試卷第=page3030頁，共=sectionpages3131頁2025年中考數(shù)學(xué)真題完全解讀（廣東省卷）2025年廣東省中考數(shù)學(xué)除廣州市、深圳市外，其他地市統(tǒng)一命題考試。與去年試卷相比，題量、分值分布等保持一致，依舊是包含了23道試題，總分為120分，考試時間為120分鐘。本套試卷充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，在遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》的基礎(chǔ)上，很好地展示了中考命題對基礎(chǔ)知識、基本技能和綜合能力的要求，更加注重對學(xué)生思維過程的考查。在題型豐富度與情境應(yīng)用方面也大有提升，選擇題、填空題除大多數(shù)都是比較基礎(chǔ)常規(guī)的試題，也設(shè)置了一部分靈活性較強的試題，解答題則緊扣社會熱點與現(xiàn)實情境，充分考查學(xué)生利用所學(xué)知識解答問題的能力，如利用某跨海鋼箱梁懸索橋為背景考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用、以廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動時間不低于兩小時的通知》為背景考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計等，這些都是貼近生活且可以突出學(xué)生實踐性能力。此次中考試題在秉持“基礎(chǔ)考查為主”的原則上，在后面的大題也注重了對高階思維能力的評價，鼓勵學(xué)生從多角度思考并運用所學(xué)知識解決問題，試題的創(chuàng)新意識方面也做了較為突出的嘗試。試卷能較為準確地反映學(xué)生對基礎(chǔ)知識與綜合運用能力的掌握水平，很好體現(xiàn)了中考具有的學(xué)業(yè)水平測試和選拔的雙重功能。1.與2024年中考真題相比，本次中考的題目素材更新穎，情境設(shè)置更豐富，對想拿高分的學(xué)生的要求會更高。2.保留一些常規(guī)的科學(xué)記數(shù)法、三視圖、因式分解、實數(shù)運算、數(shù)據(jù)分析、方程實際應(yīng)用等考點。但部分試題對關(guān)鍵幾何定理與函數(shù)性質(zhì)等的靈活運用要求更高。3.解答題深化情境，題目情境更貼近現(xiàn)實，如“跨海大橋”、“無人機測距”等，要求學(xué)生在真實場景中綜合運用函數(shù)、幾何等知識點，重視對閱讀理解與分析能力的考驗。4.最后一道大題相對于去年，其綜合性更強，雖依舊是以“反比例函數(shù)與幾何綜合”進行命題，但還綜合了黃金分割、解分式方程（化為一元一次）、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題等知識，同時還存在尺規(guī)作圖，對學(xué)生來說，本道題的處理難度較大。5.本套題需要學(xué)生精確解讀新穎情境，梳理數(shù)學(xué)模型，語言表達與邏輯思維并重。同時對學(xué)生的幾何推理論證、函數(shù)圖象性質(zhì)、統(tǒng)計與概率知識等要求提高，解答試題往往需跨章節(jié)調(diào)動知識，體現(xiàn)思維的靈活性和深度?！?025年廣東省中考真題數(shù)學(xué)試卷”考情分析。根據(jù)試卷給出的題目與答案，整份試卷包括以下題型：①選擇題（10小題，約占總分值的25%）②填空題（5小題，約占總分值的12.5%）③解答題（8小題，約占總分值的62.5%）接下來，通過表格的形式呈現(xiàn)各題目的分值分布、題型、考查內(nèi)容以及難易分析。下表按試題順序排列：題號難度系數(shù)詳細知識點選擇題10.85相反意義的量20.85用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)30.85二次根式的乘法40.85畫小立方塊堆砌圖形的三視圖50.85與三角形中位線有關(guān)的證明；根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)60.85求中位數(shù)；求眾數(shù)70.85增長率問題(一元二次方程的應(yīng)用)80.85從函數(shù)的圖象獲取信息90.65半圓（直徑）所對的圓周角是直角；求扇形面積；用勾股定理解三角形；幾何概率100.65求角的正切值；根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長；相似三角形的判定與性質(zhì)綜合填空題110.85提公因式法分解因式120.85求兩個位似圖形的相似比130.85根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況140.94特殊三角形的三角函數(shù)；零指數(shù)冪150.85待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答題160.85解分式方程（化為一元一次）170.65切線的性質(zhì)定理；等邊對等角180.85待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；其他問題(實際問題與二次函數(shù))190.65利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明；根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長；與三角形中位線有關(guān)的證明；斜邊的中線等于斜邊的一半200.85由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量；條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)；統(tǒng)計表210.65其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）220.4數(shù)字類規(guī)律探索；勾股樹（數(shù)）問題；圖形類規(guī)律探索；運用平方差公式進行運算230.4反比例函數(shù)與幾何綜合；黃金分割；解分式方程（化為一元一次）；一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題在備考中考數(shù)學(xué)的過程中，除了要熟悉題型與真題結(jié)構(gòu)外，更要根據(jù)自己的學(xué)習(xí)進度和薄弱環(huán)節(jié)，有針對性地進行復(fù)習(xí)與訓(xùn)練。下面是一些具體的方法技巧：總體方針：1.鞏固基礎(chǔ)知識。試卷對基礎(chǔ)知識的考查占一定比例，要確保對實數(shù)運算、方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)知識，以及三角形、四邊形、圓等幾何知識的基本概念、定理和公式熟練掌握，在考試時確?