§3空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示第三章第三章：空間向量與立體幾何§3.1空間向量基本定理1.掌握共面向量的判斷方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點(diǎn)）2.理解空間向量基本定理，會用空間三個不共面的向量表示其他向量，解決立體幾何中的簡單問題，體現(xiàn)邏輯脫離能力（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.思考：根據(jù)平面向量基本定理，我們知道對于該平面內(nèi)的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y)，使得p=xa+yb,特別地，當(dāng)a,b為直角直角平面內(nèi)的向量時，向量p就與坐標(biāo)(x,y)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，設(shè)a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，是否可以用向量a，b，c是來表示向量p？abcp復(fù)習(xí)回顧如圖，過空間任意一點(diǎn)O作因?yàn)橄蛄縜，b，c不共面，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)不共面.作當(dāng)點(diǎn)P不在直線OC上時，過點(diǎn)P作與OC平行的直線交平面AOB于點(diǎn)Q，則

故存在實(shí)數(shù)z，使得PABCOQ在平面AOB內(nèi)，由平面向量基本定理可知：存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得探索新知從而，存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得當(dāng)點(diǎn)P在直線OC上，則p∥c，故存在唯一的實(shí)數(shù)x，使得p=zc.從而也存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)=(0，0，z)，使得p=xa+yb+zc.空間向量基本定理：如果向量a，b，c是空間三個不共面的向量，p是空間任意一個向量，那么存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.如果三個向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x，y，z∈R}．這個集合可看作由向量a，b，c生成的．我們把{a，b，c}叫作空間的一組基，a，b，c都叫作基向量.探索新知思考：空間的基有多少個，需要滿足什么條件？無數(shù)個，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一組基．典例講解

典例講解3

例2:如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，點(diǎn)M是

A'B'C'D'的對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是棱BC的中點(diǎn).如果

試用a，b，c表示解：因?yàn)辄c(diǎn)M是

A'B'C'D'的對角線的交點(diǎn)，典例講解

方法小結(jié)：用一組基表示向量的步驟：1.定基：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一組基.2.找目標(biāo)：用確定的基(或已知基)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果.3.下結(jié)論：利用空間向量的一組基{a，b，c}可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.典例講解典例講解

典例講解

典例講