專題1.2解直角三角形（舉一反三講義） 【北師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1已知兩邊解直角三角形】 2【題型2已知一銳角和一邊解直角三角形】 3【題型3已知一銳角的三角比的值和一邊解直角三角形】 3【題型4解一圖多三角形的直角三角形】 4【題型5解非直角三角形】 6【題型6四邊形中解直角三角形】 7【題型7網(wǎng)格中解直角三角形】 8【題型8坐標(biāo)系中解直角三角形】 9【題型9解直角三角形與函數(shù)】 10【題型10解直角三角形解決動(dòng)點(diǎn)問題】 12知識(shí)點(diǎn)1解直角三角形的概念一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．知識(shí)點(diǎn)2解直角三角形的依據(jù)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，（1）三邊之間的關(guān)系：a2（2）兩銳角之間的關(guān)系：∠A+（3）邊角之間的關(guān)系：sinA=ac，知識(shí)點(diǎn)3解直角三角形的基本類型及解法解直角三角形有四種基本類型：①已知斜邊和一直角邊；②已知兩直角邊；③已知斜邊和一銳角；④已知一直角邊和一銳角．其解法步驟列表如下：已知類型已知條件解法步驟圖示兩邊斜邊c、一直角邊（如a）（1）b=c（2）由sinA=ac（3）∠Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠兩直角邊（a，b）（1）c=a（2）由tanA=ab（3）∠一邊一角斜邊c、一銳角（如∠A（1）∠B（2）由sinA=ac（3）由cosA=b一直角邊、一銳角（如a、∠A（1）∠B（2）由tanA=ab（3）由sinA=a【題型1已知兩邊解直角三角形】【例1】（2425九年級(jí)上·福建漳州·期末）據(jù)說古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如圖所示，他們用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，則cosα等于（

）A．35 B．45 C．34【變式11】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，【變式12】（2425九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，解這個(gè)直角三角形．【變式13】在直角三角形ABC中，若2AB=AC，則cosC的值為（

A．12或235 B．12或255 C．32【題型2已知一銳角和一邊解直角三角形】【例2】（2425九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形OABC中，∠A=∠OBC=90°，若AB=BC=1，∠AOB=α，則OC2的值為（A．1sin2α+1 B．sin2α+1【變式21】（2025·廣東云浮·一模）如圖小明在點(diǎn)C處測得樹頂端A的仰角為α，且BC=10米，則樹高度AB為（

）米．A．10tanα B．10tanα C．10【變式22】（2425九年級(jí)上·上海寶山·階段練習(xí)）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的長等于（

A．2sinα B．2sinα C．【變式23】（2425九年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在線段AC上，且∠A=30°，∠BDC=60°，AD=2，則BC=．【題型3已知一銳角的三角比的值和一邊解直角三角形】【例3】（2025九年級(jí)下·河北石家莊·專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，∠EAF=30°，AH是BC邊上的高，若AH=53，tan∠BAE=15，則A．53?1 B．10?3 C．10?2【變式31】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E為AC的中點(diǎn)，連接DE．若AB=26,CD=6,sinB=513，則A．34 B．234 C．4 D．8【變式32】（2425九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，點(diǎn)P在線段BC上，AB⊥BC，AP⊥DP，CD⊥DP，若BC=18，AB=4，tanC=12，則DP【變式33】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，過點(diǎn)A作CD的垂線，分別交BC、CD于點(diǎn)E、F．若tan∠CAE=23，AE=26，則A．39 B．813 C．613【題型4解一圖多三角形的直角三角形】【例4】（2425九年級(jí)下·福建泉州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形．如圖，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，EF為折痕，則∠ACE的余弦值為（

）A．3?17 B．12 C．1【變式41】如圖，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE//AC交BC于點(diǎn)E，那么DE的長為．

【變式42】（2025·四川綿陽·三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，與AC交于點(diǎn)E，連接CD，且sin∠CDE=725，則A．3345 B．154 【變式43】（2425九年級(jí)下·黑龍江佳木斯·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′E∥BC，則AE

A．53 B．7 C．52【題型5解非直角三角形】【例5】（2425九年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，cosC=14，CA=CB=4，則sinA．102 B．153 C．64【變式51】（2425九年級(jí)上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，△ABC的底邊BC上的高為h1，△PQR的底邊QR上的高為h2，則有（A．h1=h2 B．h1【變式52】（2425九年級(jí)上·重慶·期中）如圖，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DB=DC，AB與CD相交于點(diǎn)E，∠BDC=∠BAC，連接DA，若AC=4，DA=13，tan∠DBA=12【變式53】如圖，在△ABC中，AB=AC=4，cosB=14，BD是中線，將△ABC沿直線BD翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，那么CE【題型6四邊形中解直角三角形】【例6】（2025·廣東深圳·三模）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖，兩條傘骨所成的角∠BAC=132°，點(diǎn)D在傘柄AP上，AE=AF=DE=DF=m，則AD的長度可表示為（A．msin66° B．mcos66°【變式61】（2425九年級(jí)下·甘肅平?jīng)觥て谥校┤鐖D，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為AD的中點(diǎn)，連接OE，∠ABC=60°，BD=43，則OE=（

