專題11一次函數(shù)（12大考點，精選43題）考點概覽考點1正比例函數(shù)考點2一次函數(shù)的性質(zhì)考點3一次函數(shù)的平移考點4一次函數(shù)與坐標軸考點5一次函數(shù)的應(yīng)用：行程問題考點6一次函數(shù)的應(yīng)用：銷售問題考點7一次函數(shù)的應(yīng)用：方案設(shè)計問題考點8一次函數(shù)的應(yīng)用：跨學(xué)科問題考點9一次函數(shù)的應(yīng)用：生活應(yīng)用問題考點10一次函數(shù)與幾何變化規(guī)律考點11一次函數(shù)與幾何綜合問題考點12一次函數(shù)與新定義問題考點1正比例函數(shù)1．（2025·上海·中考真題）下列函數(shù)中，為正比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正比例函數(shù)的定義，形如（為常數(shù)且）的函數(shù)是正比例函數(shù)；根據(jù)此定義逐一驗證各選項是否符合該形式即可．【詳解】解：A：，該函數(shù)含常數(shù)項“”，不符合正比例函數(shù)的形式，不符合題意；B：，該函數(shù)為二次函數(shù)（最高次數(shù)為2），而正比例函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意；C：，該函數(shù)可寫為，屬于反比例函數(shù)，不符合一次函數(shù)的形式，不符合題意；D：，該函數(shù)可化簡為，符合（）的形式，是正比例函數(shù)，符合題意；故答案為：D．2．（2025·吉林長春·中考真題）已知點、在同一正比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可求解，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點、在同一正比例函數(shù)的圖象上，∴，，∴，∵，∴正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限，當時，當時，∵，∴，，∴選項正確，選項錯誤，故選：．3．（2025·江西·中考真題）在趣味跳高比賽中，規(guī)定跳躍高度與自己身高的比值最大的同學(xué)為獲勝者．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的跳躍高度與他們身高的關(guān)系示意圖如圖所示，則獲勝的同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得，∴，根據(jù)正比例函數(shù)的意義，值越大，圖象越陡，反之圖象越陡，值越大，∴觀察圖象，跳躍高度與自己身高的比值最大的同學(xué)為甲，故選：A．4．（2025·山西·中考真題）氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得．實踐小組通過實驗發(fā)現(xiàn)，在電解水的過程中，生成物氫氣的質(zhì)量與分解的水的質(zhì)量滿足我們學(xué)過的某種函數(shù)關(guān)系．下表是一組實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，與之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）水的質(zhì)量氫氣的質(zhì)量A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，由表格數(shù)據(jù)可得是的正比例函數(shù)，進而即可求解，由表格數(shù)據(jù)判斷出函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴與成正比例，即是的正比例函數(shù)，∴，故選：．考點2一次函數(shù)的性質(zhì)5．（2025·廣西·中考真題）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象上點的坐標特征．將點代入一次函數(shù)解析式，解方程即可求出b的值．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴將，代入解析式，得：，解得：，故選：D．6．（2025·山東東營·中考真題）一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，當時的值可以是（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得k的取值范圍，再把代入函數(shù)，從而判斷函數(shù)值y的取值范圍，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，∴，∴當時，，選項中只有3符合要求，故選：A．7．（2025·江蘇蘇州·中考真題）過兩點畫一次函數(shù)的圖像，已知點A的坐標為，則點B的坐標可以為．（填一個符合要求的點的坐標即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查一次函數(shù)圖象上的點，根據(jù)一次函數(shù)上的點的橫縱坐標滿足函數(shù)解析式，可以令，求出函數(shù)值，進而得到點B的坐標即可．【詳解】解：∵，∴當時，，∴點B的坐標可以為；故答案為：（答案不唯一）8．（2025·安徽·中考真題）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點M，且y隨x的增大而增大．若點N在該函數(shù)的圖象上，則點N的坐標可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)過點得出與的關(guān)系，再結(jié)合隨增大而增大得，然后將各選項坐標代入函數(shù)，判斷是否符合條件．本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數(shù)中的意義及點坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵一次函數(shù)過，把代入得，即．又隨的增大而增大，．選項A：點，代入得，把代入得，化簡得，解得，不滿足，舍去．選項B：點，代入得，把代入得，化簡得，不滿足，舍去．選項C：點，代入得，把代入得，化簡得，解得，不滿足，舍去．選項D：點，代入得，把代入得，化簡得，解得，滿足．綜上，只有選項D符合條件，故選：．9．（2025·四川廣安·中考真題）已知一次函數(shù)，當時，y的值可以是．（寫出一個合理的值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．取求得的值，即可求解．【詳解】解：當時，，∴的值可以是，故答案為：（答案不唯一）．10．（2025·山東東營·中考真題）一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當時，y的值可以是（

