2025年高中二年級數(shù)學上學期解析幾何專項測試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知點A(1,2)，B(3,0)，則線段AB的垂直平分線的方程是（）A.x-2y+3=0B.x+2y-5=0C.2x+y-4=0D.2x-y-1=02.若圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心在直線l:ax+by-1=0上，則a+b的值是（）A.-1B.0C.1D.23.過點P(1,-2)且與直線2x-y+5=0平行的直線方程是（）A.2x-y+1=0B.2x-y-5=0C.x+2y+3=0D.x-2y-5=04.直線x=2與圓(x-1)2+y2=5的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定5.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點坐標是（）A.(±c,0)B.(0,±c)C.(±a,0)D.(0,±b)6.若橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上一點P到左焦點的距離為4，則點P到右準線的距離是（）A.8B.4C.2D.$\frac{8}{3}$7.雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率e滿足e>2，則雙曲線的漸近線方程是（）A.y=±$\frac{a}$xB.y=±$\frac{a}$xC.y=±$\frac{c}{a}$xD.y=±$\frac{a}{c}$x8.拋物線y2=8x的焦點坐標是（）A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)9.直線y=kx與橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$恰有一個公共點，則k的值是（）A.±$\frac{4}{5}$B.±$\frac{5}{4}$C.±4D.±$\frac{16}{25}$10.已知F?、F?是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦點，P是橢圓上一點，且|PF?|=2|PF?|，則橢圓的離心率e是（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{3}{2}$二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.圓x2+y2-6x+4y-12=0的圓心坐標是__________，半徑是__________。12.過點A(2,3)且與拋物線y2=4x相切的直線方程是__________。13.雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的焦點到漸近線的距離是__________。14.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的短軸長為4，離心率為$\frac{1}{2}$，則a2+b2=__________。15.動點M到定點F(1,0)的距離與到直線x=3的距離之比為$\frac{1}{2}$，則點M的軌跡方程是__________。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.(本小題滿分12分)已知圓C過點A(1,2)和點B(3,0)，且圓心在直線l:x-y-1=0上，求圓C的方程。17.(本小題滿分12分)求過點P(1,-2)且與直線2x-y+5=0垂直的直線方程。18.(本小題滿分12分)已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，過點A(0,4)作直線l交橢圓于M、N兩點，且AM和AN的斜率互為相反數(shù)，求直線l的方程。19.(本小題滿分12分)已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a>0,b>0)，過右焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為M，且|FM|=$\frac{2}$，求雙曲線的離心率e。20.(本小題滿分13分)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，A、B是拋物線上異于原點的兩點，且|AF|=|BF|，直線AF與拋物線的準線交于點M，求證：|FM|=|AB|。21.(本小題滿分14分)已知F?、F?是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)的焦點，過F?作一條傾斜角為45°的直線交橢圓于A、B兩點，且|AB|=2$\sqrt{2}b$。(1)求橢圓的離心率e；(2)若M、N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，且|MN|=2a，求直線MN的方程。試卷答案一、選擇題：1.A2.C3.A4.A5.A6.A7.B8.A9.A10.A二、填空題：11.(3,-2)；512.3x-2y-1=013.414.2015.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$三、解答題：16.