試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁遼寧省遼西重點高中2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．的虛部為（

）A．1 B． C．8 D．3．已知向量，若，則的值為（

）A．10 B． C． D．4．已知函數(shù)．將函數(shù)向左平移一個單位，再向上平移一個單位后得函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．若一個圓錐與一個圓臺的體積相等，且圓臺的上?下底面半徑分別為2，3，高為3，圓錐的底面半徑為2，則該圓錐的高為（

）A． B．19 C． D．6．某船在海上從島（看成質(zhì)點）出發(fā)，沿正北方向行駛10海里，接著沿北偏東的方向行駛10海里，最后沿北偏東的方向行駛10海里到達(dá)處，則（

）A．海里 B．海里C．海里 D．海里7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上單調(diào)，則a的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則“”是“的圖象關(guān)于點對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題9．已知圓錐的軸截面為等腰直角三角形，頂點為，底面圓心為，為底面圓的直徑，，是底面圓周上異于，的一個動點，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為B．當(dāng)時，三棱錐的體積最大C．直線與直線夾角的取值范圍是D．若二面角的大小為，則的面積為10．已知拋物線：（）的準(zhǔn)線與圓：相切，點為拋物線上的動點，點是圓上的動點，過作的垂線，垂足為，的焦點為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的最小值是C．當(dāng)三點，，共線時，點的坐標(biāo)是D．不存在兩個點，，使得且11．已知函數(shù)在內(nèi)的三個零點分別為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點是的漸近線上的一點，且，，則E的離心率為.13．我國的古代建筑常常在檐角處設(shè)置瑞獸裝飾，既美觀也蘊(yùn)含吉祥的寓意．某古代建筑共五層，檐角處瑞獸裝飾的數(shù)量從第一層到第五層構(gòu)成等比數(shù)列．若已知第一層與第五層檐角處瑞獸裝飾數(shù)量之和為97，第二層與第四層檐角處瑞獸裝飾數(shù)量之和為78，則該古代建筑檐角處瑞獸裝飾的數(shù)量之和為．14．將五張標(biāo)有、、、、的卡片擺成右圖，若逐一取走這些卡片時，每次取走的一張卡片與剩下的卡片中至多一張有公共邊，則把這樣的取卡順序稱為“和諧序”（例如按取走卡片的順序是“和諧序”，按取走卡片的順序不是“和諧序”），現(xiàn)依次不放回地隨機(jī)抽取這張卡片，則取卡順序是“和諧序”的概率為．四、解答題15．在中，分別是內(nèi)角的對邊，且.(1)求；(2)若，證明：為直角三角形.16．已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．17．如圖1，在直角梯形中，，，，，，點在上，且.將沿折起，使得平面平面，如圖2.(1)求四棱錐的體積；(2)若點在圖2中線段上，且，證明：平面.(3)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù).（i）設(shè)為的極值點，證明：；（ii）證明：對任意正實數(shù)，都有.19．?dāng)?shù)學(xué)中的“對稱性”與“等效性”不僅體現(xiàn)在幾何和函數(shù)中，還體現(xiàn)在概率問題中.例如：某班級共有名學(xué)生，其學(xué)號記為，老師使用點名軟件進(jìn)行隨機(jī)點名.規(guī)則為：每次點名時，軟件會從名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生對應(yīng)的學(xué)號(每次點名后，學(xué)號復(fù)位，即認(rèn)為有放回抽取)，且每次抽取相互獨立.老師隨機(jī)進(jìn)行兩次點名，記為第次抽取的學(xué)號.(1)計算與；（用表示）(2)已知隨機(jī)變量的期望具有線性可加性，即對于隨機(jī)變量，有.記，其中表示中的最大者，表示中的最小者.（i）計算的值；（用表示）（ii）證明.（參考公式：）答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《遼寧省遼西重點高中2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案BADCADDAABDABC題號11答案BCD1．B【分析】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，再結(jié)合集合并集、交集運(yùn)算即可判斷【詳解】因為，又為增函數(shù)，所以，即，因為，又為增函數(shù)，所以，即，所以，.故選：.2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】，故復(fù)數(shù)的虛部為1.故選：A．3．