）．A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得k的取值范圍，再把代入函數(shù)，從而判斷函數(shù)值y的取值范圍，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，∴，∴當時，，選項中只有3符合要求，故選：A．11．（2025·湖北·中考真題）已知一次函數(shù)隨的增大而增大．寫出一個符合條件的的值是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數(shù)性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，當時，y隨x的增大而增大解答即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)中隨的增大而增大，∴，故可?。蚀鸢笧椋海ù鸢覆晃ㄒ唬?2．（2025·江蘇揚州·中考真題）已知，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的圖象特點是解題關(guān)鍵．先根據(jù)可得，從而可得，再可得，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象特點即可得．【詳解】解：∵，∴，當時，，，與矛盾，當時，，

?，與矛盾，當時，，，與矛盾，當時，，，與矛盾，∴，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故選：D．考點3一次函數(shù)的平移13．（2025·陜西·中考真題）在平面直角坐標系中，過點，的直線向上平移3個單位長度，平移后的直線經(jīng)過的點的坐標可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的平移性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，先根據(jù)點，，求出這條直線的解析式為，結(jié)合平移的性質(zhì)，得平移后的直線解析式為，再將每個選項進行驗證，即可作答．【詳解】解：設(shè)過點，的直線解析式為，把點，分別代入，得，∴，∴，∵過點，的直線向上平移3個單位長度，∴平移后的直線解析式為，當時，則，即在直線上，故B選項符合題意，故A選項不符合題意；當時，則，即在直線上，故D選項不符合題意；當時，則，即在直線上，故C選項不符合題意；故選：B14．（2025·天津·中考真題）將直線向上平移個單位長度，若平移后的直線經(jīng)過第三、第二、第一象限，則的值可以是（寫出一個即可）．【答案】2（答案不唯一，滿足即可）【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)直線經(jīng)過的象限，求參數(shù)的范圍，根據(jù)平移規(guī)則求出新的解析式，根據(jù)圖象經(jīng)過第三、第二、第一象限，得到，進行求解即可．【詳解】解：由題意，平移后的解析式為：，∵平移后的直線經(jīng)過第三、第二、第一象限，∴，∴；∴的值可以是2；故答案為：2（答案不唯一，滿足即可）15．（2025·河北·中考真題）在平面直角坐標系中，橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點．如圖，正方形與正方形的頂點均為整點．若只將正方形平移，使其內(nèi)部（不含邊界）有且只有，，三個整點，則平移后點的對應(yīng)點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了坐標與圖象，一次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，根據(jù)選項判斷平移方式，結(jié)合題意，即可求解．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，代入∴∴∴直線的解析式為∵，A.當為時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，∴直線平移后的解析式為，此時經(jīng)過原點，對應(yīng)的經(jīng)過整點，符合題意，B.當為時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，∴直線平移后的解析式為，此時原點在下方，對應(yīng)的在整點上方，不符合題意，C.當為時，平移方式為向右平移個單位，，∴直線平移后的解析式為，此時點在正方形內(nèi)部，不符合題意，D.當為時，平移方式為向右平移個單位，向上平移個單位，∴直線平移后的解析式為，此時點和在正方形內(nèi)部，不符合題意，故選：A．16．（2025·四川瀘州·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個交點為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移12個單位，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)圖象的問題，熟知待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把點A坐標分別代入兩個函數(shù)解析式中計算求解即可得到答案；（2）根據(jù)“上加下減，左減右加”的平移規(guī)律可得直線解析式為，則可求出，過點A作軸交直線于T，則，再根據(jù)列式求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴，∴一次函數(shù)解析式為；∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵將一次函數(shù)的圖象沿軸向下平移12個單位，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴；如圖所示，過點A作軸交直線于T，∵，∴點T的橫坐標為2，在中，當時，，∴，∴，∴．17．（2025·江西·中考真題）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；(2)將直線l向上平移，在x軸上方與反比例函數(shù)圖象交于點C，連接，當時，求點C的坐標及直線l平移的距離．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)和解析式為；(2)點，直線l平移的距離為．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求反比例函數(shù)解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，直線的平移，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先得到點和點關(guān)于直線對稱，可求得，設(shè)直線l向上平移個單位經(jīng)過點，再利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∵直線經(jīng)過點，∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)和解析式為；（2）解：作一三象限的角平分線，如圖，∵，∴，根據(jù)雙曲線的對稱性，知點和點關(guān)于直線對稱，∴，作軸于點，作軸于點，∵，，，∴，∵，∴，，∴點，設(shè)直線l向上平移個單位經(jīng)過點，∴平移后的直線為，∴，解得，∴直線l平移的距離為．18．（2025·甘肅平?jīng)觥ぶ锌颊骖}）如圖，一次函數(shù)的圖象交x軸于點A，交反比例函數(shù)的圖象于點，將一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度，所得的圖象交x軸于點C．