答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁天津市天津市紅橋區(qū)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．集合，，若，則（

）A．0 B．1C．0或 D．0或或12．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．-1 D．24．的展開式中x的系數(shù)是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的，有如下對應(yīng)表：x123456y122.521.4-7.44.5-53.1-125.5那函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點個數(shù)是（

）A．只有2個 B．至多3個 C．只有3個 D．至少3個6．若則a，b，c之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對于任意不等實數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．或8．函數(shù)，將其圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，若是使變換成立的最小正值，則（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．在區(qū)間上單調(diào)C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱二、填空題10．已知為虛數(shù)單位，則11．的展開式中的系數(shù)為.12．已知，則的最小值為.13．已知則．14．袋中大小相同的3個紅球，5個白球，從中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是．15．某公園有甲、乙兩個相鄰景點，原擬定甲景點內(nèi)有2個A班同學(xué)和2個B班同學(xué)；乙景點內(nèi)有2個A班同學(xué)和3個B班同學(xué)，后由于某種原因，甲、乙兩個景點各有一個同學(xué)交換景點觀光，則甲景點恰有2個A班同學(xué)的概率為；甲景點A班同學(xué)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為．三、解答題16．在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知(1)求的值；(2)求角的值；(3)求的值．17．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知.(1)求的值；(2)求；(3)若，的周長為，求的面積．18．如圖，已知四棱錐中，底面為矩形，平面.

(1)求證∶當(dāng)時，平面平面(2)當(dāng)時，①求二面角的大?。虎谇笈c平面成角的正弦值．19．已知正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為的中點，G在線段上，且

(1)求證∶面;(2)求平面EBF與平面EBG夾角的余弦值；(3)求點D到平面EBF的距離．20．已知函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)證明：當(dāng)時，．《天津市天津市紅橋區(qū)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號123456789答案CAACDBCCC1．C【分析】根據(jù)集合的互異性以及子集概念即可求出a的值．【詳解】由集合元素的互異性可知，又因為，所以a的取值只能是A中的元素，所以或．故選：C．2．A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及充分不必要條件的判斷，即可求解.【詳解】若時，則,因此，若時，比如，但不滿足，因此“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．A【分析】先將整理為的形式,再由純虛數(shù)的概念求解即可【詳解】由題,,因為z為純虛數(shù),所以,解得,故選:A【點睛】本題考查已知復(fù)數(shù)類型求參數(shù),考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用4．C【分析】先寫出二項展開式的通項公式，令通項公式中的冪指數(shù)，求得的值，再將代入通項公式即可求解.【詳解】由題意，二項展開式的通項公式為，令，解得，所以x的系數(shù)為.故選：C.5．D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的,且所以根據(jù)零點存在性定理,函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個零點；同理，由,得函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個零點；由,得函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個零點.但不能判斷函數(shù)在其它區(qū)間上是否有零點.因此，函數(shù)在區(qū)間上至少存在3個零點.故選：D.6．B【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到的范圍，從而得到結(jié)果.【詳解】因為，即，，即，，即，所以.故選：B7．C【分析】由已知判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性可得，再解不等式可得答案.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則即為，對于任意不等實數(shù)，不等式恒成立，可知在上單調(diào)遞減，且，可得，解得.故選：C.8．C【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換及對稱性求解得，，從而可求最小正值.【詳解】∵將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象，又函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，由可得，，解得：，，因為是使變換成立的最小正值，由時，可得．故選：C．9．C【分析】首先利用二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)，然后利用性質(zhì)解題.【詳解】對于選項A，的最小正周期，A選項錯誤；對于選項B，由解得，B選項錯誤；對于選項C，由解得，當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，選項C正確；對于選項D，由解得，當(dāng)時，，所以，的圖象關(guān)于點對稱，D選項錯誤.故選：C.10．【分析】用復(fù)數(shù)的除法及乘法法則即可求解.【詳解】，.故答案為：.11．40【分析】先根據(jù)二項式定理求出展開式的通項公式，再通過令通項公式中的冪次等于，求出的值，最后將的值代入通項公式中關(guān)于系數(shù)的部分，從而得到的系數(shù).【詳解】根據(jù)二項式定理，對于，其展開式的通項公式為.進行化簡，所以.

