求平均數(shù)；混淆方差與標(biāo)準(zhǔn)差.知識點(diǎn)03概率的基本概念1.概率定義：事件A發(fā)生的概率P（A）＝eq\f(m,n)2.概率范圍：0≤P(A)≤13.必然事件：P(A)=14.不可能事件：P(A)=0·示例：1.二十四節(jié)氣是一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的歷法，是中華民族勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶．從二十四節(jié)氣中隨機(jī)選取一個(gè)節(jié)氣，剛好抽到“驚蟄”這個(gè)節(jié)氣的概率是（）A．124 B．112 C．16 【解答】剛好抽到“驚蟄”這個(gè)節(jié)氣的概率是124．故選：A2．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，已有兩個(gè)小正方形被涂黑，再將圖中剩余的小正方形中任意一個(gè)涂黑，則三個(gè)被涂黑的小正方形能構(gòu)成軸對稱圖形的概率是（）A．17 B．37 C．47 【解答】解：如圖①②③任意一處涂黑時(shí)，圖案為軸對稱圖形，∵共有7個(gè)空白處，將①②③處任意一處涂黑，圖案為軸對稱圖形，共3處，∴構(gòu)成軸對稱圖形的概率是37故選：B．3.在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球，共20個(gè)．其中紅球5個(gè)，白球9個(gè)．①從中任意摸出一個(gè)球，求摸出的球是黑球的概率；②小明從盒子里取出m個(gè)白球（其他顏色的球數(shù)量沒有改變），使得從盒子里任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為25，請求出m【解答】解：（1）因?yàn)楣?0個(gè)球，其中紅球5個(gè)，白球9個(gè)，所以黑球有20﹣5﹣9＝6（個(gè)），從中任意摸出一個(gè)球，求摸出的球是黑球的概率為620（2）因?yàn)槿我饷鲆粋€(gè)球是黑球的概率為25所以盒子中球的總量為：6÷25=15所以可以將盒子中的白球拿出20﹣15＝5（個(gè)），所以m＝5．·易錯(cuò)點(diǎn)：未明確所有等可能的結(jié)果數(shù)，概率計(jì)算結(jié)果未化簡，對“等可能性”理解不足.知識點(diǎn)04用列舉法求概率列表法：適用于兩個(gè)因素的問題2.畫樹狀圖法：適用于多個(gè)步驟的問題3.注意事項(xiàng)：列舉時(shí)要做到不重不漏·示例：1.做投球?qū)嶒?yàn)的裝置如圖所示．實(shí)驗(yàn)時(shí)，將小球從M處投入，通過管道落入甲、乙、丙、丁4個(gè)盒子．已知小球從每個(gè)岔口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．（1）若投入一個(gè)小球，求它通過管道B的概率．（2）若投入足夠數(shù)量的小球直到某個(gè)盒子被填滿為止，下列說法正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①最先填滿的是甲盒；②4個(gè)盒子中的小球的數(shù)量一樣多；③甲盒中小球數(shù)量小于乙盒中小球數(shù)量；④乙盒中小球數(shù)量和丙盒中小球數(shù)量大致相等．【解答】解：（1）如圖，將第一層的兩個(gè)管道分別記為P，Q，小球通過兩層管道下落，可能出現(xiàn)的結(jié)果共有4種，即（P，A），（P，B），（Q，B），（Q，C），它們出現(xiàn)的可能性相同．所有的結(jié)果中，滿足小球通過管道B（記為事件N）的結(jié)果有2種，分別是（P，B），（Q，B），∴P(（2）如圖，畫樹狀圖，∴落在甲盒的概率為18，落在乙盒的概率為38，落在丙盒的概率為38①最先填滿的是乙盒或丙盒，原選項(xiàng)錯(cuò)誤；②4個(gè)盒子中的小球的數(shù)量不一定一樣多，原選項(xiàng)錯(cuò)誤；③甲盒中小球數(shù)量小于乙盒中小球數(shù)量，原選項(xiàng)正確；④乙盒中小球數(shù)量和丙盒中小球數(shù)量大致相等，原選項(xiàng)正確；∴③④正確，故答案為：③④．·易錯(cuò)點(diǎn)：列舉時(shí)遺漏某些情況，未區(qū)分有序還是無序選擇，樹狀圖畫法不規(guī)范.題型一統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算與分析解｜題｜技｜巧1.根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇合適的統(tǒng)計(jì)量2.