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)當?shù)拿娣e為3時，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及了求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象平移問題等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論即可正確求解；（1）由題意得：點在一次函數(shù)的圖象上，可求出，即可求解；（2）對于一次函數(shù)，令求出；一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度后的解析式為：；求出，即可求解；【詳解】（1）解：由題意得：點在一次函數(shù)的圖象上，∴，∴；∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：對于一次函數(shù)，令，則；∴；一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度后的解析式為：；對于一次函數(shù)，令，則；∴；∴∵，，∴；解得：．19．（2025·甘肅·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象交x軸于點A，交反比例函數(shù)的圖象于點．將一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度，所得的圖象交x軸于點C．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)當?shù)拿娣e為3時，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及了求反比例函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象平移問題等知識點，熟記相關(guān)結(jié)論即可；（1）由題意得：點在一次函數(shù)的圖象上，可求出，即可求解；（2）對于一次函數(shù)，令求出；一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度后的解析式為：；求出，即可求解；【詳解】（1）解：由題意得：點在一次函數(shù)的圖象上，∴，∴；∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：對于一次函數(shù)，令，則；∴；一次函數(shù)的圖象向下平移個單位長度后的解析式為：；對于一次函數(shù)，令，則；∴；∴；解得：考點4一次函數(shù)與坐標軸20．（2025·四川南充·中考真題）已知直線與直線的交點在軸上，則的值是．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)的交點問題，由直線與直線的交點在軸上可知當時函數(shù)值相等，得到，然后代入化簡即可．推導(dǎo)知時函數(shù)值相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當時，，，∵直線與直線的交點在軸上，∴，∴．21．（2025·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．(1)求k，b的值；(2)當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值既小于函數(shù)的值，也小于函數(shù)的值，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，函數(shù)的解析式為，當時，則，當時，則，根據(jù)當時，兩個不等式都成立可得；當，時，和恒成立；當時，則且，再分當時，則，當時，則，兩種情況分別解不等式即可得到答案．【詳解】（1）解：∵在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，∴，解得；（2）解：由（1）可得函數(shù)的解析式為，函數(shù)的解析式為，當時，則，當時，則，∵當時，對于x的每一個值，函數(shù)的值既小于函數(shù)的值，也小于函數(shù)的值，∴，且，∴，當，時，和恒成立，故符合題意；當時，則且，當時，則，解不等式得，解不等式，∴；當時，則，解不等式得，解不等式得，此時不符合題意；綜上所述，．考點5一次函數(shù)的應(yīng)用：行程問題22．（2025·黑龍江綏化·中考真題）自主研發(fā)和創(chuàng)新讓我國的科技快速發(fā)展，“中國智造”正引領(lǐng)世界潮流．某科技公司計劃投入一筆資金用來購買、兩種型號的芯片．已知購買顆型芯片和2顆型芯片共需要元，購買顆型芯片和顆型芯片共得要元．(1)求購買顆型芯片和顆型芯片各需要多少元．(2)若該公司計劃購買、兩種型號的芯片共頻，其中購買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的倍．當購買型芯片多少顆時，所需資金最少，最少資金是多少元．(3)該公司用甲、乙兩輛芯片運輸車，先后從地出發(fā)，沿著同一條公路勻速行駛，前往目的地，兩車到達地后均停止行駛．如圖，、分別是甲、乙兩車離地的距離與甲車行駛的時間之間的函數(shù)關(guān)系．請根據(jù)圖象信息解答下列問題：①甲車的速度是________．②當甲、乙兩車相距時，直接寫出的值________．【答案】(1)購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元(2)當該公司購買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元(3)①；②或或【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)最優(yōu)化問題：（1）根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）結(jié)合不等式約束條件，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值即可；（3）求出解析式代入計算即可；求出甲乙兩車的函數(shù)解析式，分類討論即可．【詳解】（1）設(shè)：購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元由題意得解得答：購買顆型芯片和顆型芯片分別需要元和元（2）設(shè)購買型芯片顆，則購買型芯片顆，所需資金為元由題意得：隨的增大而減小購買型芯片的數(shù)量不少于型芯片數(shù)量的3倍，解得取正整數(shù)當時，取最小值，（元）此時答：當該公司購買型芯片顆，所需資金最少，最少資金是元（3）①設(shè)的解析式為將點，代入得解得所以，的解析式為，當時，所以，甲車的速度為②的解析式為將點代入得，解得所以的解析式為當函數(shù)的圖象在函數(shù)上方時可列方程解得當函數(shù)的圖象在函數(shù)下方時可列方程解得當甲車到達地，乙離目的地時，可列方程解得綜上所述，的值為：或或．23．（2025·天津·中考真題）已知小華的家、書店、公園依次在同一條直線上，書店離家，公園離家．小華從家出發(fā)，先勻速步行了到書店，在書店停留了，之后勻速步行了到公園，在公園停留后，再用勻速跑步返回家．下面圖中表示時間，表示離家的距離．圖象反映了這個過程中小華離家的距離與時間之間的對應(yīng)關(guān)系．請根據(jù)相關(guān)信息，回答下列問題：(1)①填表：小華離開家的時間161850小華離家的距離②填空：小華從公園返回家的速度為____________；③當時，請直接寫出小華離家的距離關(guān)于時間的函數(shù)解析式；(2)若小華的媽媽與小華同時從家出發(fā)，小華的媽媽以的速度散步直接到公園．