試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁福建省福州楊橋中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．“翻開九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)課本，恰好翻到第10頁”，這個(gè)事件是（）A．不可能事件 B．隨機(jī)事件 C．必然事件 D．確定事件3．若和成反比例關(guān)系，當(dāng)?shù)闹捣謩e為，時(shí)，的值如下表所示，則表中的值是（

）234A． B． C． D．4．比較二次函數(shù)與的圖象，則（

）A．開口大小相同 B．開口方向相同 C．對(duì)稱軸相同 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)相同5．某年級(jí)舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個(gè)隊(duì)之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．96．關(guān)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．該函數(shù)圖象在一、三象限B．當(dāng)時(shí)，隨增大而減小C．若在該函數(shù)圖象上，則D．若點(diǎn)和點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，且，則有且僅有7．如圖，的邊與相交于C，D兩點(diǎn)，且經(jīng)過圓心O，邊與相切，切點(diǎn)為B．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．用反證法證明命題“在三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于”時(shí)，第一步應(yīng)先假設(shè)（

）A．三角形中有一個(gè)內(nèi)角小于 B．三角形中有一個(gè)內(nèi)角大于C．三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于 D．三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于9．二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值列表如下：…0135……77…則一元二次方程的解為（

）A．3或 B．或5 C．或6 D．2或10．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是，且該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則p的值不可能是（

