8.5.1直線與直線平行重點：基本事實4及等角定理難點：能用基本事實4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題一、基本事實41、文字語言：平行于同一條直線的兩條直線平行．這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性．2、符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c.3、作用：證明兩條直線平行二、等角定理1、文字語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．2、符號語言：,或3、等角定理的兩個推論（1）如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補；（2）如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。4、作用：判斷和證明兩個角相等或互補。三、空間四邊形順次連接不共面的四點A、B、C、D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形．這四個點中的各個點叫做空間四邊形的頂點；所連接的相鄰頂點間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點的線段叫做空間四邊形的對角線．四、線線平行的證明方法：1、定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點；2、利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；3、利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．題型一基本事實4概念辨析【例1】已知三條不同的直線l，m，n，且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，又，則，故充分性成立，反之，若，又，則，故必要性成立.故“”是“”的充要條件.故選：C.【變式1-1】直線平面，平面內(nèi)有無數(shù)條直線交于一點，那么這無數(shù)條直線中與直線平行的（）A．至少有一條B．至多有一條C．有且只有一條D．不可能有【答案】B【解析】假設(shè)有兩條直線與平行，根據(jù)基本事實4可知，這與已知相交矛盾，故至多有一條直線，故選：B【變式1-2】如圖，正方體中，分別是的中點，則下列結(jié)論正解的是（）A．B．C．與相交D．與相交【答案】B【解析】由分別是的中點可得，又易得，則.故選：B.【變式1-3】如圖，把一張長方形的紙對折兩次，然后打開，得到三條折痕，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．，且與相交C．，且與相交D．，，兩兩相交【答案】A【解析】因為長方形的對邊都是互相平行的，連續(xù)左右對折兩次后，長方形上得到三條折痕，，，這三條折痕中每兩條折痕又互相平行，所以三條折痕互相平行，故選：A題型二證明直線與直線平行【例2】如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、CD的中點，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點，且，求證：直線EH與直線FG平行．【答案】證明見解析【解析】∵E、H分別是AB、CD的中點，則，又∵F、G分別是BC、CD上的點，且，則，∴，故直線EH與直線FG平行．【變式2-1】已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點．求證：四邊形是梯形．【解析】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M，N分別是CD，AD的中點，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．【變式2-2】如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF為平行四邊形．【解析】由于分別是長方體的中點，設(shè)是的中點，連接，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知且，所以四邊形是平行四邊形.【變式2-3】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，，分別是棱AB、AD、、的中點．求證：四邊形為平行四邊形．【解析】證明：連接BD、．因為E、F分別為AB、AD的中點，所以且．同理且．在正方體中，四邊形為平行四邊形，故且，故且，故四邊形為平行四邊形．題型三等角定理概念辨析【例3】兩等角的一組對應邊平行，則（）A．另一組對應邊平行B．另一組對應邊不平行C．另一組對應邊垂直D．以上都不對【答案】D【解析】兩個等角的一組對應邊平行，另一組邊可以具有各種位置關(guān)系，并不能確定是哪一種關(guān)系，故選：D【變式3-1】給出下列命題：①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．其中正確的命題有（）A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】B【解析】對于①，這兩個角也可能互補，故①錯誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對于③，如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角不一定相等，也不一定互補，故③錯誤．所以正確的命題有1個．故選：B【變式3-2】已知，，，則與兩邊方向相同的等于（）A．60°B．60°或120°C．120°D．以上結(jié)論都不對【答案】A【解析】因，，又與兩邊方向相同，所以.故選：A【變式3-3】（多選）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個真命題，在空間中仍然成立的有（）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補D．一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補【答案】AC【解析】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯誤；根據(jù)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補可知C正確；如圖，且，則但和的關(guān)系不確定，故D錯誤.故選：AC題型四利用等角定理證明【例4】在長方體中，求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）由長方體的性質(zhì)可得：，，且方向相同，由等角定理可得：.（2）由長方體的性質(zhì)可得：，，四邊形為平行四邊形，，，且方向相同，由等角定理可得：.【變式4-1】如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點．求證：（1）；（2）．