8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積重點：棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式及其應(yīng)用；難點：棱臺的表面積和體積公式的推導(dǎo)。一、多面體的表面積、側(cè)面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．1、棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開圖（1）棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長；（2）棱錐的側(cè)面展開圖由若干個三角形組成；（3）棱臺的側(cè)面張開圖由若干個梯形組成。2、棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）棱柱的表面積：S棱柱（2）棱錐的表面積：S棱錐（3）棱臺的表面積：S二、棱柱、棱錐、棱臺的體積1、棱柱的高和體積（1）棱柱的高：兩底面之間的距離，即從一個底面上任意一點，向另外一個底面作垂線，這點與垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，也就是垂線段的長。（2）棱住的體積：棱柱的體積等于它的底面積S底和高h的乘積，即V2、棱錐的高和體積（1）棱錐的高：棱錐的頂點到底面之間的距離，即從頂點向底面作垂線，頂點到垂足（垂線與底面之間的交點）之間的距離，即垂線段的長。（2）棱錐的體積：棱錐的體積等于它的底面積S底和高h的乘積的133、棱臺的體積：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h題型一棱柱的表面積計算【例1】如圖，在正三棱柱中，D為棱的中點．若截面是面積為6的直角三角形，求此三棱柱的表面積．【變式1-1】已知正四棱柱的側(cè)棱長為，它的體對角線長為，則這個正四棱柱的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【變式1-2】正六棱柱的底面邊長為2，最長的一條對角線長為，則它的表面積為（）A．B．C．D．【變式1-3】如圖，已知正方體的棱長為，沿圖1中對角面將它分割成兩個部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（）A．B．C．D．題型二棱錐的表面積計算【例2】若正三棱錐的底面邊長等于，三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的側(cè)面積為（）A．B．C．D．【變式2-1】已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則該三棱錐的表面積是（）A．B．C．D．【變式2-2】如圖，在正方體ABCD--A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為（）A．1∶1B．1∶C．1∶D．1∶2【變式2-3】已知一個正四棱錐的底面邊長為4，以該正四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐的一個側(cè)面三角形的面積，則該正四棱錐的側(cè)面積為______．題型三棱臺的表面積計算【例3】已知正三棱臺上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1．求該三棱臺表面積．【變式3-1】已知一個正棱臺的上、下底面是邊長分別為2、8的正方形，側(cè)棱長為5，則該棱臺的表面積為（）A．148B．168C．193D．88【變式3-2】已知某正六棱臺的上、下底面邊長為1和3，高為1，則其側(cè)面積為（）A．B．C．D．【變式3-3】如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.（1）求大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面面積之比；（2）若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.題型四棱柱的體積計算【例4】所有棱長都為2的直三棱柱的體積為（）A．B．C．6D．【變式4-1】已知斜三棱柱的一個側(cè)面的面積為10，該側(cè)面與其相對側(cè)棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（）A．30B．15C．10D．60【變式4-2】如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8.若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的三等分點處，，當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為（）A．B．C．D．【變式4-3】已知正六棱柱最長的一條對角線長為13厘米，側(cè)面積為180平方厘米，則這個棱柱的體積為______．題型五棱錐的體積計算【例5】在正四棱錐中，，，則該四棱錐的體積是______．【變式5-1】已知正四棱錐，底面邊長是，體積是，那么這個四棱錐的側(cè)棱長為（）A．B．C．D．【變式5-2】已知三棱錐的體積為1，、、分別為OA、OB、OC的中點，則三棱錐的體積為___.【變式5-3】設(shè)三棱柱的體積為1，則四棱錐的體積為___________題型六棱臺的體積計算【例6】已知三棱臺中，三棱錐的體積為4，三棱錐的體積為8，則四面體的體積為（）A．B．C．D．【變式6-1】某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面周長分別為，的正四棱臺，若棱臺的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（）A．B．C．D．【變式6-2】正四棱臺的上，下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長2，則其體積為（）A．B．C．D．【變式6-3】如圖，在上、下底面對應(yīng)邊的比為的三棱臺中，過上底面一邊作一個平行于棱的平面，這個平面分三棱臺成兩部分，則＝________.8.3.1棱柱、棱柱、棱臺的表面積和體積【題型1棱柱的表面積計算】1、如圖，是棱長都為2的直平行六面體，且，則這個直平行六面體的表面積為（）A．16B．C．D．2、正方體的棱長擴大到原來的6倍，則其表面積擴大到原來的（）A．2倍B．12倍C．18倍D．36倍3、已知一個直四棱柱的高為2，其底面ABCD水平放置的直觀圖（斜二測畫法）是邊長為1的正方形，則這個直四棱柱的表面積為（）A．10B．C．D．4、若斜三棱柱的高為，側(cè)棱與底面所成角為，相鄰兩側(cè)棱之間距離為5，則該三棱柱的側(cè)面積等于______.5、正六棱柱高5，最長的對角線為13，則它的側(cè)面積是______.【題型2棱錐的側(cè)面積與表面積】1、已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，側(cè)面有兩個是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個三棱錐的表面積為（）A．B．C．D．2、一個正四棱錐的底面邊長為，高為，則該正四棱錐的表面積為（）A．B．C．D．3、在正六棱錐中，底面邊長為，側(cè)棱長為，求正六棱錐的側(cè)面積和表面積.4、如圖，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為__________．5、已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為，設(shè)四面體的表面積為，則等于（）A．B．C．D．【題型3棱臺的側(cè)面積與表面積】1、已知正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2和4，棱臺的側(cè)棱長為，求它的側(cè)面積．2、“斗”不僅是我國古代容量單位，還是量糧食的器具，如圖所示．其可近似看作正四棱臺，上底面是邊長為的正方形，下底面是邊長為的正方形，高為．“斗”的面的厚度忽略不計，則該“斗”的所有側(cè)面的面積之和與下底面的面積之比為（）A．B．C．D．3、已知某個正四棱臺的上、下底面邊長和高的比為，若側(cè)棱長為，則該棱臺的側(cè)面積為（）A．B．C．D．4、一個幾何體共有六個側(cè)面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底長為10cm，下底長為15cm，腰為9cm，上、下底面都是正六邊形，求該幾何體的全面積．5、正四棱臺兩底面邊長分別為和.（1）若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺的側(cè)面積；（2）若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.【題型4棱柱的體積計算】1、設(shè)正四棱柱的一條對角線長為3，它的底面積是4，則它的體積是（）A．4B．8C．D．4或2、如圖，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么該四棱柱的體積為（）A．B．C．D．3、斜三棱柱中，側(cè)面BB1C1C的面積為S，側(cè)棱AA1到側(cè)面BB1C1C的距離為a，則該斜三棱柱的體積為（）A．B．C．D．Sa4、已知銅質(zhì)的五棱柱的底面積為16，高為4，現(xiàn)將它熔化后鑄成一個正方體的銅塊，如果不計損耗，那么鑄成銅塊的棱長為______．5、設(shè)正六棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為5，那么它的體積為______．【題型5棱錐的體積計算】1、已知正四棱錐的高為3，底面邊長為，則該棱錐的體積為（）A．6B．C．2D．2、正四棱錐的所有棱長均為1，則它的體積是______.3、已知正三棱錐的底面邊長為，體積為，則底面的中心O到側(cè)面PAB的距離是______.4、如圖，在三棱錐中，，且，則三棱錐體積的最大值為（）A．B．C．D．【題型6棱臺的體積計算】1、在正四棱臺中，，則該四棱臺的體積為（）A．B．C．D．2、正三棱臺上下底面的邊長為1，2，斜高為1，則其體積為______