解析：設(shè)圓心C(t,t-1)，半徑為r。由|CA|=|CB|，得$\sqrt{(t-1)^2+(t-2)^2}=\sqrt{(t-3)^2+(t-0)^2}$。化簡得$t=2$，故圓心C(2,1)。r=$\sqrt{(2-1)^2+(1-2)^2}$=$\sqrt{2}$。圓C方程為$(x-2)^2+(y-1)^2=2$。17.解析：設(shè)所求直線方程為y=k(x-1)-2。由垂直關(guān)系，k*2=-1，得k=-$\frac{1}{2}$。故直線方程為y=-$\frac{1}{2}$(x-1)-2，即x+2y+3=0。18.解析：設(shè)直線l方程為y=kx+4。代入橢圓方程得$\frac{x^2}{25}+\frac{(kx+4)^2}{16}=1$?；喌?(16+25k^2)x^2+200kx+200=0$。設(shè)M(x?,y?)，N(x?,y?)。由韋達定理，x?+x?=-$\frac{200k}{16+25k^2}$，x?x?=$\frac{200}{16+25k^2}$。由AM和AN斜率互為相反數(shù)，得$\frac{y?-4}{x?}$+$\frac{y?-4}{x?}$=0。代入y?=kx?+4，y?=kx?+4，化簡得$\frac{kx?+4-4}{x?}$+$\frac{kx?+4-4}{x?}$=0，即k+k=0，此條件恒成立。故直線l方程為y=kx+4，滿足條件。由于k需使方程有實根，故需判別式Δ=(200k)2-4(16+25k2)×200≥0，解得k2≤$\frac{16}{25}$，即k∈[-$\frac{4}{5}$,$\frac{4}{5}$]。直線l方程為y=kx+4，k∈[-$\frac{4}{5}$,$\frac{4}{5}$]。19.解析：設(shè)雙曲線方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。右焦點F(c,0)，漸近線方程為y=$\pm\frac{a}$x。垂線FM方程為y=-$\frac{a}$(x-c)。令x=0，得M(c,$\frac{ac}$)。由|FM|=$\frac{2}$，得$\sqrt{c^2+(\frac{ac})^2}=\frac{2}$。化簡得$b^2c^2+a^2c^2=\frac{b^4}{4}$。由$c^2=a^2+b^2$，代入得$b^2(a^2+b^2)+a^2(a^2+b^2)=\frac{b^4}{4}$。化簡得$a^4+2a^2b^2+b^4=\frac{b^4}{4}$。即$(a^2+b^2)^2=\frac{b^4}{4}$。代入c2得$c^4=\frac{b^4}{4}$，即$(a^2+b^2)^2=\frac{(a^2-b^2)^2}{4}$。開方得$a^2+b^2=\frac{a^2-b^2}{2}$。整理得$a^2=3b^2$。故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3b^2+b^2}}{a}$=$\frac{2b}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{3b^2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$。20.解析：拋物線y2=2px(p>0)的焦點F($\frac{p}{2}$,0)，準線方程為x=-$\frac{p}{2}$。設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，M(x?,y?)。由|AF|=|BF|，得$\sqrt{(x?-\frac{p}{2})^2+y?^2}$=$\sqrt{(x?-\frac{p}{2})^2+y?^2}$。平方得$(x?-\frac{p}{2})^2+y?^2=(x?-\frac{p}{2})^2+y?^2$。由y?2=2px?，y?2=2px?，代入得$(x?-\frac{p}{2})^2+2px?=(x?-\frac{p}{2})^2+2px?$?；喌?x?^2-px?+\frac{p^2}{4}+2px?=x?^2-px?+\frac{p^2}{4}+2px?$。整理得$x?^2+px?=x?^2+px?$。因x?≠x?，得$x?-x?=p$。|FM|=$\sqrt{(x?-\frac{p}{2})^2+y?^2}$。|AB|=$\sqrt{(x?-x?)^2+(y?-y?)^2}$。由y?2=2px?，y?2=2px?，得(y?-y?)(y?+y?)=2p(x?-x?)。因x?≠x?，得y?+y?=$\frac{2p(x?-x?)}{y?-y?}$。|AB|2=(x?-x?)2+(y?-y?)2=(x?-x?)2+[y?-y?)2=(x?-x?)2+(y?-y?)2*$\frac{(y?+y?)^2}{(y?-y?)^2}$=(x?-x?)2*(1+$\frac{(y?+y?)^2}{(y?-y?)^2}$)=(x?-x?)2*$\frac{(y?-y?)^2+(y?+y?)^2}{(y?-y?)^2}$=(x?-x?)2*$\frac{4p^2(x?-x?)^2}{4p^2(y?-y?)^2}$=$\frac{(x?-x?)^4}{p^2(y?-y?)^2}$。因y?2=2px?，y?2=2px?，得y?-y?=$\sqrt{2p(x?-x?)}$。|AB|2=$\frac{(x?-x?)^4}{p^2*2p(x?-x?)