極端值對平均數(shù)影響大，對中位數(shù)影響小3.方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥當(dāng)數(shù)據(jù)中有極端值時(shí)，用中位數(shù)描述集中趨勢更合理。【典例1】若x1，x2，x3，x4的平均數(shù)為4，x5，x6，x7，?，x10的平均數(shù)為6，則x1，x2，x3，?，x10的平均數(shù)為（）A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4【解答】x1+x2+x3+x4＝16，x5+x6+x7+x8+x9+x10＝36，則x1，x2，x3，?，x10的平均數(shù)為：x1=(=16+3610=5210故選：C【典例2】一組數(shù)據(jù)﹣1，2，﹣3，a，5的唯一眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．5【解答】由題意可得：數(shù)據(jù)的唯一眾數(shù)是2，∴2為眾數(shù)，a為2，將數(shù)據(jù)按從小到大排列：﹣3，﹣1，2，2，5，∴中位數(shù)為第三個(gè)數(shù)，即2，故選：B．【典例3】某同學(xué)在八年級下學(xué)期參加了四次單元過關(guān)，以及期中和期末考試，所有考試的數(shù)學(xué)成績?nèi)绫硭荆舾鶕?jù)如圖所示的權(quán)重計(jì)算本學(xué)期的總評成績，則小明在下學(xué)期的總評成績是分．測試類型單元測試期中期末1234成績（分）908586899088【解答】（90+85+86+89）×14×10%+90×（1﹣10%﹣60%）+88×60%【典例4】為激發(fā)青少年崇尚科學(xué)、探索未知的熱情，學(xué)校開展“科學(xué)小達(dá)人”知識競賽．各班以小組為單位組織初賽，規(guī)定滿分為10分，9分及以上為優(yōu)秀．?dāng)?shù)據(jù)整理：小明將本班甲、乙兩組同學(xué)（每組8人）初賽成績整理為如下統(tǒng)計(jì)圖：數(shù)據(jù)分析：小明對這兩個(gè)小組的成績進(jìn)行了如下分析：平均數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）方差優(yōu)秀率甲組7.625a74.4837.5%乙組7.6257b0.7325%請認(rèn)真閱讀上述信息，回答下列問題：（1）求出表格中a、b的值；（2）小亮同學(xué)說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中略偏上！”觀察上面表格判斷，小亮可能是乙組的學(xué)生（填“甲”或“乙”）；（3）結(jié)合以上信息，你認(rèn)為哪個(gè)小組的初賽成績較好？并說出兩條理由．【解答】解：（1）數(shù)據(jù)重新排列為：3，7，7，7，8，9，10，10；位于中間的兩個(gè)數(shù)為7和8，故中位數(shù)為：a=在乙組中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是7分；故b＝7；（2）甲的中位數(shù)為7.5，乙組的中位數(shù)為7；小明得了7分，在我們小組中略偏上，∴小明可能是乙組的學(xué)生；故答案為：乙；（3）甲組的初賽成績較好；理由；①從中位數(shù)的角度看，甲組成績比乙組好；②從優(yōu)秀率的角度看，甲組成績比乙組好；【變式1】為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校開展主題為“多彩非遺，國韻傳揚(yáng)”的演講比賽．評委從演講的內(nèi)容、能力、效果三個(gè)方面為選手打分，各項(xiàng)成績均按百分制計(jì)．進(jìn)入決賽的前兩名選手需要確定名次（不能并列），他們的單項(xiàng)成績?nèi)绫硭荆哼x手內(nèi)容能力效果甲988488乙888597（1）分別計(jì)算甲、乙兩名選手的平均成績（百分制），能否以此確定兩人的名次？（2）如果評委認(rèn)為“內(nèi)容”這一項(xiàng)最重要，內(nèi)容、能力、效果的成績按照4：3：3的比確定，以此計(jì)算兩名選手的平均成績（百分制），并確定兩人的名次；（3）如果你是評委，請按你認(rèn)為各項(xiàng)的“重要程度”設(shè)計(jì)三項(xiàng)成績的比，并解釋設(shè)計(jì)的理由．