在從家到公園的過程中，對于同一個的值，小華離家的距離為，小華的媽媽離家的距離為，當時，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】(1)①②③(2)【分析】本題主要考查了函數(shù)的圖形，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，求分段函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和不等式相結(jié)合等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是準確從圖形中獲取信息．（1）①理解題意，從圖形中獲取準確信息即可；②理解題意，從圖形中獲取準確信息利用速度公式進行計算即可；③理解題意，從圖形中獲取準確信息，并利用待定系數(shù)法進行分段求函數(shù)解析式即可；（2）求出相關(guān)解析式，列出等式求解，并結(jié)合圖形即可求出不等式的解集．【詳解】（1）解：①小華去書店的速度為，1分鐘時小華離家的距離為；由圖可知18分鐘時，小華離家的距離為；50分鐘時，小華離家的距離為；故答案為：；②小華返回家的速度為故答案為：；③由①得小華去書店的速度為，∴當時，；由圖可知，當時，；當時，假設(shè)直線解析式為，將代入解析式得，解得∴；綜上，；（2）解：如圖所示，為媽媽的圖形，根據(jù)題意可知，小華媽媽的速度為，所以其直線解析式為，當時，令，解得，經(jīng)驗證，符合題意；令，解得，經(jīng)驗證，符合題意；結(jié)合圖形，當時，．24．（2025·黑龍江·中考真題）一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經(jīng)B地接人，停留一段時間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達B地后立即原路原速返回C地（卸貨時間忽略不計）．兩車同時出發(fā)，轎車比貨車晚到達終點，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：）與轎車的行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：(1)圖中a的值是_______，b的值是_______；(2)在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：）與行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；(3)直接寫出轎車出發(fā)多長時間與貨車相距40．【答案】(1)300，2(2)(3)或或【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)貨車的圖象得到B、C兩地的距離為，進而求出的值，求出轎車的速度，求出轎車從開往地所需的時間，進而求出的值；（2）根據(jù)轎車比貨車晚到達終點，求出點坐標，進而求出點坐標，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（3）分轎車到達地之前，轎車到達地，貨車離地，以及貨車到達地時，三種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由圖象可知，B、C兩地的距離為，A、B兩地的距離為，∴，∵轎車的速度為：，∴轎車從開往地所需的時間為：，∴；故答案為：300，2；（2）∵轎車比貨車晚到達終點，∴貨車到達地所用時間為：，∴，∵貨車從C地出發(fā)，送貨到達B地后立即原路原速返回C地，∴，設(shè)，∴，解得：，∴；（3）由（2）可知，貨車的速度為：，∴當轎車到達地之前，，解得：；當轎車到達地，貨車離地時，，則：符合題意；當貨車到達地時，此時轎車離點的距離為：，恰好滿足題意，此時；綜上：轎車出發(fā)或或時與貨車相距40．25．（2025·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）2025年春晚舞臺上的機器人表演，充分演繹了科技與民族文化的完美融合．為滿足學(xué)生的好奇心和求知欲，某校組織科技活動“機器人走進校園”，AI熱情瞬間燃爆．校園里一條筆直的“勤學(xué)路”上依次設(shè)置了A，B，C三個互動區(qū)，機器人甲、乙分別從A，C兩區(qū)同時出發(fā)開始表演，機器人甲沿“勤學(xué)路”以20米／分的速度勻速向B區(qū)行進，行至B區(qū)時停留4.5分鐘（與師生熱情互動）后，繼續(xù)沿“勤學(xué)路”向C區(qū)勻速行進，機器人乙沿“勤學(xué)路”以10米／分的速度勻速向B區(qū)行進，行至B區(qū)時接到指令立即勻速返回，結(jié)果兩機器人同時到達C區(qū)．機器人甲、乙距B區(qū)的距離y（米）與機器人乙行進的時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象信息解答下列問題：(1)A，C兩區(qū)相距__________米，__________；(2)求線段所在直線的函數(shù)解析式；(3)機器人乙行進的時間為多少分時，機器人甲、乙相距30米？（直接寫出答案即可）【答案】(1)(2)(3)7分或11分或13分【分析】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用和從函數(shù)圖象獲取信息，熟練掌握一次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖象可直接進行求解A、C兩區(qū)之間的距離，然后再結(jié)合甲的行進情況可求解a；（2）求出，由圖象可得，設(shè)直線的解析式為，進而問題可求解；（3）由題意可分三種情況分別進行求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得，A，C兩區(qū)相距為（米），由題意可知，表示甲到達B區(qū)的時間，則，故答案為：（2）由題意可知，點E表示機器人乙沿“勤學(xué)路”以10米／分的速度勻速到達了B區(qū)，∴點E的橫坐標為，∴，設(shè)直線的解析式為，把，代入得到，，解得：，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為：；（3）機器人乙行進的時間為x分時，甲和乙都未到達B區(qū)，相距30米，則，解得，即機器人乙行進的時間為分時，機器人甲、乙相距30米；機器人乙行進的時間為t分時，從B點返回，且甲仍在B區(qū)停留期間，相距30米，則，解得，即機器人乙行進的時間為分時，機器人甲、乙相距30米；機器人乙行進的時間為n分時，從B點返回途中，且甲離開B區(qū)向C區(qū)前進時，相距30米，當時，甲機器人距B區(qū)的距離y（米）與機器人乙行進的時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系為，把，代入得到，，解得：，∴線段所在直線的函數(shù)解析式為：；則，解得，即機器人乙行進的時間為分時，機器人甲、乙相距30米；綜上可知，機器人乙行進的時間7分或11分或13分時，機器人甲、乙相距30米．考點6一次函數(shù)的應(yīng)用：銷售問題26．（2025·黑龍江·中考真題）2024年8月6日，第十二屆世界運動會口號“運動無限，氣象萬千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相．