}^2$=$\frac{(x?-x?)^4}{4p^4(x?-x?)^2}$=$\frac{(x?-x?)^2}{4p^2}$。由x?-x?=p，得(x?-x?)2=p2。|AB|2=$\frac{p^2}{4p^2}$=$\frac{1}{4}$。|AB|=$\frac{1}{2}$。|FM|=$\sqrt{(x?-\frac{p}{2})^2+y?^2}$。因A、B在拋物線上，且|AF|=|BF|=d，由拋物線定義，A到準線距離為|AF|=x?+$\frac{p}{2}$，B到準線距離為|BF|=x?+$\frac{p}{2}$。由|AF|=|BF|，得x?+$\frac{p}{2}$=x?+$\frac{p}{2}$，即x?=x?。這與x?-x?=p矛盾。重新審視，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，M為AB中點，則M($\frac{x?+x?}{2}$,$\frac{y?+y?}{2}$)。由|AF|=|BF|，A、B關(guān)于F對稱，故M為F($\frac{p}{2}$,0)。故|FM|=0。但A、B不可能是原點，矛盾。重新審視條件，|AF|=|BF|，設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，F(xiàn)($\frac{p}{2}$,0)。|AF|2=(x?-$\frac{p}{2}$)2+y?2，|BF|2=(x?-$\frac{p}{2}$)2+y?2。由|AF|=|BF|，得(x?-$\frac{p}{2}$)2+y?2=(x?-$\frac{p}{2}$)2+y?2。由y?2=2px?，y?2=2px?，代入得(x?-$\frac{p}{2}$)2+2px?=(x?-$\frac{p}{2}$)2+2px??；喌?x?^2-px?+\frac{p^2}{4}+2px?=x?^2-px?+\frac{p^2}{4}+2px?$。整理得$x?^2+px?=x?^2+px?$。因x?≠x?，得$x?-x?=p$。故|FM|=|FM|=$\sqrt{(\frac{x?+x?}{2}-\frac{p}{2})^2+(\frac{y?+y?}{2})^2}$。|AB|=$\sqrt{(x?-x?)^2+(y?-y?)^2}$。由y?2=2px?，y?2=2px?，得(y?-y?)(y?+y?)=2p(x?-x?)。因x?≠x?，得y?+y?=$\frac{2p(x?-x?)}{y?-y?}$。|AB|2=(x?-x?)2+(y?-y?)2=(x?-x?)2+[y?-y?)2=(x?-x?)2+(y?-y?)2*$\frac{(y?+y?)^2}{(y?-y?)^2}$=(x?-x?)2*(1+$\frac{(y?+y?)^2}{(y?-y?)^2}$)=(x?-x?)2*$\frac{(y?-y?)^2+(y?+y?)^2}{(y?-y?)^2}$=(x?-x?)2*$\frac{4p^2(x?-x?)^2}{4p^2(y?-y?)^2}$=$\frac{(x?-x?)^4}{p^2(y?-y?)^2}$。因y?2=2px?，y?2=2px?，得y?-y?=$\sqrt{2p(x?-x?)}$。|AB|2=$\frac{(x?-x?)^4}{p^2*2p(x?-x?)}^2$=$\frac{(x?-x?)^4}{4p^4(x?-x?)^2}$=$\frac{(x?-x?)^2}{4p^2}$。由x?-x?=p，得(x?-x?)2=p2。|AB|2=$\frac{p^2}{4p^2}$=$\frac{1}{4}$。|AB|=$\frac{1}{2}$。|FM|=$\sqrt{(\frac{x?+x?}{2}-\frac{p}{2})^2+(\frac{y?+y?}{2})^2}$。|FM|=$\sqrt{(\frac{x?+x?-p}{2})^2+(\frac{y?+y?}{2})^2}$。|FM|=$\sqrt{(\frac{p}{2}+\frac{p-p}{2})^2+(\frac{0+0}{2})^2}$=$\sqrt{(\frac{p}{2})^2+0^2}$=$\frac{p}{2}$。|AB|=$\frac{1}{2}$。|FM|=$\frac{p}{2}$。因為x?-x?=p，p=2$\frac{p}{2}$。所以|FM|=|AB|。21.解析：(1)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)的焦點F?(-c,0)，F(xiàn)?(c,0)，離心率e=$\frac{c}{a}$，c2=a2-b2。直線l：y=x+k過F?(-c,0)，得0=-c+k，得k=c。直線l方程為y=x+c。l與橢圓交于A(x?,y?)，B(x?,y?)。由$\begin{cases}y=x+c\\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$，消y得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(x+c)^2}{b^2}=1$?；喌?(b^2+a^2)x^2+2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0$。由|AB|=2$\sqrt{2}b$，得$\sqrt{1+1}\sqrt{(x?+x?)^2-4x?x?}$=2$\sqrt{2}b$。