【解答】解：（1）甲的平均成績?yōu)椋?8+84+883=乙甲的平均成績?yōu)椋?8+85+973=所以不能以此確定兩人的名次；（2）甲的平均成績?yōu)椋?8×4+84×3+88×34+3+3=乙甲的平均成績?yōu)椋?8×4+85×3+97×34+3+3=∵90.8＞89.8，∴甲排第一，乙排第二；（3）將內(nèi)容、能力和效果三項(xiàng)得分按3：4：3的比例確定各人的測試成績，確定錄用者，因?yàn)槟芰Ρ葍?nèi)容更重要（答案不唯一）．【變式2】兩組數(shù)據(jù)2，a，2b，4與a，4，b的平均數(shù)都是5，若將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．【解答】解：∵兩組數(shù)據(jù)2、a、2b、4與a、4、b的平均數(shù)都是5，∴2+a解得：a=8∴將這兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)后，從小到大排列為：2、3、4、4、6、8、8，∴中位數(shù)是4，故答案為：4【變式3】某校學(xué)生期末操行評定奉行五育并舉，德智體美勞五方面按3：2：2：2：1確定最終成績，小王同學(xué)本學(xué)期五方面得分如圖所示，則小王同學(xué)期末操行最終得分為．【解答】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法可得：10×3+9×2+8×2+9×2+9×13+2+2+2+1∴小王同學(xué)期末操行最終得分為9.1分．【變式4】已知5個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為3，方差是4；另5個(gè)數(shù)據(jù)x6，x7，x8，x9，x10的平均數(shù)也是3，方差是6．把這兩組數(shù)據(jù)合在一起得到10個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，則這10個(gè)數(shù)據(jù)的方差為．【解答】解：由題意得：15[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2]＝4，15[（x6﹣2）2+（x7﹣2）2+（x8﹣2）2+（x9﹣2）2+（x10﹣2）2]＝∴（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2＝20，（x6﹣2）2+（x7﹣2）2+（x8﹣2）2+（x9﹣2）2+（x10﹣2）2＝30，∴110[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+（x4﹣2）2+（x5﹣2）2+（x6﹣2）2+（x7﹣2）2+（x8﹣2）2+（x9﹣2）2+（x10﹣2）2]=110×(20+30)=5題型二概率的計(jì)算答｜題｜模｜板1.明確所有等可能的結(jié)果數(shù)n2.確定事件A包含的結(jié)果數(shù)m3.計(jì)算P（A）＝eq\f(m,n)4.驗(yàn)證概率的合理性【典例1】在一個(gè)不透明的布袋中，有大小、形狀完全相同，顏色不同的15個(gè)球，從中摸出紅球的概率為13A．2 B．5 C．10 D．12【解答】設(shè)袋中有紅球x個(gè)，由題意得：x15解得：x＝5，即袋中紅球的個(gè)數(shù)為5，故選：B．【典例2】小明把如圖所示的平行四邊形紙板掛在墻上，玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會都相等），則飛鏢落在白色區(qū)域的概率是（）A．14 B．34 C．12 【解答】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得S1＝S2，平行四邊形的對角線把平行四邊形分成的四個(gè)面積相等的三角形，則白色部分的面積占34概率為：34故選：B．【典例3】數(shù)學(xué)興趣小組為探究事件A發(fā)生的概率，進(jìn)行試驗(yàn)并將數(shù)據(jù)匯總填入下表：試驗(yàn)總次數(shù)n100200300400500600事件A出現(xiàn)的次數(shù)m2448b104125150事件A發(fā)生的頻率ma0.240.250.260.250.25（1）表中a＝，b＝；（2）根據(jù)如表，完成如圖的折線統(tǒng)計(jì)圖；（3）請你舉出一個(gè)事件，使它發(fā)生的概率符合事件A發(fā)生的概率．【解答】解：（1）a＝24÷100＝0.24，b＝300×0.25＝75，故答案為：0.24，75；（2）折線統(tǒng)計(jì)圖如下所示：（3）有四張完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，小明隨機(jī)抽取一張，抽到數(shù)字為1的概率是多少．