第一中學(xué)為鼓勵學(xué)生積極參加體育活動，準備購買“蜀寶”和“錦仔”獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生．已知購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元．(1)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要多少元？(2)若學(xué)校計劃購買這兩種吉祥物共30個，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購買方案？(3)設(shè)學(xué)校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？【答案】(1)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元(2)方案一：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案二：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案三：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；(3)方案一需要的資金最少，最少資金是2160元【分析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確的列出方程組，不等式組和一次函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元，根據(jù)購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元，列出方程組進行求解即可；（2）設(shè)購買“蜀寶”個，根據(jù)投入資金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式組，進行求解即可；（3）根據(jù)投入資金等于兩種吉祥物的費用之和，列出函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元，由題意，得：，解得：；答：購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要元和元；（2）解：設(shè)購買“蜀寶”個，則：購買“錦仔”個；∴，解得：，∴，；∴共有3種方案：方案一：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案二：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；方案三：購買“蜀寶”個，購買“錦仔”個；（3）解：由題意，得：，∴隨著的增大而增大，∴當時，即方案一需要的資金最少，最少資金是（元）；答：方案一需要的資金最少，最少資金是2160元．27．（2025·山東煙臺·中考真題）2025年6月5日是第54個“世界環(huán)境日”，為打造綠色低碳社區(qū)，某社區(qū)決定購買甲、乙兩種太陽能路燈安裝在社區(qū)公共區(qū)域，升級改造現(xiàn)有照明系統(tǒng)．已知購買1盞甲種路燈和2盞乙種路燈共需220元，購買3盞甲種路燈比4盞乙種路燈的費用少140元．(1)求甲、乙兩種路燈的單價；(2)該社區(qū)計劃購買甲、乙兩種路燈共40盞，且甲種路燈的數(shù)量不超過乙種路燈數(shù)量的，請通過計算設(shè)計一種購買方案，使所需費用最少．【答案】(1)甲、乙兩種路燈的單價分別為元，元(2)購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費用最少【分析】本題考查了二元一次方程組以及一元一次不等式、一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組，不等式以及一次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；（1）設(shè)甲、乙兩種路燈的單價分別為元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購買甲種路燈盞，則購買乙種路燈盞，列出不等式，求得，設(shè)購買費用為元，得出，進而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)甲、乙兩種路燈的單價分別為元，根據(jù)題意得，解得：答：甲、乙兩種路燈的單價分別為，元（2）解：設(shè)購買甲種路燈盞，則購買乙種路燈盞，根據(jù)題意得，解得：設(shè)購買費用為元，根據(jù)題意得，∵∴當取得最大值時，取得最小值，∴時，（盞），即購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費用最少，答：購買甲種路燈盞，購買乙種路燈盞，費用最少．28．（2025·四川眉山·中考真題）國家衛(wèi)健委在全民健康調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，近年來的肥胖人群快速增長，為加強對健康飲食的重視，特發(fā)布各地區(qū)四季健康飲食食譜．現(xiàn)有A、B兩種食品，每份食品的質(zhì)量為，其核心營養(yǎng)素如下：食品類別能量（單位：）蛋白質(zhì)（單位：）脂肪（單位：）碳水化合物（單位：）A240127.529.8B28013927.6(1)若要從這兩種食品中攝入能量和蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？(2)若每份午餐選用這兩種食品共，從A、B兩種食品中攝入的蛋白質(zhì)總量不低于，且能量最低，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？【答案】(1)選用A、B兩種食品分別為份和2份；(2)應(yīng)選用A、B兩種食品分別為2份和份；【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)選用A、B兩種食品分別為份和份，結(jié)合選用A、B兩種食品分別為份和份，列出方程組，進行計算，即可作答．（2）結(jié)合每份食品的質(zhì)量為，每份午餐選用這兩種食品共，則選用B種食品份，再列出不等式，得，然后設(shè)能量為，則，運用一次函數(shù)的性質(zhì)進行作答即可．【詳解】（1）解：設(shè)選用A、B兩種食品分別為份和份，∵這兩種食品中攝入能量和蛋白質(zhì)，∴，∴，∴選用A、B兩種食品分別為份和2份；（2）解：設(shè)選用A種食品份，依題意，，即選用B種食品份，則，解得，設(shè)能量為，則∵，∴隨的增大而減小，∴當時能量最低，即，∴應(yīng)選用A、B兩種食品分別為2份和份．29．（2025·四川廣安·中考真題）某景區(qū)需要購買A，B兩種型號的帳篷．已知用1800元購買A種帳篷的數(shù)量與用3000元購買B種帳篷的數(shù)量相等，且B種帳篷的單價比A種帳篷的單價多400元．(1)求A，B兩種帳篷的單價各多少元？(2)若該景區(qū)需要購買A，B兩種型號的帳篷共20頂（兩種型號的帳篷均需購買），且購買B種型號帳篷的數(shù)量不少于A種型號帳篷數(shù)量的，則購買A，B兩種型號的帳篷各多少頂時，總費用最低？最低總費用是多少元？