；A(chǔ)題可以快速拿分。2.避免機械式刷題。2025年數(shù)學(xué)試卷題目具有一定創(chuàng)新性和難度梯度，可見“題海戰(zhàn)術(shù)”的備考模式不再適合當下考情。未來的備考方向應(yīng)要多做一些探究性、開放性的題目，培養(yǎng)自己從不同角度思考問題的能力，提高邏輯推理和創(chuàng)新思維能力。3.加強跨學(xué)科與綜合實踐能力。要注重知識的融會貫通，學(xué)會學(xué)以致用；注重課內(nèi)外遷移，學(xué)會將知識轉(zhuǎn)化為能力。同時要多關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，同時留意數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識的關(guān)聯(lián)。4.優(yōu)化時間分配與抗壓能力。部分題目雖然看似基礎(chǔ)，但實際計算量與思維深度遠超預(yù)期；因此，平時備考應(yīng)進行模擬考試訓(xùn)練，適應(yīng)考試節(jié)奏，掌握合理的答題時間分配策略，遇到難題不要過度糾結(jié)，確保會做的題目能拿到分。同時也要提高閱讀速度。不同題型不一樣的方法：1.選擇題：①善用排除法：對于備選選項中明顯違背概念或數(shù)值不合常理的，及時剔除；②注重數(shù)形結(jié)合：有幾何背景時畫示意圖，或在數(shù)軸上定位；③避免粗心：涉及負號或分數(shù)時要聚焦小細節(jié)。2.填空題：①強化計算與變形：如分式混合運算、去括號、提取公因式等，都需要扎實的基本功；②培養(yǎng)“整體代入”思維：若題目中給出a+3.解答題：①書寫規(guī)范，思路清晰：先列出已知條件，再寫出推理過程或方程（函數(shù)），最終呈現(xiàn)結(jié)論；②幾何繪圖：關(guān)鍵輔助線要標明長度、角度、相同線段或角的記號，有助于呈現(xiàn)完整的思路；③綜合運用：將代數(shù)、幾何、函數(shù)、統(tǒng)計等多模塊知識交叉運用，是中考壓軸題的常見形態(tài)，要訓(xùn)練綜合解題的能力。心理調(diào)適與心態(tài)調(diào)整：1.保證平穩(wěn)心態(tài)：中考復(fù)習(xí)周期較長，壓力也較大。遇到難題時不妨先轉(zhuǎn)換思路或暫時跳過，再回頭攻克；保持積極心態(tài)，避免因一兩道題而自我否定。2.分階段逐層突破：第一階段（基礎(chǔ)梳理）：對教材中出現(xiàn)的概念、公式、定理做系統(tǒng)整理，建立知識網(wǎng)絡(luò)；第二階段（專項訓(xùn)練）：結(jié)合往年和本套試卷出現(xiàn)的易錯點，如軸對稱、中心對稱區(qū)分、二次方程根判斷等，做針對性強化；第三階段（綜合模擬）：做整卷模擬訓(xùn)練，著重培養(yǎng)解題速度與應(yīng)試技巧，檢驗薄弱環(huán)節(jié)并及時回補。3.合理安排作息：學(xué)習(xí)與休息需保持平衡。復(fù)習(xí)沖刺期應(yīng)全面避免過度熬夜，保證充足睡眠，有助于提升記憶力和運算準確度。2025年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本試卷共7頁，23小題，滿分120分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號和座位號．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用塑料橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標準質(zhì)量記作，那么低于標準質(zhì)量記作（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】相反意義的量【分析】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)．根據(jù)正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量，即可解答．【詳解】解：∵一只乒乓球的質(zhì)量高于標準質(zhì)量記作，∴那么低于標準質(zhì)量記作．故選：A．2．依據(jù)《廣東省推動低空經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展行動方案（2024-2026年）》，預(yù)計2026年廣東省低空經(jīng)濟規(guī)模將超過3000億元．數(shù)據(jù)3000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定以及的值是解題的關(guān)鍵．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，據(jù)此即可求解．【詳解】解：3000億．故選：D．3．計算的結(jié)果是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【知識點】二次根式的乘法【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．直接相乘得出答案．【詳解】．故選：B．4．如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】畫小立方塊堆砌圖形的三視圖【分析】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．找到從左面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從左面看得第一層有2個正方形，第二層最左邊有一個正方形．∴它的左視圖是：故選：C．5．如圖，點，，分別是各邊上的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】與三角形中位線有關(guān)的證明、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，首先得到，是的中位線，得到，，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵點，，分別是各邊上的中點，∴，是的中位線∴，∴∵∴．故選：C．6．某校機器人編程團隊參加廣東省創(chuàng)意機器人大賽，7位評委給出的分數(shù)為95，92，96，94，95，88，95．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（