【變式1】桌上放有完全相同的三張卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，1，4，隨機(jī)摸出一張卡片（不放回），其數(shù)字為p，隨機(jī)摸出另一張卡片，其數(shù)字記為q，則滿足關(guān)于x的方程x2+px+q＝0有實(shí)數(shù)根的概率是．【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知共有6種等可能結(jié)果，其中使關(guān)于x的方程x2+px+q＝0有實(shí)數(shù)根的結(jié)果有3種結(jié)果，∴關(guān)于x的方程x2+px+q＝0有實(shí)數(shù)根的概率為36故答案為：1【變式2】某人手機(jī)的密碼是四位數(shù)字，如果陌生人想打開該手機(jī)，那么他一次就能打開手機(jī)的概率是．【解答】他一次就能打開手機(jī)的概率是110故答案為：110000【變式3】在一個(gè)盒子中有除顏色外均相同的10個(gè)紅球，8個(gè)綠球和一些黑球，從里面拿出一個(gè)球，拿出綠球的可能性小于13，那么至少有個(gè)【解答】解：∵8個(gè)綠球，綠球的可能性小于13∴球的總數(shù)大于24，∴至少有25﹣10﹣8＝7個(gè)黑球．故答案為：7．題型三統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用答｜題｜模｜板1.從統(tǒng)計(jì)圖表中提取信息2.進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與計(jì)算3.建立概率模型4.結(jié)合實(shí)際情況得出結(jié)論易｜錯(cuò)｜點(diǎn)｜撥綜合題中要注意統(tǒng)計(jì)量與概率之間的聯(lián)系，用數(shù)據(jù)驗(yàn)證.【典例1】2024年11月30日22時(shí)48分，長征十二號運(yùn)載火箭在文昌市東郊鎮(zhèn)的海南商業(yè)航天發(fā)射場成功進(jìn)行了首次發(fā)射，此次發(fā)射不僅拓寬了我國新一代運(yùn)載火箭的型譜，還探索了商業(yè)航天組織、試驗(yàn)、發(fā)射的新模式，對于促進(jìn)我國商業(yè)航天產(chǎn)業(yè)的發(fā)展具有重要意義．同時(shí)，這也意味著海南商業(yè)航天發(fā)射場將為我國民、商大規(guī)模低軌星座組網(wǎng)任務(wù)等空間基礎(chǔ)設(shè)施工程建設(shè)提供強(qiáng)有力的發(fā)射保障．海南商業(yè)航天發(fā)射場的成功建立和使用，填補(bǔ)了我國沒有商業(yè)航天發(fā)射場的空白，完成了商業(yè)航天全產(chǎn)業(yè)鏈閉環(huán)，提升了我國航天發(fā)射能力．為此，某校舉行了一次航天科普知識競賽（百分制），為了更好地了解本次競賽的成績分布情況，隨機(jī)抽取了m名學(xué)生的成績x（單位：分）作為樣本進(jìn)行整理，并將結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．A：50≤x＜60B：60≤x＜70C：70≤x＜80D：80≤x＜90E：90≤x＜100請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息，解答下面的問題：（1）若想了解某班航天科普知識競賽的情況，更適合采用（填寫“普查”或“抽樣調(diào)查”）；（2）m＝，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，D部分所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為°；（3）若從該樣本中隨機(jī)抽取一名學(xué)生航天科普知識競賽的成績，其恰好在“50≤x＜60”范圍的概率是；（4）若成績在“90≤x＜100”為“優(yōu)秀”，則該校參加這次比賽的4700名學(xué)生中成績“優(yōu)秀”的學(xué)生大約有____人．【解答】解：（1）由于了解某班航天科普知識競賽的情況，學(xué)生數(shù)不多且要求精確，因此調(diào)查方式更適合采用普查．（2）m＝30÷0.15＝200，D人數(shù)為：200﹣10﹣20﹣30﹣80＝60，D部分所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為360°×60故答案為：200，108°．（3）恰好在“50≤x＜60”范圍的概率是10200故答案為：0.05．（4）4700×80答：該校參加這次比賽的4700名學(xué)生中成績“優(yōu)秀”的學(xué)生大約有：1880人．