第6課時(shí)一元二次方程及其應(yīng)用第二章方程（組）與不等式（組）

知識(shí)點(diǎn)1一元二次方程的定義只含有

未知數(shù)，并且

，這樣

的

方程就是一元二次方程.一元二次方程的一般表達(dá)式為

，其

中

是二次項(xiàng)，

叫做二次項(xiàng)系數(shù)；

?是一次

項(xiàng)，

叫做一次項(xiàng)系數(shù)；

是常數(shù)項(xiàng).一個(gè)

未知數(shù)的最高次數(shù)是2

整式

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）

ax2

a

bx

b

c

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的解法直接開平方法適合于（x＋a）2＝b（b≥0）或（ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的方程因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0方法規(guī)律常用的方法主要是提公因式法，運(yùn)用平方差公式、完全平方公式等分解因式公式法求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，x＝

?一般步驟（1）將方程化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形

式；（2）確定a，b，c的值；（3）①若b2－4ac

0，則代入求根公式，得x1，x2；②若b2－4ac

0，則方程無實(shí)數(shù)根

≥

＜

（續(xù)表）配方

法基本思想通過配成完全平方的形式解一元二次方程一般步驟（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）把常數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊；（3）在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平

方；（4）把方程整理成（x＋a）2＝b的形式；（5）當(dāng)b

時(shí)，運(yùn)用直接開平方法解方

程；當(dāng)b＜0時(shí)，無解≥0

＞

＝

＜

知識(shí)點(diǎn)5一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用平均增長(zhǎng)率（下降率）問題（1）增長(zhǎng)率＝

×100％；（2）設(shè)a為原來量，x為平均增長(zhǎng)（下降）率，n為增

長(zhǎng)（下降）次數(shù)，b為增長(zhǎng)（下降）后的量，則a

（1±x）n＝b（續(xù)表）面積

問題（1）如圖1，矩形ABCD的長(zhǎng)為a，寬為b，空白部分的寬為

x，則陰影部分的面積為（a－2x）（b－2x）；

（2）如圖2，矩形ABCD的長(zhǎng)為a，寬為b，陰影部分的寬為

x，則空白部分的面積為（a－x）（b－x）；（3）如圖3，矩形ABCD的長(zhǎng)為a，寬為b，陰影部分的寬為

x，則空白部分的面積為（a－x）（b－x）（續(xù)表）利潤(rùn)問題利潤(rùn)＝售價(jià)－成本；總利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷量；利潤(rùn)率＝

×100％握手、單循環(huán)賽問題握手、單循環(huán)賽總次數(shù)為

（n為人數(shù)或隊(duì)伍數(shù)）；送禮物總份數(shù)為n（n－1）（n為人數(shù)）

考點(diǎn)一

一元二次方程的相關(guān)概念

（1）若關(guān)于x的一元二次方程（m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常數(shù)

項(xiàng)等于0，則m的值為（

C

）A.0B.3C.

－3D.

－3或3（2）（2025·達(dá)州）已知關(guān)于x的方程x2＋mx－3＝0的一個(gè)根是1，則

m的值為

?；（3）若一元二次方程x2－2x－5＝0的一個(gè)解為a，則a（2a－3）＋a

（1－a）的值為

?.C2

5

考點(diǎn)二

一元二次方程的解法

解下列一元二次方程：（1）2（x－3）2－18＝0；[答案]

解：整理，得（x－3）2＝9，開方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝0.（2）x2＋2x－3＝0；[答案]

解：整理，得x2＋2x＝3，配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝±2，解得x1＝－3，x2＝1.解：整理，得（x－3）2＝9，開方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝0.解：整理，得x2＋2x＝3，配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝±2，（3）2x（x－2）＝1；

（4）4x（x－2）＝2（2－x）.[答案]

解：移項(xiàng)，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，因式分解，得（4x＋2）（x－2）＝0，∴4x＋2＝0或x－2＝0，

解：整理，得2x2－4x－1＝0，∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24＞0，

解：移項(xiàng)，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，因式分解，得（4x＋2）（x－2）＝0，∴4x＋2＝0或x－2＝0，關(guān)于解方程，要依據(jù)一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活選用“因式分解

法、配方法、公式法”幾種方法.對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0

（a≠0）.（1）若b＝0，直接開平方；若c＝0，采用因式分解法；（2）當(dāng)b，c都不為0時(shí)，一般遵循“先分解因式→后配方法→再公式

法”的順序，具體來說：①如果能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，用因式分解法計(jì)算量小；②當(dāng)方程的一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值很大時(shí)，可以考慮用

配方法；③如果不能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，且方程的一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)時(shí)，

配方法可能計(jì)算量較大，此時(shí)宜選用公式法來解，而公式法是萬能法.考點(diǎn)三

一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

（1）（2025·廣安）關(guān)于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的

情況是（

B

）A.

沒有實(shí)數(shù)根B.

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.

無法確定B（3）（2025·綏化）已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x2－2

025x＋1

＝0的兩個(gè)根，則（m＋1）（n＋1）＝

?；（4）（2025·廣安）已知方程x2－5x－24＝0的兩根分別為a和b，則代

數(shù)式a2－4a＋b的值為

?.2

027

29

k≤－1

考點(diǎn)四

一元二次方程的應(yīng)用

（2025·新疆）如圖，小明在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用一面墻

（墻足夠長(zhǎng)）和24

m長(zhǎng)的圍欄圍成一個(gè)面積為40

m2的矩形場(chǎng)地.設(shè)矩形

的寬為x

m，根據(jù)題意可列方程（

A

）AA.

x（24－2x）＝40B.

x（24－x）＝40C.

2x（24－2x）＝40D.

2x（24－x）＝40

（2025·八中）商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50

元，為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，

每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.（1）若某天該商品每件降價(jià)3元，當(dāng)天可盈利多少元？[答案]解：（1）某天該商品每件降價(jià)3元，則每件商品盈利（50－3）

元，銷售（30＋2×3）件，當(dāng)天可盈利（50－3）×（30＋2×3）＝1

692（元）.答：當(dāng)天可盈利1

692元.（2）設(shè)每件商品降價(jià)x元，在上述銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少

元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2

000元？[答案]解：（2）根據(jù)題意，得（50－x）（30＋2x）＝2

000，整理，得x2－35x＋250＝0，解得x1＝10，x2＝25.∵為了盡快減少庫(kù)存，∴x＝25.答：每件商品降價(jià)25元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2

000元.

1.

下列是一元二次方程的是（

C

）A.

2x＋1＝0B.

x＋y＝5C.

x2＋3x＋2＝0D.

x＋

＝2C2.

（2025·廣東）廣東省統(tǒng)計(jì)局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來高技術(shù)制造業(yè)

呈現(xiàn)快速增長(zhǎng)態(tài)勢(shì).某公司工業(yè)機(jī)器人在今年5月產(chǎn)值達(dá)到2

500萬元，

預(yù)計(jì)7月產(chǎn)值將增至9

100萬元.設(shè)該公司6，7兩個(gè)月產(chǎn)值的月均增長(zhǎng)率

為x，可列出的方程為（

A

）A.2

500（1＋x）2＝9

100B.2

500（1－x）2＝9

100C.2

500（1－2x）2＝9

100D.2

500（1＋2x）2＝9

100A3.

（1）（2025·上海）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0沒有

實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是

?；（2）（202