）A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96【答案】B【知識點】求中位數(shù)、求眾數(shù)【分析】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，熟知中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后位于中間位置的數(shù)；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將7個評委分數(shù)從小到大排列為：88，92，94，95，95，95，96，中位數(shù)為第4個數(shù)，即95；數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是95（出現(xiàn)3次），故眾數(shù)為95；∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是95，95．故選：B．7．廣東省統(tǒng)計局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來高技術(shù)制造業(yè)呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢．某公司工業(yè)機器人在今年5月產(chǎn)值達到2500萬元，預(yù)計7月產(chǎn)值將增至9100萬元．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，可列出的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】增長率問題(一元二次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，涉及平均增長率問題，理解題意找準等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，根據(jù)連續(xù)兩個月的月均增長率建立方程即可．【詳解】解：設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，根據(jù)題意，得．故選：A．8．在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余的能量與騎行里程之間的關(guān)系如圖．當電池剩余能量小于時，摩托車將自動報警．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（

）A．電池能量最多可充B．摩托車每行駛消耗能量C．一次性充滿電后，摩托車最多行駛D．摩托車充滿電后，行駛將自動報警【答案】C【知識點】從函數(shù)的圖象獲取信息【分析】本題考查了實際問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項求解判斷即可．【詳解】由圖象可得，當時，，∴電池能量最多可充，故A錯誤；，∴摩托車每行駛消耗能量，故B錯誤；由圖象可得，當時，，∴一次性充滿電后，摩托車最多行駛，故C正確；∴摩托車充滿電后，行駛將自動報警，故D錯誤；故選：C．9．如圖，在直徑為的圓內(nèi)有一個圓心角為的扇形．隨機地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】半圓（直徑）所對的圓周角是直角、求扇形面積、用勾股定理解三角形、幾何概率【分析】如圖所示，過點A作于點D，證明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分別求出和，然后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】如圖所示，過點A作于點D∵是直徑∴∵∴是等腰直角三角形∵∴，∴∴，∴該粒米落在扇形內(nèi)的概率為．故選：D．【點睛】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．10．如圖，在矩形中，，是邊上的三等分點，連接，相交于點，連接．若，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求角的正切值、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正切值，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明，得到，然后過點作，得到，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分別求出的長，進而求出的長，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵矩形，，是邊上的三等分點，，，∴，，，，，∴，∴，∴，過點作，則，∴，∴，∴，，∴，∴；故選：B．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．因式分解：．【答案】【知識點】提公因式法分解因式【分析】直接提取公因式ab，進而分解因式得出答案．【詳解】解：a2b+ab2=．故答案為：．【點睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．12．如圖，把放大后得到，則與的相似比是．【答案】【知識點】求兩個位似圖形的相似比【分析】本題考查求兩個位似圖形的相似比，根據(jù)題意，把放大后得到，則與位似，從而得到與的相似比等于對應(yīng)點到位似中心線段的比，即，從而得到答案，掌握相似三角形的相似比與位似圖形之間線段的比例關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：把放大后得到，則與位似，與的相似比為，故答案為：．13．不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是．【答案】有兩個不相等的實數(shù)根【知識點】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的關(guān)鍵．先計算一元二次方程的根的判別式，得出，即可得到結(jié)論【詳解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故答案為：有兩個不相等的實數(shù)根．14．計算的結(jié)果是．【答案】0【知識點】特殊三角形的三角函數(shù)、零指數(shù)冪【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪，熟練記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別計算零指數(shù)冪以及代入特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【詳解】解：，故答案為：0．15．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，但不經(jīng)過原點，則該二次函數(shù)的表達式可以是．