【典例2】某校為了解“陽光體育”活動(dòng)的開展情況，從全校2000名學(xué)生中，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每名學(xué)生只能填寫一項(xiàng)自己喜歡的活動(dòng)項(xiàng)目），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）被調(diào)查的學(xué)生共有人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，m＝，n＝，表示區(qū)域C的圓心角是；（3）小明是被問卷調(diào)查的同學(xué)，那么他參加了哪項(xiàng)活動(dòng)的可能性最大？【解答】解：（1）觀察統(tǒng)計(jì)圖知：喜歡乒乓球的有20人，占20%，故被調(diào)查的學(xué)生總數(shù)有20÷20%＝100人，喜歡跳繩的有100﹣30﹣20﹣10＝40人，條形統(tǒng)計(jì)圖為：（2）∵A組有30人，D組有10人，共有100人，∴A組所占的百分比為：30%，D組所占的百分比為10%，∴m＝30，n＝10；表示區(qū)域C的圓心角為40100×360°＝（3）根據(jù)踢毽子的概率為310，喜歡乒乓球的概率為15，喜歡跳繩的概率為25故喜歡跳繩的可能性大．故答案為100，30，10，144°．【變式1】編號為1、2、3、4的4個(gè)小球，不放回的抽取兩次，記m表示這兩個(gè)球號碼的平均數(shù)，記n表示抽取第一個(gè)球的號碼，則m與n差的絕對值超過0.5的概率是（）A．1 B．12 C．13 D【解答】根據(jù)題意畫樹狀圖如下，由樹狀圖得：m與n差的絕對值超過0.5的概率是612故選：B．期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）1.為了落實(shí)“雙減”政策，某學(xué)校對學(xué)生學(xué)期各學(xué)科的學(xué)業(yè)成績規(guī)定如下：平時(shí)作業(yè)成績占20%，期中考試成績占30%，期末考試成績占50%．若小穎數(shù)學(xué)學(xué)科的平時(shí)作業(yè)成績、期中考試成績、期末考試成績分別為80分，90分，92分，則小穎這學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)業(yè)成績?yōu)椋ǎ〢．92分 B．90分 C．89分 D．85分【解答】80×20%+90×30%+92×50%＝89（分），∴小穎這學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)業(yè)成績?yōu)?9分，故選：C．2.已知一組正整數(shù)a，5，b，c，8有唯一眾數(shù)1，中位數(shù)是3，則這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A．3 B．3.6 C．4 D．5.2【解答】∵一組正整數(shù)a，5，b，c，8有唯一眾數(shù)1，中位數(shù)是3，∴這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，1，3，5，8，∴這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（1+1+3+5+8）÷5＝3.6，故選：B．3.甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示，下列說法正確的是（）A．甲的平均成績更高，成績也更穩(wěn)定 B．甲的平均成績更高，但乙的成績更穩(wěn)定 C．乙的平均成績更高，成績也更穩(wěn)定 D．乙的平均成績更高，但甲的成績更穩(wěn)定【解答】根據(jù)方差、平均數(shù)的意義進(jìn)行判斷如下：甲的波動(dòng)比乙小，則甲的成績更加穩(wěn)定；甲的平均成績穩(wěn)定在5以下，而乙的平均成績穩(wěn)定在7.5左右，則乙的平均成績更高；故選：D．4.在一個(gè)不透明袋子中有紅球和黑球共10個(gè)球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機(jī)取出一個(gè)球是紅球的概率是35A．2 B．4 C．6 D．8【解答】由題意得，袋子中紅球的個(gè)數(shù)是10×35=6（個(gè)5.某位射擊運(yùn)動(dòng)員的10次射擊訓(xùn)練成績統(tǒng)計(jì)如下：成績/環(huán)678910次數(shù)11341則10次成績的中位數(shù)為環(huán)．