D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求出，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長公式求解.【詳解】由，可得，解得，，，則.故選：D.4．C【分析】根據(jù)圖象平移求出，分析的單調(diào)性和值域，畫出即的圖象數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】由函數(shù)向左平移一個單位，再向上平移一個單位后得函數(shù)，所以，當(dāng)時，即單調(diào)遞增，又，則，又時，單調(diào)遞增，又，則，作出的圖象如圖，由，則，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：C.5．A【分析】根據(jù)圓錐與圓臺的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)該圓錐的高為，則，解得.故選：A6．D【分析】利用向量的加法法則與模長的運(yùn)算公式求解即可.【詳解】該船沿正北方向行駛10海里記為向量，沿北偏東的方向行駛10海里記為向量，沿北偏東的方向行駛10海里記為向量，則，所以海里.故選：D7．D【分析】先利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡，然后根據(jù)題意得到，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)和正弦函數(shù)的圖像得到，解之即可.【詳解】因為，由已知條件時取得最大值，有，即．又由已知得，于是，由于，故在．所以函數(shù)，因為，所以，因為在上單調(diào)，所以，解得，故．故選：D．8．A【分析】先得到函數(shù)的圖象關(guān)于對稱的等價條件，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，因為時，令，則滿足，所以“”是“圖象關(guān)于點對稱”的充分條件，若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即由不一定能得到，所以“”不是“圖象關(guān)于點對稱”的必要條件，綜上可知，“”是“圖象關(guān)于點對稱”的充分不必要條件.故選：A.9．ABD【分析】A選項，利用圓錐的側(cè)面積公式可判斷A；B選項，的面積最大時，三棱錐的體積最大；C選項，設(shè)點關(guān)于圓心的對稱點為，得到為所求角，在中用表示出，結(jié)合的取值范圍可判斷；D選項，取的中點，得，利用勾股定理計算出與的長度，可得的面積.【詳解】對于A，由已知可得，，所以，則圓錐的側(cè)面積，A正確.對于B，當(dāng)時，，此時的面積最大，即三棱錐的體積最大，故B正確.對于C，設(shè)點關(guān)于圓心的對稱點為，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即，在等腰三角形中，所以，則，C錯誤.對于D，可知和都是等腰三角形，取的中點，連接，，可知，，則是二面角的平面角，，可以求得，所以，，，故的面積為，D正確.故選：ABD.10．ABC【分析】由題易得，根據(jù)定義，再由結(jié)合點到圓上點的距離的最值即可判斷B；對于C，得出直線的方程，再求點坐標(biāo)即可；對于D，由，得到，再轉(zhuǎn)化為中垂線與曲線交點個數(shù)問題即可.【詳解】由準(zhǔn)線與圓相切知，，得，所以A正確；由可得，又，，所以最小值是，所以B正確；易知，，，直線的方程是，所以點的坐標(biāo)是，所以C正確；若，則，作中垂線，設(shè)為中點，則可得，直線斜率為，由此知為，與拋物線：聯(lián)立可得到，，所以有兩個實數(shù)解，所以存在兩個點，使得，故D錯誤.故選：ABC.11．BCD【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡得，可計算出三個零點判斷A，B，利用二倍角公式結(jié)合積化和差化簡計算可判斷C，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合積化和差公式、二倍角公式計算可判斷D.【詳解】對于A，B，，令，因為，所以，所以，所以，又，所以，，，解得，，，故A錯誤，B正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，，其中，，.因為，，所以，即，所以，故D正確.故選：BCD.12．【分析】不妨設(shè)在直線上，且在第一象限，坐標(biāo)為，根據(jù)，可得，在中，根據(jù)，結(jié)合，可得關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】如圖，不妨設(shè)在直線上，且在第一象限，坐標(biāo)為，因為，，所以直線的斜率，直線的斜率，因為，所以，即，整理可得，解得，則，在中，，所以，兩邊平方可得，又，所以，即，解得或（舍）.故答案為：.13．【分析】利用等比數(shù)列公式，結(jié)合換元法解方程，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，其中表示第層的檐角處瑞獸裝飾數(shù)量，則依題意可得：則兩式相除得：，令，則上式可化為，，解得或（因為，故舍去）再由，解得：或，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，綜上恒有：,故答案為：14．