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式，先由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，得到，再由二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，得到，從而得確定，若取，即可得到，從而確定函數(shù)表達式．熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)表達式的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點，，則，若取，則，該二次函數(shù)的表達式可以是，故答案為：（答案不唯一）．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16．在解分式方程時，小李的解法如下：第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：檢驗：當時，．第六步：原分式方程的解為．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據(jù)是什么？判斷小李的解答過程是否正確．若不正確，請寫出你的解答過程．【答案】見解析【知識點】解分式方程（化為一元一次）【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時要注意不要漏乘，解完后要檢驗．先去分母，化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后進行檢驗即可．【詳解】解：第一步是去分母，去分母的依據(jù)是：等式兩邊同時乘以一個不為0的數(shù)（或式子），等式仍然成立；小李的解答過程不正確，正確解答如下：，，解得：，經(jīng)檢驗，是增根，∴原方程無解．17．如圖，點是斜邊邊上的一點，以為半徑的與邊相切于點．求證：平分．【答案】證明見解析【知識點】切線的性質(zhì)定理、等邊對等角【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得到，則根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到，再由等邊對等角得到，即可等量代換求證．【詳解】證明：連接，∵與邊相切于點，∴，即，∵為直角三角形，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴平分．18．如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長，主塔高，主纜可視為拋物線，主纜垂度，主纜最低處距離橋面，橋面距離海平面約．請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求該拋物線的表達式．【答案】該拋物線的表達式為【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、其他問題(實際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式，先由題意，建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，從而得到、，設(shè)該拋物線的頂點式為，將代入解方程即可得到答案．根據(jù)題中示意圖，建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并設(shè)出拋物線表達式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：建立平面直角坐標系，如圖所示：則拋物線頂點坐標為，，即，設(shè)該拋物線的表達式為，將代入得，解得，該拋物線的表達式為．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．如圖，是斜邊上的中線，過點，分別作，，與相交于點．現(xiàn)有以下命題：命題1：若連接交于點，則．命題2：若連接，則．命題3：若連接，則．任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．【答案】命題1是真命題，證明見解析；命題2是真命題，證明見解析；命題3是真命題，證明見解析【知識點】利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明、根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長、與三角形中位線有關(guān)的證明、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】命題1：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進而得到四邊形是菱形，再由中位線的判定與性質(zhì)得到，最后利用三角形面積公式求解即可得證；命題2：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進而得到四邊形是菱形即可得證；命題3：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形即可得證．【詳解】解：命題1：若連接交于點，則．命題1是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，且，，為的中點，是的中位線，則，，則；命題2：若連接，則．命題2是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，；命題3：若連接，則．命題3是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，．【點睛】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識，熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20．2025年2月，廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動時間不低于兩小時的通知》．某校為更好地落實文件精神并了解學(xué)生參加體育活動的情況，隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，并對所得數(shù)據(jù)進行處理．部分信息如下：調(diào)查問卷監(jiān)理與描述1．你每天參加體育活動（合體育課）的時間（單位：小時）（

）（單選）A．

B．C．

D．2．隨著體育活動時間的延長，學(xué)校擬增設(shè)體育活動項目，你希望增設(shè)的活動項目有（

）（可）多選）E．球類

F．田徑類G．體操類