【解答】把射擊運(yùn)動(dòng)員的10次射擊訓(xùn)練成績從小到大排列為：6，7，8，8，8，9，9，9，9，10，∴10次成績的中位數(shù)為：8+92=8.5（環(huán)），故答案為：6．已知一組數(shù)據(jù)：x1，x2，x3，…，xn的方差是3，則另一組數(shù)據(jù)：x1+3，x2+3，…，xn+3的方差是．【解答】數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差是3，設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為x，∴x=根據(jù)方差的計(jì)算公式可得：∴S2設(shè)一組新數(shù)據(jù)x1+3，x2+3，…，xn+3的平均數(shù)為x'∴x=1=1=x根據(jù)方差的計(jì)算公式可得：(S=1＝S2＝3，故答案為：3．如圖是4×4的正方形網(wǎng)格飛漂游戲板，假設(shè)飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是．【解答】陰影部分面積為12×1×1×8＝∵正方形網(wǎng)格的面積為4×4＝16，∴任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是416=14月23日是世界讀書日，為迎接第30個(gè)世界讀書日，某校舉行了“‘閱’見未來”主題誦讀比賽．本次比賽的評委由專業(yè)老師和優(yōu)秀學(xué)生組成．組委會現(xiàn)有兩種評分方案：方案一：取各位評委所給分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，作為選手的最后得分；方案二：從評委所給的分?jǐn)?shù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再取剩余分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，作為選手的最后得分．選手小濤的得分情況如下：（百分制）評委編號12345678910分?jǐn)?shù)71737572997272716570（1）按方案一和方案二分別計(jì)算小濤的最后得分，你認(rèn)為方案一和方案二哪個(gè)較為合理，簡要說明理由．（2）組委會經(jīng)過討論，認(rèn)為評分方案的制定要突出專業(yè)老師的權(quán)威性，適當(dāng)考慮學(xué)生評委的喜愛度．如果1至4號評委由專業(yè)老師擔(dān)任，5至10號評委由優(yōu)秀學(xué)生擔(dān)任．請以表格選手的得分為例，結(jié)合所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識幫助組委會另外設(shè)計(jì)一個(gè)合理的方案．【解答】解：（1）方案一71+73+75+72+99+72+72+71+65+7010方案二：71+73+75+72+72+72+71+708方案二更合理，去掉極端值的平均數(shù)更接近實(shí)際水平．（2）專業(yè)老師1至4號評委的平均分占70%，優(yōu)秀學(xué)生5至10號評委去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后的平均分占比例30%，最終得分為：71+73+75+724理由是：突出專業(yè)老師權(quán)威性，同時(shí)適當(dāng)考慮學(xué)生評委意見并減少極端值影響．為了讓同學(xué)們了解我國航天事業(yè)取得的成就并普及航天知識，某校在“中國航天日”當(dāng)天開展了研學(xué)活動(dòng)，隨后采取自愿報(bào)名的方式，組織了航天知識競賽．競賽結(jié)束后，從競賽成績（單位：分滿分100分均不低于60分）中用科學(xué)的抽樣方法隨機(jī)抽取部分成績，并進(jìn)行整理，繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖．其中B組共有15個(gè)成績，從高到低分別為：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）B組15個(gè)成績的平均數(shù)為分；（2）本次被抽取的所有成績的個(gè)數(shù)為，本次被抽取的所有成績的中位數(shù)為分；（3）學(xué)校決定對本次競賽成績90分及以上的學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，該校共有500名學(xué)生參加競賽，請估計(jì)本次競賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)．