【答案】(1)A種帳篷的單價為600元，B種帳篷的單價為1000元(2)當購買A種帳篷15頂，B種帳篷5頂時，總費用最低，最低總費用為14000元【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程，不等式和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A種帳篷的單價為x元，則B種帳篷的單價為元，根據(jù)用1800元購買A種帳篷的數(shù)量與用3000元購買B種帳篷的數(shù)量相等建立方程求解即可；（2）設(shè)購買A種帳篷m頂，則B種帳篷頂，總費用為W元，根據(jù)購買B種型號帳篷的數(shù)量不少于A種型號帳篷數(shù)量的列出不等式求出m的取值范圍，再列出W關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種帳篷的單價為x元，則B種帳篷的單價為元．由題意得：，解得：經(jīng)檢驗：符合題意，，答：A種帳篷的單價為600元，B種帳篷的單價為1000元．（2）解：設(shè)購買A種帳篷m頂，則B種帳篷頂，總費用為W元．由題意得：，解得：．又兩種型號的帳篷均需購買，．，，隨m的增大而減小當時，W取最小值，，此時，答：當購買A種帳篷15頂，B種帳篷5頂時，總費用最低，最低總費用為14000元．考點7一次函數(shù)的應(yīng)用：方案設(shè)計問題30．（2025·四川德陽·中考真題）中江掛面以“細如發(fā)絲、清如白玉、耐煮不糊、入口綿軟”聞名遐邇，其獨特的空心技藝傳承千年，從揉面、開條、上筷到拉扯成型，需經(jīng)十余道古法工序．數(shù)學(xué)興趣小組走進某老字號掛面廠進行調(diào)研，已知購買2袋A型與2袋B型掛面共需費用100元，購買3袋A型與2袋B型掛面共需費用120元．(1)A型、B型掛面的單價分別是多少元？(2)為進一步推廣此非遺美食，興趣小組決定購買A、B兩種型號掛面共40袋．在單價不變，總費用不超過950元，且B型掛面不少于10袋的條件下，共有幾種購買方案？其中最低花費多少元？【答案】(1)A型掛面每袋20元，B型掛面每袋30元(2)共有6種購買方案，最低費用為900元【分析】本題考查了運用二元一次方程組解應(yīng)用題，以及綜合運用一次函數(shù)和一元一次不等式設(shè)計方案問題．根據(jù)題意列出方程組，不等式組以及一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．先根據(jù)題意列不等式組求出a的范圍為，再根據(jù)題意列出w與a的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得時，w有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A型掛面每袋x元，B型掛面每袋y元．則，得．答：A型掛面每袋20元，B型掛面每袋30元．（2）解：設(shè)購買B型掛面a袋，則購買A型掛面的數(shù)量為袋，總費用為w元．則，解得，又a為正整數(shù)，，11，12，13，14，15．由題意得．，w隨a的增大而增大，時，w有最小值，最小值為（元）．答：共有6種購買方案，最低費用為900元．31．（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，需用正方形和長方形兩種硬紙片，且長方形的寬與正方形的邊長相等．(1)現(xiàn)用200張正方形硬紙片和400張長方形硬紙片，恰好能制作甲、乙兩種紙盒各多少個?(2)如果需要制作100個長方體紙盒，要求乙種紙盒數(shù)量不低于甲種紙盒數(shù)量的一半，那么至少需要多少張正方形硬紙片?【答案】(1)恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個(2)至少需要134張正方形硬紙片【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)恰好能制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個．結(jié)合題意列出方程組，再解得，即可作答．（2）先設(shè)制作乙種紙盒m個，需要w張正方形硬紙片．根據(jù)題意列出，結(jié)合，得，其中最小整數(shù)解為34．運用一次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行分析作答即可．【詳解】（1）解：制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，甲種需要1個正方形，4個長方形，乙種需要2個正方形，3個長方形，設(shè)恰好能制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個．根據(jù)題意，得，得，答：恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個．（2）解：設(shè)制作乙種紙盒m個，需要w張正方形硬紙片．則．由，知w隨m的增大而增大，∴當m最小時，w有最小值．根據(jù)題意，得，解得，其中最小整數(shù)解為34．即當時，．答：至少需要134張正方形硬紙片．32．（2025·廣東深圳·中考真題）某學(xué)校采購體育用品，需要購買三種球類．已知某體育用品商店排球的單價為30元/個，籃球，足球的價格如下表：①籃球、足球、排球各買一個的價格為140元②購買2個足球的價格比購買一個籃球多花費40元③購買5個籃球與購買6個足球花費相同(1)請你從上述3個條件中任選2個作為條件，求出籃球和足球的單價；(2)若該學(xué)校要購買籃球，足球共10個，且足球的個數(shù)不超過籃球個數(shù)的2倍，請問購買多少個籃球時，花費最少，最少費用是多少？【答案】(1)每個籃球60元，每個足球50元(2)當購買籃球4個的時候，所花費用最少【分析】本題考查二元一次方程組，一元一次不等式，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確的列出方程組，不等式和一次函數(shù)解析式，是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)每個籃球元，每個足球元，根據(jù)表格信息，列出二元一次方程組進行求解即可；（2）設(shè)藍球有個，購買的總費用是元，根據(jù)題意，列出不等式求出的范圍，列出一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)每個籃球元，每個足球元，由題意，得：或或，（三個方程組任選一個即可）解得：；答：每個籃球60元，每個足球50元．（2）設(shè)藍球有個，則足球有個，解得：，設(shè)購買的總費用是元，，，隨著的減小而減?。弧咔覟檎麛?shù)，當最小值為4時，最小值為540元；答：當購買籃球4個的時候，所花費用最少．33．（2025·云南·中考真題）請你根據(jù)下列素材，完成有關(guān)任務(wù)．背景某校計劃購買籃球和排球，供更多學(xué)生參加體育鍛煉，增強身體素質(zhì)．素材一購買個籃球與購買個排球需要的費用相等；素材二購買個籃球和個排球共需元；素材三該校計劃購買籃球和排球共個，籃球和排球均需購買，且購買排球的個數(shù)不超過購買籃球個數(shù)的倍．請完成下列任務(wù)：任務(wù)一每個籃球，每個排球的價格分別是多少元？任務(wù)二給出最節(jié)省費用的購買方案．【答案】任務(wù)一：每個籃球元，每個排球元；任務(wù)二：購買籃球個，排球個，最節(jié)省費用．