H．水上類希望地設(shè)的活動項目統(tǒng)計表活動項目球類田徑類體操類水上類百分比根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．(2)估計該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)．(3)基于上述兩項調(diào)查的數(shù)據(jù)，提煉出一條信息，并向?qū)W校提出相應(yīng)的建議．【答案】(1)200人(2)375人(3)見解析（答案不唯一）【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)、統(tǒng)計表【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，統(tǒng)計表等知識點，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖得到參加體育活動（合體育課）的時間人數(shù)，再相加即可；（2）用1000人乘以每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)占比即可；（3）答案不唯一，合理即可．【詳解】（1）解：這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人），答：參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)有200人；（2）解：（人），答：每天參加體育活動時間不低于兩小時的學(xué)生人數(shù)為人；（3）解：從第二項活動可看出學(xué)生更加喜歡球類活動，建議：學(xué)?？梢赃m當?shù)脑黾佑嘘P(guān)球類活動的項目和設(shè)施．（答案不唯一）21．綜合與實踐【閱讀材料】如圖，在銳角中，，，的對邊長分別為，，，則有．這是解三角形的重要結(jié)論，可用于解決實際問題．【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中，兩島間的實際距離．由于地形原因，無法利用測距儀直接測量，該小組對這一問題進行了探究．【方案設(shè)計】工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得，；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得，．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結(jié)論計算，兩島間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【評價反思】（2）設(shè)計其他方案計算，兩島間的距離．要求：選用【方案設(shè)計】中的工具，寫出你的方案和所用的數(shù)學(xué)知識．【答案】（1）；（2）見解析【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)題意可得，代入數(shù)據(jù)求出的長，即可解答；（2）運用解直角三角形、勾股定理等數(shù)學(xué)知識設(shè)計方案即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，由題意得，，又∵，∴，答：，兩島間的距離為．（2）工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點，使得是銳角三角形；步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得的度數(shù)；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得，．計算過程：過點作，則，∵在中，，，∴，，∴，∵在中，，∴．答：，兩島間的距離為．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．22．《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長，，都是正整數(shù)，則，，為一組“勾股數(shù)”．下表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，99，1015，12，139，40，4113，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)請補全上表中的勾股數(shù)．(2)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示，，，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．(3)某校計劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為．如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？【答案】(1)(2)表中第一行、第三行中為奇數(shù)：，則，；表中第二行、第四行中為偶數(shù)：，則，；其中為正整數(shù)，證明見解析(3)【知識點】數(shù)字類規(guī)律探索、勾股樹（數(shù)）問題、圖形類規(guī)律探索、運用平方差公式進行運算【分析】本題考查由勾股數(shù)涉及的數(shù)字規(guī)律問題，難度中等偏上，涉及勾股數(shù)定義、整式加減乘法混合運算、平方差公式等知識，觀察分析所給表中勾股數(shù)，分類找準規(guī)律并靈活運算解決實際問題是關(guān)鍵．（1）先由表中勾股數(shù)規(guī)律，令，，，由勾股數(shù)定義列方程求解即可得到答案；（2）由表中數(shù)據(jù)，分別用代數(shù)式表示出，，，再由整式混合運算求證即可得到答案；（3）由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，如圖所示，結(jié)合（2）中得到的規(guī)律，分析出一個直角三角形種植花數(shù)量即可得到答案．【詳解】（1）解：由表中勾股數(shù)的規(guī)律可知，令，，，則由勾股數(shù)定義可知，即，，解得或（舍去）；（2）解：令為正整數(shù)，則由表中規(guī)律可知，表中第一行、第三行中為奇數(shù)：，則，，證明如下：，；表中第二行、第四行中為偶數(shù)：，則，，證明如下：，；（3）解：由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，如圖所示：，即直角三角形中最短邊為，僅在三角形邊上種花，三角形頂點處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為，三角形最短邊種株花，，由上表規(guī)律，當最短邊為偶數(shù)時，，解得，，，即邊上種植株花，邊上種植株花，每個三角形上種植株花，則如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植株花．23．定義：把某線段一分為二的點，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點．(1)如圖，點是線段的中外比點，，，求的長．(2)如圖，用無刻