第02講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示目錄01TOC\o"13"\h\u考情解碼?命題預(yù)警 202體系構(gòu)建·思維可視 303核心突破·靶向攻堅(jiān) 4知能解碼 4知識點(diǎn)1平面向量的基本定理 4知識點(diǎn)2平面向量的正交分解 4知識點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 4知識點(diǎn)4向量坐標(biāo)的坐標(biāo)表示 5題型破譯 5題型1對基向量概念的理解 5題型2用基底表示向量 6題型3利用平面向量基本定理求參數(shù) 7【方法技巧】對應(yīng)系數(shù)相等求參數(shù)【易錯分析】向量的分解易錯題型4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 8題型5向量共線的坐標(biāo)表示 904真題溯源·考向感知 1005課本典例·高考素材 11

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年（1）理解平面向量基本定理及其意義，在平面內(nèi)，當(dāng)一組基選定后，會用這組基來表示其他向量；（2）借助平面坐標(biāo)系，掌握平面向量的坐標(biāo)表示；（3）理解向量坐標(biāo)的運(yùn)算及中點(diǎn)坐標(biāo)公式；（4）掌握平面向量平行的坐標(biāo)表示．單選題多選題填空題解答題全國二卷，12題，5分新課標(biāo)I卷，第3題，5分全國甲卷，第9題，5分上海卷，第5題，4分新課標(biāo)I卷，第3題，5分考情分析：掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題；（2）會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；能將向量的幾何運(yùn)算和代數(shù)運(yùn)算靈活地結(jié)合起來，解決一些平面向量的計(jì)算問題；（3）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件，并能正確地進(jìn)行有關(guān)應(yīng)用．

知識點(diǎn)1平面向量的基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個.結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝.基底若e1，e2.，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底知識點(diǎn)2平面向量的正交分解1、正交基、正交分解及標(biāo)準(zhǔn)正交基（1）若基中的兩個向量互相垂直，則稱這組基為正交基；（2）在正交基下向量的線性表示稱為正交分解；（3）若基中的兩個向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為.．（4）把一個向量分解為兩個.的向量，叫做把向量作正交分解.(1)用坐標(biāo)表示；(3)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．知識點(diǎn)3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量a，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作eq\o(OP,\s\up6(→))＝a（通常稱eq\o(OP,\s\up6(→))為位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝xi＋yj．因此，a＝xi＋yj．我們把(x，y)稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j}下的坐標(biāo)，向量a可以表示為a＝(x，y)．2、點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)間的關(guān)系3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．?dāng)?shù)學(xué)公式文字語言表述向量加法a＋b＝.兩個向量和的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和向量減法a－b＝.兩個向量差的坐標(biāo)等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差向量數(shù)乘λa＝.實(shí)數(shù)與向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積知識點(diǎn)4向量坐標(biāo)的坐標(biāo)表示即任意一個向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．A． B． C．2 D．題型1對基向量概念的理解例11若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是（

）例12（多選）設(shè)，是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，能作為基底的是（

）方法技巧向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．【變式訓(xùn)練12】（多選）下列說法正確的是（

）【變式訓(xùn)練13】若是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④題型2用基底表示向量方法技巧判斷所給的兩個向量能否作為一組基的方法由基的定義可知，要判斷兩個向量a，b能否作為一組基，只需判斷兩向量是否共線，而判斷向量是否共線就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作為基的向量必為非零向量題型3利用平面向量基本定理求參數(shù)例31A． B． C． D．A．5 B．6 C．9 D．10A．1 B．3 C．5 D．8方法技巧若直接利用基表示向量比較困難，可設(shè)出目標(biāo)向量，然后利用已知條件及相關(guān)結(jié)論，從不同方向和角度表示出目標(biāo)向量（一般需建立兩個不同的向量表達(dá)式），再根據(jù)待定系數(shù)法確定系數(shù)，建立方程或方程組，解方程或方程組即得．題型4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算方法技巧求向量的坐標(biāo)的一般方法1、數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)正交分解，求向量在軸、軸上的坐標(biāo)分量；2、平移法：把向量的始點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)即向量的坐標(biāo)；A．互為相等向量 B．互為相反向量 C．相互垂直 D．均為零向量題型5向量共線的坐標(biāo)表示A．1 B．2 C．1或2 D．無解方法技巧2、由向量共線