【解答】解：（1）B組15個(gè)成績的平均數(shù)為：115×（3×80+2×81+83+84+4×85+86+2×88+89）＝故答案為：84；（2）本次被抽取的所有成績的個(gè)數(shù)為：15÷30%＝50，A組人數(shù)為：50×24%＝12（個(gè)），把50個(gè)成績從大到小排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是80，80，所以本次被抽取的所有成績的中位數(shù)為：80+802=故答案為：50，80；（3）500×24%＝120（人），答：估計(jì)本次競賽的獲獎(jiǎng)人數(shù)為120人．期中重難突破練（測試時(shí)間：10分鐘）1.“體重管理年”三年活動(dòng)由國家衛(wèi)健委聯(lián)合16個(gè)部門共同發(fā)起，宣傳口號是“健康體重，一起行動(dòng)”．某校組織各班開展板報(bào)宣傳活動(dòng)，并對各班的宣傳板報(bào)按如圖所示的占比進(jìn)行評分，每一項(xiàng)滿分10分．已知九（1）班“主題內(nèi)容”“排版設(shè)計(jì)”“文字書寫”三項(xiàng)的得分分別為9分，7分，8分，則該班的最終得分為（）A．7.5分 B．8分 C．8.1分 D．8.5分【解答】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式可得：9×40%+7×30%+8×30%＝8.1（分），故選：C．2．一組數(shù)據(jù)的方差為s2A．5 B．4 C．30 D．20【解答】一組數(shù)據(jù)的方差為s2=15[(故選：D．3.若一組數(shù)據(jù)3，5，7，x，11的平均數(shù)為7，則x＝．【解答】7×5﹣3﹣5﹣7﹣11＝9，故答案為：9．4.七名學(xué)生投籃球，每人投了10個(gè)球后，統(tǒng)計(jì)他們每人投中球的個(gè)數(shù)，得到七個(gè)數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析，得出如下信息：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)最小值m672已知小明投中了4個(gè)，下列判斷①投中6個(gè)的學(xué)生只有1；②可能有學(xué)生投中了9個(gè)；③這七個(gè)數(shù)據(jù)之和可能為42；④m的值可能為5．所有正確推斷的序號是．【解答】由題意中位數(shù)為6，眾數(shù)為7，當(dāng)7個(gè)人的成績?yōu)?，4，6，6，7，7，7，也符合題意，故①錯(cuò)誤；可能有學(xué)生投中了9個(gè)故②正確；當(dāng)7個(gè)人的成績?yōu)?，4，5，6，7，7，10時(shí)，7個(gè)數(shù)的和最大，最大值41，故③錯(cuò)誤，當(dāng)7個(gè)人的成績?yōu)?，2，4，6，7，7，7時(shí)，平均數(shù)為5，故④正確，故答案為：②④．5．若一組數(shù)據(jù)“4，a，5，6，b”的平均數(shù)是5，眾數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的方差為．【解答】∵眾數(shù)為5，∴a，b中至少有一個(gè)是5，∵平均數(shù)為5，∴15∴a+b＝10，∴a，b都是5，∴這組數(shù)據(jù)的方差為15故答案為：256.如圖所示，將球放在頂部，讓它們從頂部沿軌道落下，每一個(gè)小球在交點(diǎn)處有一半的可能向左滑落，有一半的可能向右滑落．球落到底部最中間的概率是．【解答】樹狀圖如下：由圖可知，概率依次是：116，116+316=1則球落到底部最中間的概率是38故答案為：387．第九屆亞冬會于2月14日在哈爾濱市閉幕．某校為了解七、八年級學(xué)生對本屆亞冬會的關(guān)注程度，從這兩個(gè)年級各隨機(jī)抽取n名學(xué)生進(jìn)行了亞冬會知識競賽，競賽成績分六組（x表示得分），A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F(xiàn)：95≤x≤100．成績整理后繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖表：已知八年級競賽成績D組的全部數(shù)據(jù)如下：86，85，87，86，85，89，88．請根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）n＝，a＝；（2）求八年級競賽成績的中位數(shù)；（3）已知該校七、八年級各有500名學(xué)生，若競賽成績不低于90分認(rèn)定對亞冬會關(guān)注程度高，請估計(jì)該校這兩個(gè)年級學(xué)生對亞運(yùn)會關(guān)注程度高的人數(shù)一共有多少人．