第23章圖形的相似專題10相似三角形的基本模型模型1“A”字型【模型展示】圖示條件DE∥BC∠C＝∠ADE結(jié)論△ADE∽△ABC△ADE∽△ACB返回1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若AD＝3，DB＝2，BC＝6，求DE的長(zhǎng)．返回2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D，求AD的長(zhǎng)．模型2“8”字型【模型展示】圖示條件AB∥CD∠A＝∠D結(jié)論△AOB∽△COD△AOB∽△DOC返回3．(2)若AC＝8，BC＝6，BE＝3，求DE的長(zhǎng)．4．[2025上海靜安區(qū)月考]如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，CD是AB邊上的高，點(diǎn)E為線段CD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)C，D重合)，連結(jié)BE，作EF⊥BE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，與BC交于點(diǎn)G，連結(jié)BF.(1)求證：△CFG∽△EBG；(2)求證：∠CEF＝∠CBF.返回模型3

母子型【模型展示】圖示條件結(jié)論∠C＝∠ABD(或∠ADB＝∠ABC)△ABC∽△ADB5．[2025成都武侯區(qū)月考]如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，已知∠ADB＝2∠ABD．(1)求證：△ABD∽△ACB；【證明】∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD.又∵∠ADB＝2∠ABD，∴∠ADB＝∠ABC.又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.(2)若DC＝2AD＝2，求∠A的度數(shù)．返回模型4

旋轉(zhuǎn)型(手拉手模型)【模型展示】圖示條件圖①中DE∥BC，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到圖②結(jié)論圖①②中△ADE∽△ABC，圖②中△ABD∽△ACE6．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作射線CP∥AB，D為射線CP上一點(diǎn)，E在邊BC上(不與點(diǎn)B，C重合)，且∠DAE＝45°，連結(jié)DE交AC于點(diǎn)O.(1)求證：△ADE∽△ACB；(2)如果△COD與△BEA相似，求CE：BE的值．【解】在△COD與△BEA中，易得∠DCO＝∠B＝45°.又∵∠DOC與∠AEB均為鈍角，∴如果△COD與△BEA相似，只能是△COD∽△BEA.∴∠CDO＝∠BAE.

由(1)易知∠AED＝45°，∴∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝45°＋∠DEC.又∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝45°＋∠BAE，∴∠DEC＝∠BAE.∴∠CDO＝∠BAE＝∠DEC.返回模型5

雙垂直模型【模型展示】圖示條件∠BAC＝90°，AD⊥BCBD⊥AC，CE⊥AB結(jié)論△ABC∽△DBA∽△DAC△ACE∽△ABD，△ADE∽△ABC7．(2)求證：BC2＝BD·AB．返回8．如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，交BC于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)△ADF∽△EDB；【證明】∵△ABC是直角三角形，AB是斜邊，∴∠ACB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.∵DF⊥AB，∴∠ADF＝∠EDB＝90°.∴∠F＋∠A＝90°.∴∠F＝∠B.

∴△ADF∽△EDB.(2)CD2＝DE·DF.返回模型6

一線三等角模型【模型展示】圖示條件∠1＝∠2＝∠3結(jié)論①△CAP∽△PBD；②當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，△CAP∽△PBD∽△CPD圖示條件∠1＝∠2＝∠3結(jié)論△CAP∽△PBD9．返回如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E，F(xiàn)是CD上的兩點(diǎn)，且∠ACB＝∠AED＝∠BFD．若AD＝8，DE＝4，BD＝12，則CD的長(zhǎng)為(

)A．14B．16C．18D．20B10．[2025南京秦淮區(qū)模擬]【感知】如圖①，在正方形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F.易證：△AED∽△BFE.(不需要證明)【探究】如圖②，矩形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE交BC于點(diǎn)F.(1)求證：△AED∽△BFE；【證明】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°.∴∠ADE＋∠AED＝90°.∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°.∴∠BEF＋∠AED＝90°.∴∠ADE＝∠BEF.又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFE.(2)若AB＝10，AD＝6，E為AB的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)．【應(yīng)用】(3)如圖③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4.E為AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，連結(jié)CE，過(guò)點(diǎn)E作∠CEF＝45°，交BC于點(diǎn)F.當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為________．【點(diǎn)撥】返回模型7

對(duì)角互補(bǔ)模型【模型展示】圖示條件結(jié)論∠AOB＋∠DCE＝180°.過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AO于點(diǎn)M，CN⊥OB于點(diǎn)N△CDM∽△CEN11．在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，某同學(xué)進(jìn)行了如下操作：如圖，在直角三角形紙片ABC(∠C＝90°)內(nèi)剪取一個(gè)直角三角形DEF(∠EDF＝90°)，點(diǎn)

D，E，F(xiàn)

分別在AB，AC，BC

邊上．當(dāng)AC＝3，BC＝4，DE＝2DF時(shí)

，求AD的長(zhǎng)．【解】如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作DP⊥AC于點(diǎn)P，作DQ⊥