【分析】對抽卡片的順序進(jìn)行分類討論，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理與古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】分兩種情況討論：（1）第一步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第二步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第三步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第四步，從號或號卡片抽取一張，有種情況，第五步，抽最后一張卡片，此時，不同的抽法種數(shù)為種；（2）第一步，抽號卡片，第二步，從、、號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第三步，從、號卡片抽取一張，有種情況，比如先抽號卡片，第四步，從、號卡片抽取一張，有種情況，第五步，抽最后一張卡片，此時，不同的抽法種數(shù)為種.而從張卡片隨意抽取，不同的抽法種數(shù)為，因此，取卡順序是“和諧序”的概率為.故答案為：.15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合兩角和差的正切公式，利用角的拼湊即可求出；（2）利用正弦定理角化邊，得到邊的關(guān)系，再由（1）利用余弦定理得到進(jìn)一步的關(guān)系，最后利用勾股定理證明直角三角形即可.【詳解】（1）.（2）證明：因為，由正弦定理得，所以.由（1）知，所以，由余弦定理，得，所以，所以為直角，故為直角三角形.16．(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點和點坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.17．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）過點作，垂足為點，.取的中點，連接.由面面垂直的性質(zhì)證得平面，并根據(jù)題設(shè)中的條件結(jié)合平面圖形的性質(zhì)求得于，即可求得四棱錐的體積；（2）過點作∥交于點，連接.利用比例相等證得線線平行，進(jìn)而證得平面平面，即可證得平面；（3）取的中點，連接.以為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線與平面所成的角為，求得、平面的法向量，根據(jù)公式計算即可得解.【詳解】（1）如圖，過點作，垂足為點，取的中點，連接.由，可知.又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.由，，得，.在直角梯形中，因為，，所以，，.所以四棱錐的體積為.（2）過點作∥交于點，連接.因為平面，平面，所以平面.因為，所以四邊形是平行四邊形，則，所以，所以，同理可證平面.因為，所以平面平面.又因為平面，所以平面.（3）取的中點，連接.在中，由，，，可得.因為，所以.以為原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由點和的坐標(biāo)可求得，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則取，得.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點斜式即可求得切線方程；（2）（i）對函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)，判斷其單調(diào)性，則，借助于切線不等式可得，由零點存在定理推得存在，使得，推理得到為的極大值點，化簡得到，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即得的取值范圍；（ii）通過求導(dǎo)得到的最小值為，滿足，由（i）已得的最大值為，滿足，根據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)可得，將結(jié)果代入，化簡計算即得證.【詳解】（1）由，可得，求導(dǎo)得，，則，故曲線在點處的切線方程為，即.（2）（i），設(shè)，顯然在上單調(diào)遞減，因，又(后續(xù)提供證明)，則，故存在，使得，即，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，為的極大值點，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則，即.[附注]證明：.設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，故，即得.（ii），易知在上單調(diào)遞增，令，即，即，（*）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，的最小值為，由（i）可知，的最大值為，且，（**）由于函數(shù)在上為增函數(shù)，由（*），（**）式可得，則由可得故對任意正實數(shù)，都有，故對任意正實數(shù)，都有.19．(1),.(2)（i）；（ii）證明見解析.【分析】（1）據(jù)題意可得，有放回地隨機(jī)點名兩次共有種結(jié)果.分別分析