第22章一元二次方程專題4一元二次方程的特殊解法1．(1)按規(guī)律在下面的橫線上寫(xiě)出第4個(gè)一元二次方程及它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根：_________________________________________．返回2．【閱讀材料】解方程x2＋2x－35＝0我們可以按下面的方法解答：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)，如圖①；②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：如圖②；③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．根據(jù)上述方法，方程x2＋2x－35＝0可變形為(x＋7)(x－5)＝0.根據(jù)乘法原理：若ab＝0，則a＝0或b＝0，得x＋7＝0或x－5＝0，∴x1＝5，x2＝－7.即原方程的解為x1＝5，x2＝－7.試用上述方法和原理解下列方程：(1)x2＋5x＋4＝0；(2)x2－6x－7＝0；【解】∵x2＋5x＋4＝0，∴(x＋1)(x＋4)＝0，∴x＋1＝0或x＋4＝0，∴x1＝－1，x2＝－4.∵x2－6x－7＝0，∴(x＋1)(x－7)＝0，∴x＋1＝0或x－7＝0，∴x1＝－1，x2＝7.(3)x2－6x＋8＝0;

(4)2x2＋x－6＝0.【解】∵x2－6x＋8＝0，∴(x－2)(x－4)＝0，∴x－2＝0或x－4＝0，∴x1＝2，x2＝4.∵2x2＋x－6＝0，∴(2x－3)(x＋2)＝0，∴2x－3＝0或x＋2＝0，∴x1＝1.5，x2＝－2.返回3．用上述方法解下列方程：(1)(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0；【解】設(shè)2x＋5＝y(tǒng)，則原方程化為y2－4y＋3＝0，解此方程得y1＝1，y2＝3，當(dāng)y＝1時(shí)，2x＋5＝1，解得x＝－2；當(dāng)y＝3時(shí)，2x＋5＝3，解得x＝－1.∴原方程的解為x1＝－2，x2＝－1.(2)x4－8x2＋7＝0；(3)x2－3|x|＋2＝0.x2－3|x|＋2＝0可變形為|x|2－3|x|＋2＝0，設(shè)|x|＝t，則t≥0，∴t2－3t＋2＝0，∴(t－1)(t－2)＝0，∴t－1＝0或t－2＝0，∴t1＝1，t2＝2，∴|x|＝1或|x|＝2，∴x1＝－1，x2＝1，x3＝－2，x4＝2.返回4．[2025廈門(mén)月考]已知關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1＝α，x2＝β，求關(guān)于x的一元二次方程p2ax2＋pbx＋c＝0(ap≠0)的兩根．解：∵p2ax2＋pbx＋c＝0(ap≠0)，∴a(px)2＋b·px＋c＝0，令px＝t，得新方程at2＋bt＋c＝0.∴新方程的解為t1＝α，t2＝β，∴px＝α或px＝β，這種解一元二次方程的方法叫做“縮根法”．舉例：用縮根法解方程49x2＋35x－24＝0.解：∵49＝72，35＝5×7，∴(7x)2＋5×7x－24＝0，令7x＝t，得新方程t2＋5t－24＝0.解新方程得t1＝3，t2＝－8，∴7x＝3或7x＝－8，請(qǐng)利用上面的方法解決下列問(wèn)題，并寫(xiě)出具體步驟：(1)36x2－6x－1＝0；(2)3x2－160x＋1600＝0.返回5．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花剌子米用正方形巧妙地解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一個(gè)解，就是阿爾·花剌子米解法．如圖，將邊長(zhǎng)為x的正方形和邊長(zhǎng)為1的正方形，外加兩個(gè)長(zhǎng)為x，寬為1的長(zhǎng)方形，拼合在一起的面積就是x2＋2·x·1＋1×1，而由x2＋2x－35＝0變形得x2＋2x＋1＝35＋1，即邊長(zhǎng)為x＋1的正方形的面積為36.∴(x＋1)2＝36，∴x＝5(負(fù)值已舍去)．你能運(yùn)用上述方法求出方程x2＋8x－9＝0的一個(gè)正根嗎？【解】如圖，大正方形的邊長(zhǎng)為x＋4，則其面積為x2＋4x＋4x＋16＝x2