第26課時(shí)幾何中的常見模型類型一中點(diǎn)模型1.閱讀材料:如圖1,在△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半”時(shí),通過(guò)延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF=DE,連接CF,證明△ADE≌△CFE,再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證.類比遷移:(1)如圖2,AD是△ABC的中線,E是AC上的一點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,且AE=EF,求證:AC=BF.小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明.證明:如圖2,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M,使MD=FD,連接MC,……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過(guò)程;

方法運(yùn)用:(2)如圖3,在等邊△ABC中,D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)),連接AD.把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段ED,F是線段BE的中點(diǎn),連接DF,CF.請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系,并給出證明.(2)解:AD=2DF.證明如下:延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M,使FM=DF,連接BM,AM,如答案圖.∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn),∴BF=EF.∵∠BFM=∠EFD,FM=FD,∴△BFM≌△EFD(SAS),∴BM=DE,∠MBF=∠DEF,∴BM∥DE.∵線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段ED,∴CD=DE=BM,∠BDE=120°,∴∠MBD=180°-120°=60°.∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∴∠ABM=∠ABC+∠MBD=60°+60°=120°,∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°,∴∠ABM=∠ACD,∴△ABM≌△ACD(SAS),∴AM=AD,∠BAM=∠CAD,∴∠MAD=∠MAC+∠CAD=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°,∴△AMD是等邊三角形,∴AD=DM=2DF.類型二對(duì)角互補(bǔ)模型2.如圖1,∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處,∠QPN=α,∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C,D不重合).(1)當(dāng)α=90°時(shí),求證:DE+DF=AD;(1)證明:∵正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P,∴AC⊥BD,PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°.∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,∴∠APE=∠DPF,∴△APE≌△DPF(ASA),∴AE=DF,∴DE+DF=AD.(2)如圖2,將圖1中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形,其他條件不變,當(dāng)α=60°時(shí),探究DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系;

(3)如圖3,在(2)的條件下,將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,其他條件不變,探究在這個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

類型三共頂點(diǎn)三角形模型3.(2025·外語(yǔ)校)在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí),數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型:它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成,在相對(duì)位置變化的同時(shí),始終存在一對(duì)全等三角形,這個(gè)模型就是我們熟悉的“手拉手”模型.(1)如圖1,兩個(gè)等腰三角形△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,連接BD,CE,始終存在△

≌△

;BADCAE(2)如圖2,在(1)的條件下,BD交AE于點(diǎn)M,CE交AB于點(diǎn)N,BD與CE交于點(diǎn)F,連接FA.求證:FA是∠CFD的平分線;

類型四半角模型4.如圖,△ABC是等邊三角形,△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形,以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角.(1)如圖1,當(dāng)角的兩邊分別交AB,AC邊于M,N兩點(diǎn),連接MN,探究:線段BM,MN,NC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;解:(1)MN=BM+NC.證明如下:如答案圖1,延長(zhǎng)NC到點(diǎn)E,使CE=BM,連接DE.∵△ABC為等邊三角形,△BCD為等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°=∠ACD,∴∠DCE=180°-∠ACD=90°.在△CDE和△BDM中,CD=BD,∠ECD=∠MBD,CE=BM,∴△CDE≌△BDM(SAS),∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∴∠EDN=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°.在△DMN和△DEN中,DM=DE,∠MDN=∠EDN,DN=DN,∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.(2)當(dāng)角的兩邊分別交線段AB,CA的延長(zhǎng)線于M,N兩點(diǎn),連接MN.在圖2中畫出圖形,并探究線段BM,MN,NC之間的數(shù)量關(guān)系.(2)畫出圖形如答案圖2所示.MN=CN-BM.如答案圖2,在CA上截取CE=BM,連接DE.同(1)可得△MBD≌△ECD(SAS),∴DM=DE,∠MDB=∠EDC.同(1)可得△NMD≌△NED(SAS),∴MN=NE,∴MN=CN-CE=CN-BM.類型五一線三等角模型5.如圖,在平行四邊