第5章導數(shù)及其應用（復習講義）一、基礎(chǔ)目標1.導數(shù)的概念與計算（1）理解導數(shù)的定義及其幾何意義（切線斜率）。（2）掌握基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等）的導數(shù)公式。（3）熟練運用求導法則（和差、積、商、鏈式法則）。2.導數(shù)的幾何應用（1）求函數(shù)在某點的切線方程與法線方程。二、核心能力目標1.函數(shù)的單調(diào)性與極值（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性。（2）求函數(shù)的極值點。2.函數(shù)的最值與優(yōu)化（1）求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值（比較極值點和端點函數(shù)值）。（2）解決實際優(yōu)化問題（如面積、體積最大最小問題）。三、高階應用目標1.數(shù)與函數(shù)圖像分析（1）結(jié)合二階導數(shù)判斷凹凸性及拐點。（2）繪制函數(shù)圖像（綜合單調(diào)性、極值、凹凸性、漸近線）。四、數(shù)學思想與易錯總結(jié)1.核心思想：（1）動態(tài)分析：通過導數(shù)研究函數(shù)瞬時變化率與整體形態(tài)。（2）模型轉(zhuǎn)化：將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)優(yōu)化問題。知識點1：導數(shù)的概念函數(shù)的導數(shù)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率函數(shù)f(x)的導函數(shù)導數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點P(x0，y0)處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[注意]1函數(shù)y＝fx的導數(shù)f′x反映了函數(shù)fx的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′x|反映了變化的快慢，|f′x|越大，曲線在這點處的切線越“陡”；2曲線y＝fx在點Px0，y0處的切線是指以P為切點，斜率為k0＝f′x0的切線，是唯一的一條切線．知識點2：導數(shù)的運算導數(shù)的運算基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)導數(shù)的運算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．[常用結(jié)論]1．奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．2．熟記以下結(jié)論(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝－eq\f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．知識點3：函數(shù)性質(zhì)與導數(shù)利用研究函數(shù)的單調(diào)性利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)求f′(x)．(2)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)根據(jù)結(jié)果確定f(x)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（遞減）求參數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值函數(shù)的極值函數(shù)的極小值函數(shù)的極大值極值點極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點．極值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．求函數(shù)極值的步驟①先確定函數(shù)的定義域；函數(shù)的最值知識點4：恒成立、能成立問題與導數(shù)恒成立和有解問題題型題型一導數(shù)的定義【例1】已知函數(shù)fx在R上可導，若f'2=3，則A．9 B．12 C．6 D．3【答案】B【解答】由導數(shù)定義可知：f'故limΔ故選：B.【變式11】已知函數(shù)fx可導，且滿足lim△x→0f3-Δx-fA．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】A【解答】因為lim△x→0f故選:A.【變式12】若函數(shù)fx的滿足limΔx→0f(2+ΔA．2 B．1 C．0 D．-1【答案】D【解答】因為limΔx故選：D.題型二平均速度、瞬時速度題型二平均速度、瞬時速度【例2】某物體做直線運動，若它所經(jīng)過的位移s與時間t的函數(shù)關(guān)系為st=12tA．2 B．32 C．3 D．【答案】B【解答】v=故選：B.【變式21】質(zhì)點M按規(guī)律s＝2t2＋3t做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質(zhì)點M在t＝2s時的瞬時速度是（

）A．2m/s B．6m/sC．4m/s D．11m/s【答案】D【解答】質(zhì)點M在t＝2s時位移的平均變化率為△S△t＝2(2+△t當Δt無限趨近于0時，△S△故選：D.【答案】【分析】（1）求導得到，令即得解；故答案為：7；18.題型三曲線的切線方程題型三曲線的切線方程【答案】C故選：C【答案】B故選：B.【變式32】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D故選：D.題型四題型四導數(shù)的運算【答案】1故答案為：.【答案】/1.6故答案為：【變式42】（多選）下列求函數(shù)的導數(shù)正確的是（

）【答案】BC【分析】利用導數(shù)的運算法則逐個運算求解可判斷其正誤.故選：BC.題型五題型五復合函數(shù)的導數(shù)【例5】指出下列函數(shù)的復合關(guān)系．【變式51】求下列函數(shù)的導數(shù)：【變式52】（多選）下列函數(shù)的導數(shù)運算正確的是（

）【答案】ABD【分析】運用函數(shù)乘除的導數(shù)可以判斷A、C,B、D用復合函數(shù)的求導規(guī)則判斷即可.綜上所得,正確的是：ABD.故選:ABD.題型六題型六函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)【答案】A【答案】D故選：.題型七題型七極值、最值與導數(shù)【答案】D故選：D.即極小值點為，無極大值點.023001單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增10題型八題型八不等式與導數(shù)【答案】D故選：D．【答案】C故選：C.【答案】A故選：A題型九題型九恒成立、能成立與導數(shù)A． B． C． D．4【答案】D故m的最小值為4．故選：D.【答案】,基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測一、單選題A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】求出導數(shù)，然后直接代值計算即可.故選：AA． B． C．2 D．【答案】D故選：D【答案】A故選:A.A． B．2 C． D．【答案】A故選：A【答案】C【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.故選：C.【答案】A故選：A.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出導函數(shù)列不等式計算求出參數(shù).故選：D.【答案】B故選：B.二、多選題9．下列求導運算正確的是（

）【答案】BC【分析】直接利用導數(shù)的四則運算即可判斷.故選：BC.【答案】AB【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，即可結(jié)合極值的定義，逐一求解.故選：AB【答案】AB故選：AB．三、填空題四、解答題【答案】(1)(2)答案見解析單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增綜上所述，(1)求函數(shù)的導數(shù)；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的運算即可求解；正0負0正單調(diào)遞增極大值點單調(diào)遞減極小值點單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)判斷單調(diào)性即可；（2）由（1）得函數(shù)的最小值，再利用換元法即可證明；單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增能力提升進階練能力提升進階練一、單選題A． B． C． D．【答案】A故選：A.二、多選題【答案】AD于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，故選：AD三、填空題四、解答題【分析】（1）求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求切線方程；【答案】(1)極小值為，無極大值.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下不等式恒成立問題，往往需要利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時還需要對導數(shù)進一步利用導數(shù)研究其符號特征，處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)