）A．-2 B．-1 C．4 D．7二、填空題11．如果點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么a+b＝．12．一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上，如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在白色方磚上的概率是．13．如圖為球形燈籠的截面圖，過圓心的直線垂直弦于點(diǎn)，，則的半徑為．14．若是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為15．汽車剎車后行駛的距離（單位：米）關(guān)于行駛的時(shí)間（單位：秒）的函數(shù)解析式是，汽車剎車后到停下來前進(jìn)了米．16．如圖，雙曲線上的一點(diǎn)，其中，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)B，連接．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在該雙曲線上，的值為．三、解答題17．解方程：2－x－3=0.18．驗(yàn)光師檢測發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)（度）與鏡片焦距（米）成反比例，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示．經(jīng)過一段時(shí)間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由米調(diào)整到米．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式．(2)矯正治療后，小雪的近視眼鏡的度數(shù)發(fā)生了怎樣變化呢？變化了多少度呢？19．一個(gè)黑箱子里裝有紅、白兩種顏色的球4只，他們除顏色外，其他都相同，小明將球攪勻后從箱子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放回不斷重復(fù)實(shí)驗(yàn)，將多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫出如下頻率統(tǒng)計(jì)圖．（1）當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近（精確到0.01），從箱子中摸一次球，摸到紅球的概率是；（2）從該箱子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，不放回，再摸出一個(gè)球．用樹狀圖或列表法求出摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率．20．如圖，已知.(1)求作的外接圓圓心（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（）的條件下，若，，求半徑，及所圍成的圖形的面積．21．如圖，將矩形繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)恰好落在邊上，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接交于，已知，求的長．22．已知實(shí)數(shù)、、，且．(1)若、、分別是關(guān)于的一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，由公式法解得方程的根為，求證：；(2)若，，求的最小值．23．如圖，有一塊邊角料，其中，，，是線段，曲線可以看成反比例函數(shù)圖像的一部分．王師傅想利用這塊邊角料截取一個(gè)矩形，其中在上（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在曲線段上．測量發(fā)現(xiàn)：，，，，且和之間的距離為4．若以所在直線為軸，以中點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)建直角坐標(biāo)系．(1)求曲線和直線的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，請(qǐng)用含的式子表示矩形的面積，并求出最大值．24．定義：如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上，且拋物線與的頂點(diǎn)不重合，我們稱拋物線與互為“親密拋物線”．(1)下列拋物線是拋物線的“親密拋物線”的是的______；（直接填入序號(hào)）①；②；③；(2)若拋物線：（m，n為實(shí)數(shù)且）與：互為“親密拋物線”，請(qǐng)問拋物線的圖象是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由；(3)已知拋物線：（a，b，c為實(shí)數(shù)且）與x軸交于點(diǎn)M、N，拋物線：與x軸交于點(diǎn)P、Q，若拋物線與互為“親密拋物線”，且，請(qǐng)問是否為定值，若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．25．已知四邊形內(nèi)接于，連接．(1)如圖，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)，求證：直線與相切；(2)如圖，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，的半徑為，①求；②若，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，連接，補(bǔ)全圖形，探究和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《福建省福州楊橋中學(xué)2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案ABCCDCCCCC1．A【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的識(shí)別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．根據(jù)中心對(duì)稱和軸對(duì)稱的定義，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；故選A．2．B【分析】本題考查的是事件的分類，根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．【詳解】解：“翻開九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)課本，恰好翻到第10頁”，這個(gè)事件是隨機(jī)事件，故選：B．3．C【分析】本題考查了反比例的定義，解題的關(guān)鍵是掌握反比例的定義．根據(jù)乘積為的兩個(gè)數(shù)成反比例關(guān)系，即可求解．【詳解】解：和成反比例關(guān)系，且時(shí)，，，時(shí)，，，故選：C．4．C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析開口方向、大小、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：開口大小由決定，越大，開口越小，中，中，不相等，開口大小不同，A錯(cuò)誤；中，開口向下，中，開口向上，方向不同，B錯(cuò)誤；對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸為直線，兩函數(shù)對(duì)稱軸均為直線，C正確；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)不同，D錯(cuò)誤；故選：C．5．D【分析】根據(jù)球賽問題模型列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)為x隊(duì)，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝36，化簡，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），答：參加此次比賽的球隊(duì)數(shù)是9隊(duì)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程應(yīng)用問題中的球賽問題．6．C【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷即可，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、由反比例函數(shù)可知，則該函數(shù)圖象在第二、四象限，故不符合題意；、當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，故不符合題意;、若在該函數(shù)圖象上，則，故符合題意；、若點(diǎn)和點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故不符合題意；故選：.7．C【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)，切線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角等，掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由等腰三角形的判定及性質(zhì)得，由直角所對(duì)的圓周角為直角得，由切線的性質(zhì)得，即可求解．【詳解】解：連接，，，是的直徑，，，邊與相切，，，；故選：C．8．C【分析】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．【詳解】解：用反證法證明命題“在三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于”時(shí)，第一步應(yīng)先假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于，故選：C．9．C【分析】本題考查通過表格確定二次函數(shù)圖象與的交點(diǎn)坐標(biāo)解一元二次方程．利用時(shí)，；時(shí)，得到二方程一元二次方程的兩根為，由于把一元二次方程可看作關(guān)于的一元二次方程，則或，然后解一次方程即可．