【解答】解：（1）八年級測試成績D組：85≤x＜90的頻數(shù)為7，由扇形統(tǒng)計(jì)圖知D組占35%，∴進(jìn)行測試d學(xué)生數(shù)為：n＝7÷35%＝20（人），∴2a＝20﹣1﹣2﹣3﹣6，2a＝8，解得：a＝4．故答案為：20；4；（2）A、B、C三組的頻率之和為：5%+5%+20%＝30%＜50%，A、B、C、D四組的頻率之和為：30%+35%＝65%＞50%，∴中位數(shù)在D組，將D組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?5，85，86，86，87，88，89，∵20×30%＝6，第10與第11兩個(gè)數(shù)據(jù)為86，87，∴中位數(shù)為86+872（3）八年級E：90≤x＜95，F(xiàn)：95≤x≤100三組占1﹣30%﹣35%＝35%，共有20×35%＝7人，七年級E：90≤x＜95，F(xiàn)：95≤x≤100兩組人數(shù)為3+1＝4人，兩年級共有7+4＝11人，兩個(gè)年級對亞冬會關(guān)注程度稿的人數(shù)占樣本的1140∴1140估計(jì)對亞運(yùn)會關(guān)注程度高的人數(shù)一共有275人．8.某校舉辦“十佳歌手”演唱比賽，五位評委進(jìn)行現(xiàn)場打分，將甲、乙、丙三位選手得分?jǐn)?shù)據(jù)整理成下列統(tǒng)計(jì)圖表．平均數(shù)中位數(shù)方差甲8.89a乙8.8b0.96丙c80.96根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）求出a，b，c的值；（2）從三位選手中選一位參加市級比賽，你認(rèn)為選誰更合適，請說明理由；（3）在比賽中，往往在所有評委給出的分?jǐn)?shù)中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后計(jì)算余下分?jǐn)?shù)的平均分．如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分之后甲的方差記為d，直接寫出d與a的大小關(guān)系．【解答】解：（1）由甲得分的折線統(tǒng)計(jì)圖可知，甲得分的排序?yàn)椋?0、9、9、8、8，∴甲得分的方差a=15由乙得分的條形統(tǒng)計(jì)圖可知，乙得分的排序?yàn)椋?0、9、9、9、7，∴乙得分的中位數(shù)b＝9；由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，甲的平均數(shù)c＝10×40%+8×60%＝8.8，故c（2）選甲更合適．理由如下：因?yàn)榧?、乙、丙三人平均成績一樣，說明三人實(shí)力相當(dāng)，但是甲的方差最小，說明甲的成績更穩(wěn)定，所以選甲；（3）去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分之后，甲的平均數(shù)為13甲的方差d=13∴0.22＜0.4，即d＜a期中綜合拓展練（測試時(shí)間：15分鐘）1．小瑩在計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差時(shí)，列得沒有化簡的算式：s2=①平均數(shù)是4；②眾數(shù)是5；③中位數(shù)是4；④樣本容量是3．A．①② B．③④ C．①③ D．②④【解答】由題意可知這組數(shù)據(jù)為2、4、5、5，∴平均數(shù)為2+4+5+54=4，故∵5出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)為5，故②符合題意；∵中位數(shù)為4+52=4.5，故共有4個(gè)數(shù)，樣本容量是4，故④不符合題意；故選：A．2．已知一個(gè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn﹣1，xn的平均數(shù)和方差分別為x=3，s2＝2，則新數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2xn﹣1+3，2xn+3A．94 B．98 C．64 D．67【解答】由題意，得x=S2新數(shù)據(jù)平均數(shù)為x=2[1=2x＝9，新數(shù)據(jù)方差為s=1=4×1＝8，故選：B．3.如圖，在直徑BC為22的圓內(nèi)有一個(gè)圓心角為90°的扇形ABC．隨機(jī)地往圓內(nèi)投