A．4 B．26 C．2 D．【變式62】（2025·湖北·中考真題）如圖，折疊正方形ABCD的一邊BC，使點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)F處，折痕BE交AC于點(diǎn)G．若DE=22，則CG的長是（

A．2 B．2 C．2+1 D．【變式63】（2025·湖南婁底·三模）如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB=8,E,F分別為AD,BC邊上的點(diǎn)，且BF=3，將矩形ABCD沿直線EF折疊，得到四邊形EFNM，點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N（點(diǎn)M落在AD上方），連接CN，當(dāng)C,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，AE的長為（

）A．2 B．43 C．163【題型7網(wǎng)格中解直角三角形】【例7】（2025·湖北·三模）如圖，由7個(gè)形狀、大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若每個(gè)正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC的面積是（）A．2 B．23 C．4 D．【變式71】在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，那么sin∠ACBA．52 B．55 C．25【變式72】（2425九年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，已知點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，AB與CD相交于點(diǎn)P，則sin∠APC的值為（

A．55 B．255 C．2【變式73】如圖，在由10個(gè)完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin(α+β)=（

A．277 B．77 C．2【題型8坐標(biāo)系中解直角三角形】【例8】（2025·河南周口·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，D為邊BC上一點(diǎn)，且BD=2CD，M為邊OA上一點(diǎn)，將四邊形ABDM沿DM折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與原點(diǎn)重合，若OC=3，則A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

A．32,?32 B．32,?【變式81】（2025·遼寧盤錦·三模）如圖，直線y=12x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為x的負(fù)半軸上的一點(diǎn)，連接BC，過點(diǎn)C作CD⊥BC，與線段AB交于點(diǎn)D，若CD=CB，則點(diǎn)DA．?13,1 B．?143,【變式82】（2025·山西晉城·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，連接對(duì)角線OB，P是OB上一點(diǎn)，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,4，若將線段BP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B恰好落在x軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）

A．43,83 B．83,【變式83】（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)Rt△OAB，∠ABO=90°，∠AOB=30°，直角邊OB在y軸正半軸上，點(diǎn)A在第一象限，且OA=1，將Rt△OAB繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，同時(shí)把各邊長擴(kuò)大為原來的兩倍即（OA1=2OA）．得到Rt△OA1B1，同理，將Rt△OA1【題型9解直角三角形與函數(shù)】【例9】（2025·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖是一個(gè)正六邊形軌道示意圖，機(jī)器人P（看成點(diǎn)）從頂點(diǎn)B出發(fā)，沿著軌道按逆時(shí)針方向勻速移動(dòng)，其路線為B→C→D→E→F→A．若移動(dòng)時(shí)間為x，由A，B，P三個(gè)點(diǎn)圍成的三角形（陰影部分）的面積為y，則y與x關(guān)系的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式91】（2425九年級(jí)下·河南南陽·期中）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A?D?C向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作對(duì)角線AC的垂線，交矩形ABCD的邊于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,AQ的長為y．其中y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致如圖2所示，則m的值為（

）A．3 B．11 C．13 D．15【變式92】（2025·河南焦作·一模）如圖（1），在矩形ABCD中，AC是對(duì)角線，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線CAB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，PE?CE=y（當(dāng)點(diǎn)P，E或C，E重合時(shí)，設(shè)PE=0或CE=0），y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）所示，則m的值為．【變式93】如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿折線B?C?D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止．圖2是點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t函數(shù)關(guān)系的圖象，則a的值是【題型10解直角三角形解決動(dòng)點(diǎn)問題】【例10】（2025·河南南陽·模擬預(yù)測）如圖，已知點(diǎn)A從點(diǎn)1,0出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)，A為頂點(diǎn)作菱形OABC，使點(diǎn)B，C在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,3，設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)了ts，則在點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t=時(shí)，△OCP【變式101】（2025·河北廊坊·一模）如圖，直線AB∥CD，E為AB上的一定點(diǎn)，P為CD上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為平面內(nèi)直線AB與CD之間的一點(diǎn)（點(diǎn)Q不在直線AB和直線CD上），連接EQ，PQ．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，若始終有∠BEQ=∠DPQ=α（結(jié)論I：結(jié)論II：△EPQ的面積為定值．A．只有結(jié)論I正確 B．只有結(jié)論II正確C．結(jié)論I、II都正確 D．結(jié)論I、II都不正確【變式102】（2025·安徽合