【解析】（1）因為正方體中，F(xiàn)，G分別是棱，的中點，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以（2）因為正方體中，E，G分別是棱，的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由（1）知：由圖形可知：均為銳角，所以.【變式4-2】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點，求證：△EFG∽△C1DA1.【解析】證明：如圖所示，連接B1C.因為G，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點，所以GF∥B1C.又ABCD－A1B1C1D1為正方體，所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，所以A1D∥B1C.又B1C∥FG，所以A1D∥FG.同理可證A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1與∠EGF，∠A1DC1與∠EFG，∠DC1A1與∠GEF的兩條邊分別對應平行且方向相同，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.【變式4-3】，，分別是，，的中點，求證：．【解析】如圖，連接．因為，分別為，的中點，所以且．又為正方體，所以且，且，由基本事實4知且，所以四邊形為平行四邊形，所以且．又，由基本事實4知．同理可證：，．又與，與的兩邊分別對應平行且均為銳角，所以，．所以．8.5.1直線與直線平行【題型1基本事實4概念辨析】1、已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是（）A．平行B．相交C．異面D．不確定【答案】A【解析】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故選：A.2、如圖所示，在長方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點，則長方體的各棱中與EF平行的有（）A．3條B．4條C．5條D．6條【答案】B【解析】由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點，故EF∥B1C1，因為與棱B1C1平行的棱還有3條：AD,BC，A1D1，所以共有4條.故選：B.3、若，，則直線，的位置關(guān)系是（）A．平行或異面B．平行或相交C．相交或異面D．平行、相交或異面【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)平面為平面若，，故，，，相交；若，，故，，，異面；若，，故，，，平行.故選：D4、如圖，在三棱錐中，分別為線段的中點，則下列說法正確的是A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可得：，由平行公理可得：.本題選擇C選項.【題型2證明直線與直線平行】1、如圖所示，在空間四邊形（不共面的四邊形稱為空間四邊形）中，分別為的中點．求證：四邊形是平行四邊形．【解析】因為在空間四邊形中，分別為的中點，所以，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形．2、如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點，試判斷直線MN與直線EF是否平行．【答案】平行【解析】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，則有EF//AC，由得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．3、如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，且對角線．求證：四邊形是菱形．【解析】分別是的中點，，，四邊形為平行四邊形；又，，，四邊形為菱形.4、如圖，在長方體中，，分別為，的中點，求證：．【解析】證明：如圖，取的中點，連接，，因為且，所以為平行四邊形，所以，又且，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴．5、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，求證：四邊形BFD1E是平行四邊形.【解析】證明如圖所示，取BB1的中點G，連接GC1，GE，因為F為CC1的中點，所以BGFC1，且BG=FC1.所以四邊形BFC1G是平行四邊形.所以BFGC1，BF=GC1，又因為EGA1B1，EG=A1B1，A1B1C1D1，A1B1=C1D1，所以EGC1D1，EG=C1D1.所以四邊形EGC1D1是平行四邊形.所以ED1GC1，ED1=GC1，所以BFED1，BF=ED1，所以四邊形BFD1E是平行四邊形.【題型3等角定理概念辨析】1、如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角（）A．相等B．互補C．相等或互補D．互余【答案】C【解析】在平面中，如圖，當?shù)膬蛇吇ハ嗥叫星以谕黄矫?，∴，，；∴，，∴這兩個角相等或互補．在空間中，由等角定理可知：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.故選：C2、若，且，與方向相同，則下列結(jié)論正確的有（）A．且方向相同B．，方向可能不同C．OB與不平行D．OB與不一定平行【答案】D【解析】如圖，；當∠AOB=∠A1O1B1時，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，OB與O1B1是不一定平行．故選：D．3、不在同一個平面內(nèi)的兩個三角形的三組對應邊分別平行，則這兩個三角形（）A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似【答案】C【解析】根據(jù)等角定理可知，這兩個三角形的三個角，分別對應相等，所以這兩個三角形一定相似或全等.故選：C4、已知角的兩邊和角的兩邊分別平行，且，則（）A．B．C．或D．不能確定【答案】C【解析】因為角的兩邊和角的兩邊分別平行，所以相等或者互補，所以或，故選：C.5、已知，，，則（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】的兩邊與的兩邊分別平行，根據(jù)等角定理易知或.故選：B.【題型4利用等角定理證明】1、已知E?E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD?A1D1的中點.求證：∠BEC=∠B1E1C1.【解析】證明：如圖，連接EE1，∵E1?E分別為A1D1?AD的中點，∴A1E1AE，且A1E1=AE∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，∴A1AE1E.，且A1A=E1E.又∵A1AB1B，且A1A=B1B∴E1EB1B，且E1E=B1B∴四邊形E1EBB1為平行四邊形，∴E1B1EB.同理E1C1EC.又∠C1E1B1與∠CEB方向相同，∴∠C1E1B1=∠CEB.2、如圖，三棱柱中，，，分別為，，的中點.求證：.【解析】證明：因為，分別是，的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以.同理可證，又與方向相同，所以.3、已知棱長為a的正方體A