即$\sqrt{2}\sqrt{(-\frac{2a^2c}{b^2+a^2})^2-4\frac{a^2c^2-a^2b^2}{b^2+a^2}}$=2$\sqrt{2}b$。化簡得$\sqrt{2}\sqrt{\frac{4a^4c^2-4a^2(b^2+a^2)(c^2-a^2b^2)}{(b^2+a^2)^2}}$=2$\sqrt{2}b$。化簡得$\sqrt{\frac{4a^4c^2-4a^2(b^2+a^2)(c^2-a^2b^2)}{(b^2+a^2)^2}}$=2b$^2$?；喌?a^4c^2-4a^2(b^2+a^2)(c^2-a^2b^2)=2b^4(b^2+a^2)^2$。代入c2=a2-b2，得$a^4(a^2-b^2)-4a^2(b^2+a^2)((a^2-b^2)-a^2b^2)=2b^4(a^2+b^2)^2$?；喌?a^6-a^4b^2-4a^4b^2+4a^4b^4+4a^4b^4=2b^4(a^4+2a^2b^2+b^4)$?；喌?a^6-5a^4b^2+8a^4b^4=2b^4a^4+4a^2b^6+2b^8$。化簡得$a^6-7a^4b^2+4a^4b^4-4a^2b^6-2b^8=0$。除以$a^4$得$a^2-7b^2+4b^4-4b^4/a^2-2b^6/a^4-2b^8/a^6=0$。當a2=2b2時，得2b2-7b2+4b^4-4b^4/2b^2-2b^6/4b^4-2b^8/b^6=0?；喌?5b2+4b2-1/2-1/2-2b2=0。化簡得-b2-1=0。得b2=-1，無解。當a2=4b2時，得4b2-7b2+4b^4-4b^4/4b^2-2b^6/16b^4-2b^8/64b^6=0。化簡得-3b2+4b2-1-1/8-1/32=0?；喌?b2+31/32=0。得b2=31/32。a2=4b2=4*(31/32)=124/32=31/8。e=$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$=$\frac{\sqrt{31/8-31/32}}{2\sqrt{31/8}}$=$\frac{\sqrt{124/32-31/32}}{2\sqrt{31/8}}$=$\frac{\sqrt{93/32}}{2\sqrt{31/8}}$=$\frac{\sqrt{93/32}}{\sqrt{62/8}}$=$\frac{\sqrt{93}}{\sqrt{62}}$=$\sqrt{\frac{93}{62}}$=$\sqrt{\frac{3*31}{2*31}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$。(2)設(shè)M(x?,y?)，N(x?,y?)，M、N關(guān)于x軸對稱，故y?=-y?，x?=x?。|MN|=2a，即|x?-x?|=2a，即|x?-x?|=4$\sqrt{2}$b。設(shè)直線MN方程為y=k(x-x?)。由$\begin{cases}y=k(x-x?)\\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$，消y得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{k^2(x-x?)^2}{b^2}=1$。化簡得$(b^2+a^2k^2)x^2-2a^2k^2x?x+a^2k^2x?^2-a^2b^2=0$。由韋達定理，x?+x?=$\frac{2a^2k^2x?}{b^2+a^2k^2}$。由x?-x?=4$\sqrt{2}$b，得2(x?-x?)=$\frac{2a^2k^2(x?-x?)}{b^2+a^2k^2}$。因x?-x?≠0，得2=$\frac{2a^2k^2}{b^2+a^2k^2}$?；喌胋2+a^2k^2=a^2k^2?；喌胋2=0。這與a>b>0矛盾。故直線MN必過橢圓中心(0,0)。直線MN方程為y=kx。M、N在橢圓上，且x?=x?，y?=-y?，|MN|=4$\sqrt{2}$b。設(shè)M(x?,y?)，N(x?,-y?)，則4$\sqrt{2}$b=2|y?|。|y?|=2$\sqrt{2}$b。M(x?,2$\sqrt{2}$b)，N(x?,-2$\sqrt{2}$b)。代入橢圓方程$\frac{x?^2}{a^2}+\frac{(2\sqrt{2}b)^2}{b^2}=1$?；喌?\frac{x?^2}{a^2}+8=1$?；喌?\frac{x?^2}{a^2}=-7$。無解。故直線MN必過橢圓中心(0,0)，且斜率k存在。設(shè)M(x?,y?)，N(x?,y?)，|MN|=4$\sqrt{2}$b，M、N關(guān)于原點對稱。設(shè)M(x?,y?)，N(-x?,-y?)，|MN|=2$\sqrt{x?^2+y?^2}$=4$\sqrt{2}$b。即$\sqrt{x?^2+y?^2}$=2$\sqrt{2}$b。M、N在橢圓上，代入$\frac{x?^2}{a^2}+\frac{y?^2}{b^2}=1$。即$\frac{x?^2}{a^2}+\frac{y?^2}{b^2}=1$。由$\sqrt{x?^2+y?^2}$=2$\sqrt{2}$b，得x?2+y?2=8b2。代入橢圓方程得$\frac{x?^2}{a^2}+\frac{8b2}{b^2}=1$。化簡得$\frac{x?^2}{a^2}+8=1$?；喌?\frac{x?^2}{a^2}=-7$。無解。矛盾。故直線MN方程不存在。矛盾。重新審視(1)中a2=4b2時e的求解過程，發(fā)現(xiàn)計算