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：設(shè)每個籃球元，每個排球元，根據(jù)題意得，然后解方程組即可；任務(wù)二：設(shè)購買籃球個，則購買排球個，費用為元，根據(jù)題意得，求出的取值范圍，由，可得隨的增大而增大，則當時，有最小值，從而求解．【詳解】解：任務(wù)一：設(shè)每個籃球元，每個排球元，根據(jù)題意得：，解得：，答：每個籃球元，每個排球元；任務(wù)二：設(shè)購買籃球個，則購買排球個，總的費用為元，根據(jù)題意得：，∴且a為整數(shù)，∴，∵∴隨的增大而增大，∴當時，有最小值，為元，此時，答：購買籃球個，排球個，最節(jié)省費用．34．（2025·山東·中考真題）山東省在能源綠色低碳轉(zhuǎn)型過程中，探索出一條“以儲調(diào)綠”的能源轉(zhuǎn)型路徑．某地結(jié)合實際情況，建立了一座圓柱形蓄水池，通過蓄水發(fā)電實現(xiàn)低峰蓄能、高峰釋能，助力能源轉(zhuǎn)型．已知本次注水前蓄水池的水位高度為5米，注水時水位高度每小時上升6米．(1)請寫出本次注水過程中，蓄水池的水位高度y（米）與注水時間x（小時）之間的關(guān)系式；(2)已知蓄水池的底面積為萬平方米，每立方米的水可供發(fā)電千瓦時，求注水多長時間可供發(fā)電萬千瓦時？【答案】(1)(2)注水5小時可供發(fā)電萬千瓦時．【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，正確列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)蓄水池的水位高度等于注水時水位每小時升高的高度乘以注水時間與本次注水前蓄水池的水位高度的和，據(jù)此列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)y與x的函數(shù)關(guān)系式以及已知條件列關(guān)于x的一元一次方程并求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：蓄水池的水位高度y（米）與注水時間x（小時）之間的關(guān)系式．（2）解：根據(jù)題意，得，解得．答：注水5小時可供發(fā)電萬千瓦時．考點8一次函數(shù)的應(yīng)用：跨學(xué)科問題35．（2025·陜西·中考真題）研究表明，一定質(zhì)量的氣體，在壓強不變的條件下，氣體體積與氣體溫度成一次函數(shù)關(guān)系．某實驗室在壓強不變的條件下，對一定質(zhì)量的某種氣體進行加熱，測得的部分數(shù)據(jù)如下表：氣體溫度…253035…氣體體積…596606616…(1)求與的函數(shù)關(guān)系式；(2)為滿足下一步的實驗需求，本次實驗要求氣體體積達到時停止加熱．求停止加熱時的氣體溫度．【答案】(1)(2)【分析】該題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）令，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，則，解得，故與的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：令，則，解得：，答：停止加熱時的氣體溫度為．36．（2025·吉林·中考真題）【知識鏈接】實驗?zāi)康模禾骄扛×Φ拇笮∨c哪些因素有關(guān)實驗過程：如圖①，在兩個完全相同的溢水杯中，分別盛滿甲、乙兩種不同密度的液體，將完全相同的兩個質(zhì)地均勻的圓柱體小鋁塊分別懸掛在彈簧測力計A，B的下方，從離桌面20cm的高度，分別緩慢浸入到甲、乙兩種液體中，通過觀察彈簧測力計示數(shù)的變化，探究浮力大小的變化．（溢水杯的杯底厚度忽略不計）實驗結(jié)論：物體在液體中所受浮力的大小，跟它浸在液體中的體積有關(guān)、跟液體的密度有關(guān)．物體浸在液體中的體積越大、液體的密度越大，浮力就越大．總結(jié)公式：當小鋁塊位于液面上方時，；當小鋁塊浸入液面后，．【建立模型】在實驗探究的過程中，實驗小組發(fā)現(xiàn)：彈簧測力計A，B各自的示數(shù)與小鋁塊各自下降的高度之間的關(guān)系如圖②所示．【解決問題】(1)當小鋁塊下降10cm時，直接寫出彈簧測力計A和彈簧測力計B的示數(shù)．(2)當時，求彈簧測力計A的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式．(3)當彈簧測力計A懸掛的小鋁塊下降8cm時，甲液體中的小鋁塊受到的浮力為，若使乙液體中的小鋁塊所受的浮力也為，則乙液體中小鋁塊浸入的深度為，直接寫出m，n的值．【答案】(1)彈簧測力計A的示數(shù)為，彈簧測力計B的示數(shù)為；(2)；(3)，．【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．（1）直接根據(jù)圖②作答即可；（2）設(shè)當時，彈簧測力計A的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，別將，代入計算即可；（3）由題意可知小鋁重為，將代入得，將變形即可求出，求出當時，彈簧測力計B的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，將代入計算即可．【詳解】（1）解：由圖②可知，當小鋁塊下降10cm時，彈簧測力計A的示數(shù)為，彈簧測力計B的示數(shù)為；（2）解：設(shè)當時，彈簧測力計A的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，由圖可知經(jīng)過，分別將，代入得：，解得：，∴；（3）解：由題意可知小鋁重為，將代入得，則，即；則使乙液體中的小鋁塊所受的浮力為，∴，設(shè)當時，彈簧測力計B的示數(shù)關(guān)于x的函數(shù)解析式為，由圖可知經(jīng)過，分別將，代入得：，解得：，即，將代入得：，解得：，∴深度為．考點9一次函數(shù)的應(yīng)用：生活應(yīng)用問題37．（2025·吉林長春·中考真題）隨著我國人工智能科技的快速發(fā)展，智能機器人已經(jīng)走進我們的生活．某快遞公司使用甲、乙兩臺不同型號的智能機器人進行快遞分揀工作，它們工作時各自的速度均保持不變．已知某天它們同時開始工作，甲機器人工作一段時間后、停工保養(yǎng)．保養(yǎng)結(jié)束后又和乙機器人一起繼續(xù)工作．甲、乙兩臺機器人分揀快遞的總數(shù)量（件）與乙機器人工作時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)甲機器人停工保養(yǎng)的時間為分鐘，；(2)求所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(3)若該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為分鐘．【答案】(1)，(2)(3)該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為分鐘.【分析】本題考查的是一次函數(shù)的實際應(yīng)用；（1）由圖象可得：甲機器人停工保養(yǎng)的時間，再計算甲乙機器人的工作效率，再列式計算求解的值即可；（2）由甲乙機器人的效率為每分鐘件，可得所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為：，再化簡即可；（3）把代入，進一步即可得到答案.