令.解得.將代入到中，所以，即的系數(shù)為40.故答案為：40.12．2【分析】觀察與的積可視為定值，再將與結(jié)合使用基本不等式求解.【詳解】因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為2，故答案為：213．1【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行計算。【詳解】由可得，所以，.故答案為：1.14．【分析】分別求出第一次取出白球和第一次取出白球且第二次取出白球的概率，再根據(jù)條件概率公式計算即得.【詳解】設(shè)事件為第一次取出白球，事件為第二次取出白球，因袋中一共有8個球，第一次取出白球的概率，此時袋中還剩下個球，其中白球個，那么第一次和第二次都取出白球的概率為，由條件概率公式，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取出白球的概率是.故答案為：15．【分析】（1）根據(jù)題意，甲景點恰有2個A班同學(xué)有兩種情況，互換的是A班同學(xué)或互換的是B班同學(xué)，利用組合及古典概型求出概率即可；（2）由題知X的取值可能為，利用組合及古典概型求出概率，根據(jù)公式得到期望.【詳解】（1）甲、乙兩景點各有一個同學(xué)交換后，甲景點恰有2個A班同學(xué)有兩種情況：互換的是A班同學(xué)，此時甲景點恰有2個A班同學(xué)的事件記為，，互換的是B班同學(xué)，此時甲景點恰有2個A班同學(xué)的事件記為，，所以甲景點恰有2個A班同學(xué)的概率.（2）由題知X的取值可能為，，，，.故答案為：；.16．(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用余弦定理可求得；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再利用正弦定理求得，根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系可得角的值；（3）根據(jù)（2）所求三角函數(shù)值，利用兩角和的余弦公式代入計算即可.【詳解】（1）根據(jù)余弦定理，，解得.（2）因為，且，所以，根據(jù)正弦定理，，即，得，因為，所以或，又因為，根據(jù)大邊對大角可知，所以.（3）由（2）可知，，所以.17．(1)(2)(3)【分析】（1）借助余弦定理計算即可得；（2）借助同角三角函數(shù)基本關(guān)系及三角恒等變換公式計算即可得；（3）借助余弦定理及面積公式計算即可得.【詳解】（1），則，故；（2）由，則，則，；（3）由余弦定理可得，又，則，即，則.18．(1)證明見解析；(2)①；②.【分析】（1）利用線面垂直證明線線垂直，再結(jié)合正方形對角線垂直，可證明線面垂直，即證明面面垂直；（2）利用空間向量法來求法向量，從而可求二面角的大小和線面角的正弦值.【詳解】（1）因為平面，且平面，所以，又因為底面為矩形，，所以底面為正方形，即，又因為平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面（2）

①如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由，可得：則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，由，因為，所以，由圖可知二面角是銳角，則二面角的大小為；②設(shè)與平面成的角為，則,即與平面成角的正弦值為.19．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）法一、利用正方形的性質(zhì)先證明，再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出平面，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量計算面面夾角即可；（3）利用空間向量計算點面距離即可.【詳解】（1）（1）法一、在正方形中，由條件易知，所以，則，故，即，在正方體中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵，平面，∴平面；法二、如圖以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，所以是平面的一個法向量，易知，則也是平面的一個法向量，∴平面；（2）同上法二建立的空間直角坐標(biāo)系，所以，由（1）知是平面的一個法向量，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，所以平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面EBF與平面EBG的夾角的余弦值為；（3）因為，所以，又是平面的一個法向量，則D到平面的距離為.所以點D到平面EBF的距離為.

20．(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；（2）