【詳解】解：觀察表格，對(duì)于二次函數(shù)，∵時(shí)，；時(shí)，，即方程一元二次方程的兩根為，把一元二次方程看作關(guān)于的一元二次方程，∴或，解得．故選：C．10．C【分析】根據(jù)題意求得拋物線的對(duì)稱軸，進(jìn)而求得時(shí)，的取值范圍，根據(jù)的縱坐標(biāo)小于0，即可判斷的范圍，進(jìn)而求解【詳解】解：∵二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是，∴，二次函數(shù)開口向下解得，對(duì)稱軸為當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過原點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)，，根據(jù)對(duì)稱性可得時(shí)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，或不可能是4故選C【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與一元一次不等式問題，求得拋物線的對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．11．1【分析】直接利用兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，得出a，b的值，即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)Q（2，﹣3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的符號(hào)關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．【分析】本題考查幾何概率的求法．根據(jù)幾何概率的求法：最終停留在白色方磚上的概率就是白色區(qū)域的面積與總面積的比值．【詳解】解：設(shè)每塊方磚的邊長為1，這個(gè)圖形的總面積為9，白色方磚的面積為5，因此白色方磚占整體的，所以小球最終停留在白色方磚上的概率是，故答案為：．13．【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．設(shè)的半徑為r，則，根據(jù)垂徑定理可求，再運(yùn)用勾股定理可求半徑r．【詳解】解：設(shè)的半徑為r，依題意，，，，在中，∴解得：，故答案為：．14．4【分析】本題考查了一元二次方程的根、根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，根據(jù)一元二次方程的根的定義得到，然后將所求表達(dá)式變形為后代入求值即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個(gè)根，∴，，∴，∴，故答案為：4．15．27【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，通過求二次函數(shù)的最大值來確定汽車剎車后停止時(shí)的前進(jìn)距離即可．【詳解】解：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值27，∴汽車剎車后到停下來前進(jìn)了27米．故答案為：27．16．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，代入點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)到反比例函數(shù)得到，解方程即可求出的值．【詳解】解：，軸，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)和點(diǎn)都在雙曲線上，，解得：或（舍去負(fù)值），的值為．故答案為：．17．=－1=1.5【詳解】試題分析：利用因式分解法進(jìn)行解方程.試題解析：原方程可變?yōu)椋?x+1)(2x－3)=0解得：=－1=1.5考點(diǎn)：解一元二次方程.18．(1)(2)度數(shù)逐漸減少；減少了度【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)自變量求函數(shù)值的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分別求出和時(shí)的函數(shù)值即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，把代入中得，，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴度數(shù)減少了（度）．答：近視眼鏡的度數(shù)逐漸減少，減少了200度．19．（1）0.75，0.25；（2）【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75，則摸到紅球的頻率將會(huì)接近0.25；（2）列表展示出所有的可能性的結(jié)果，然后得到∴摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求解即可．【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知當(dāng)摸球次數(shù)很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近0.75，則摸到紅球的頻率將會(huì)接近0.25，故答案為：0.75，0.25；（2）∵箱子一個(gè)有4個(gè)球，摸到白球的頻率為0.75，∴白球的數(shù)量=4×0.75=3，∴紅球的數(shù)量為1列表如下：白白白紅白白白白白白紅白白白白白白紅白白白白白白紅紅紅白紅白紅白如表所示，一共有12種可能性的結(jié)果，摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的結(jié)果數(shù)為6種，∴摸到一個(gè)紅球一個(gè)白球的概率．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，用頻率求數(shù)量，列表法或樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．20．(1)作圖見解析；(2)．【分析】（）作的垂直平分線，相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，的長度為半徑畫圓即可；（）連接，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，進(jìn)而由圓周角定理可得，，即可得到，又由可推導(dǎo)出是等邊三角形，得到，代入扇形面積公式計(jì)算即可求解；本題考查了作的外接圓圓心，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，為所求作的的外接圓圓心；（2）解：如圖，連接，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，根據(jù)題意得，半徑，及所圍成的圖形是扇形，∴即半徑，及所圍成的圖形的面積是．21．(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)可得再根據(jù)“”可得\，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）可證明勾股定理可得，再用勾股定理求出，即可求出的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，由旋轉(zhuǎn)得，在和中，，∵，∴．（2）解：∵在和中，在中，，由勾股定理得：∵在中，由勾股定理得：．22．(1)見解析(2)2【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，求根公式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）由求根公式得到，與根對(duì)應(yīng)相等得到，或，即可求解；（2）可得，將其代入，得到，將該方程看成關(guān)于的一元二次方程，那么方程有解，則，即可求解．【詳解】（1）證明：∵、、分別是關(guān)于的一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，而一元的根為，又∵，∴，或∴，，（舍）或，，，∴；（2）解：∵，∴∵∴，整理得，，將其看成關(guān)于的一元二次方程，則，∴，∵，∴，∴，∴的最小值為2．23．(1)曲線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為(2)矩形的面積為，最大值為【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的面積，二次函數(shù)的最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)到，求出曲線的表達(dá)式，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線的表達(dá)式；（2）根據(jù)題意得到，，代入到直線的不等式求出，再利用矩形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴，，∵，，∴，，代入到，得，∴曲線的表達(dá)式為，∵和之間的距離為4，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，代入到，得，解得，∴，∵，∴，設(shè)直線的表達(dá)式為，代入和，得，解得，∴直線的表達(dá)式為；（2）解：由題意得，，，代入到，得，解得，∴，∴，∴矩形的面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形的面積有最大值，最大值為．24．(1)①③(2)經(jīng)過定點(diǎn)、(3)是定值，為4【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中所給新定義結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解；（2）由題意易得的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，然后拋物線化簡為：，進(jìn)而問題可求解；（3）由題意易得拋物線的頂點(diǎn)為，則有