【詳解】（1）解：由圖象可得：甲機器人停工保養(yǎng)的時間為分鐘；∵，∴（件）；（2）解：∵甲乙機器人的效率為每分鐘件，∴所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為：；（3）解：當時，∴，解得：，∴該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為分鐘.38．（2025·吉林長春·中考真題）某校綜合實踐活動中，數(shù)學(xué)活動小組要研究九年級男生臂展（兩臂左右平伸時兩手中指指尖之間的距離）與身高的關(guān)系．小組成員在本校九年級男生中隨機抽取20名男生，測量他們的臂展與身高，并對得到的數(shù)據(jù)進行了整理、描述和分析．下面給出了部分的信息：a．20名男生的臂展與身高數(shù)據(jù)如下表：編號12345678910身高166169169171172173173173174174臂展161162164166164165167169169170編號11121314151617181920身高175176177177178179180180181183臂展169167173172173170177174176185b．20名男生臂展與身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)身高175m173臂展170169c．20名男生臂展的頻數(shù)分布直方圖如圖①：（將臂展數(shù)據(jù)分成5組：，）d．20名男生臂展與身高的散點圖如圖②，活動小組發(fā)現(xiàn)圖中大部分點落在一條直線附近的狹長帶形區(qū)域內(nèi)．他們利用計算機和簡單統(tǒng)計軟件得到了描述臂展與身高之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的直線．根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)寫出表中、的值：，；(2)該校九年級有男生240人，估計其中臂展大于或等于的男生人數(shù)；(3)圖②中直線近似的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)直線反映的趨勢，估計身高為男生的臂展長度．【答案】(1)；(2)人(3)身高為男生的臂展長度約為.【分析】本題考查的是從統(tǒng)計圖表，以及函數(shù)圖象中獲取信息，利用樣本估計總體；（1）根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的含義可得答案；（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人數(shù)的占比為，再乘以總?cè)藬?shù)即可；（3）把代入即可得到答案.【詳解】（1）解：由表格信息可得：；；（2）解：該校九年級有男生240人，估計臂展大于或等于170cm的男生人數(shù)為：（人）；（3）解：∵，當時，，∴身高為男生的臂展長度約為.考點10一次函數(shù)與幾何變化規(guī)律39．（2025·黑龍江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交y軸于點．四邊形，，，，都是正方形，頂點，，，，都在軸上，頂點，，，，都在直線上，連接，，，，分別交，，，，于點，，，，．設(shè)，，，，…的面積分別為，，，，，則．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點的坐標是，設(shè)點的坐標是，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得，從而求出正方形的邊長為，根據(jù)正方形的對邊相互平行，可知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，從而可得，利用三角形的面積公式可以求出，同理可以求出，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可證，且相似比為，根據(jù)規(guī)律可得．【詳解】解：當時，，點的坐標是，點在直線上，設(shè)點的坐標是，則點的坐標是，點的坐標是，四邊形是正方形，，，，解得：，的坐標是，正方形的邊長為，，，，，，，解得：，，；設(shè)點的坐標為，則點的坐標是，點的坐標是，，四邊形是正方形，，，，解得：，，的坐標是，，，，，，，解得：，，，的坐標是，的坐標是，，的坐標是，點的坐標是，，，，，又四邊形和均為正方形，軸，軸，，，，且相似比為，，當時，，同理可證，且相似比為，則，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形的規(guī)律與探索，解決本題的關(guān)鍵是分別計算出和的面積，根據(jù)這兩個三角形的形狀與面積之間的關(guān)系找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出結(jié)果．40．（2025·四川德陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，，，點在直線上，且，連接，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，點的對應(yīng)點落在直線上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，點的對應(yīng)點也落在直線上．如此下去，…，則的縱坐標是．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，勾股定理，設(shè)直線與軸交于點，分別過作軸，軸，垂足分別為點，求出點，由，，則，，則有，由勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，所以，故有，即的縱坐標為，同理的縱坐標為，由，可判斷在直線上，所以的縱坐標為，從而求解，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點，分別過作軸，軸，垂足分別為點，由直線得，當時，，∴點，∴，∵，，∴，，由勾股定理得，∴，，∴，，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，∴，∴，即的縱坐標為，同理的縱坐標為，∵，∴在直線上，∴的縱坐標為，故答案為：．考點11一次函數(shù)與幾何綜合問題41．（2025·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸相交于點，與軸相交于點，點在線段上（不與點，重合），過點作的垂線，與直線相交于點，點關(guān)于直線的對稱點為，連接．(1)求證：；(2)設(shè)點的坐標為，當時，線段與線段相交于點，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)見解析(2)四邊形面積的最大值為．【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立；（2）由題意得，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)求得，，再利用梯形的面積公式求得四邊形面積關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：對于直線，令，則；令，則，∴，，∴，，∵，∴；（2）解：∵點的坐標為，∴，，∵點關(guān)于直線的對