第六章圓第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系節(jié)前復(fù)習(xí)導(dǎo)圖與圓有關(guān)的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離切線的性質(zhì)與判定概念性質(zhì)定理判定方法切線長(zhǎng)

及定理切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)定理三角形的內(nèi)切圓定義圓心性質(zhì)角度關(guān)系教材知識(shí)逐點(diǎn)過(guò)考點(diǎn)1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓外d

?r圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d

點(diǎn)在圓上d

?r點(diǎn)在圓內(nèi)d

?r＞＝＜考點(diǎn)2直線與圓的位置關(guān)系(圓的半徑為r，圓心O到直線的距離為d)位置關(guān)系示意圖d與r的關(guān)系公共點(diǎn)相交

d

?r有兩個(gè)公共點(diǎn)相切

d

?r有且只有一個(gè)公共點(diǎn)相離

d

?r沒(méi)有公共點(diǎn)＜＝＞考點(diǎn)3切線的性質(zhì)與判定(6年5考)★重點(diǎn)

概念直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓

的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)性質(zhì)定理圓的切線

?于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑判定方法1.與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；2.定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；3.圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線垂直考點(diǎn)4切線長(zhǎng)及定理切線長(zhǎng)經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和

之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的

切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)定

理從圓外一點(diǎn)可以引圓的

條切線，它們的切

線長(zhǎng)

，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切

線的夾角，如圖，PA，PB分別切☉O于點(diǎn)A，

B，則PA＝PB，∠OPA＝∠OPB

切點(diǎn)兩相等考點(diǎn)5三角形的內(nèi)切圓定義與三角形各邊都相切的圓

圓心內(nèi)心(三角形三條

的交點(diǎn))性質(zhì)三角形的內(nèi)心到三角形

?的距離相等角度關(guān)系∠BOC＝90°＋

∠A【知識(shí)拓展】1.在Rt△ABC中，若兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則內(nèi)切圓的半徑為r

＝

；2.若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，則S△ABC＝

(a＋b＋c)r角平分線三條邊基礎(chǔ)題對(duì)點(diǎn)練1.

[冀教九下習(xí)題改編]

如圖，已知☉O的半徑為5，直線AB經(jīng)過(guò)☉O上

一點(diǎn)P，下列條件不能判定直線AB與☉O相切的是(

A

)A.

OP＝5B.

∠APO＝∠BPOC.

點(diǎn)O到直線AB的距離是5D.

OP⊥ABA2.

[北師九下習(xí)題改編]

如圖，AB與☉O相切于點(diǎn)C，OA＝OB，☉O的

半徑為1，∠AOB＝120°，則AB的長(zhǎng)為

?.

3.

[人教九上探究改編]

如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點(diǎn)，

連接AB，∠AOB＝120°，AP＝6，則∠APB的度數(shù)是

；AB

的長(zhǎng)為

?.60°

6

4.

[北師九下習(xí)題改編]如圖，在△ABC中，∠ABC＝46°，∠ACB＝

84°，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB，OC，則∠BOC的度數(shù)

為

?.115°

教材變式過(guò)重點(diǎn)與切線有關(guān)的證明與計(jì)算教材原題例

冀教九下P10第2題如圖①，在☉O中，AB為直徑，AD為弦，過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，且AD＝DC，求∠ABD的度數(shù).圖①解：∵AB是☉O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵BC是☉O的切線，AB是☉O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵AD＝DC，∴BD＝AD，∴△ADB為等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°圖①拓展設(shè)問(wèn)(1)如圖②，連接OC，求sin∠ACO的值.圖②

∟E

圖②∟E

圖③解：∵DF與☉O相切于點(diǎn)D，∴DF＝BF，∠ODF＝90°，∵AD＝CD，∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DO是△ABC的中位線，∴∠AOD＝∠ABC＝90°，∴∠DOB＝90°，

圖③河北中考真題精選與切線有關(guān)的證明與計(jì)算(6年5考)命題點(diǎn)

(2)連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；解：(2)A7A11⊥PA1.

解圖(3)求切線長(zhǎng)PA7的值.

2.(2020河北22題)如圖，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)C，OB到點(diǎn)

D，使OC＝OD.

以點(diǎn)O為圓心，分別以O(shè)A，OC為半徑在CD上方作兩

個(gè)半圓.點(diǎn)P為小半圓上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接OP并延長(zhǎng)交大

半圓于點(diǎn)E，連接AE，

CP.

(1)①求證：△AOE≌△POC；(1)①證明：∵P為小半圓上一點(diǎn)，∴OA＝OP.

又∵E為OP的延長(zhǎng)線與大半圓的交點(diǎn)，∴OE＝OC.

∵∠AOE＝∠POC，∴△AOE≌△POC(SAS)；2.(2020河北22題)如圖，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)C，OB到點(diǎn)

D，使OC＝OD.

以點(diǎn)O為圓心，分別以O(shè)A，OC為半徑在CD上方作兩

個(gè)半圓.點(diǎn)P為小半圓上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接OP并延長(zhǎng)交大

半圓于點(diǎn)E，連接AE，

CP.

②寫(xiě)出∠1，∠2和∠C三者間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②解：∠2＝∠1＋∠C.

理由如下：由①知，△AOE≌△POC，∴∠1＝∠OPC，又∵∠2＝∠OPC＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C；點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，OC＝OD.

以點(diǎn)O為圓心，分別以O(shè)A，OC為半徑在CD上方作兩個(gè)半圓.(2)若OC＝2OA＝2，當(dāng)∠C最大時(shí)，直接指出CP與小半圓的位置關(guān)

系，并求此時(shí)S扇形EOD(答案保留π).

解圖3.

(2023河北24題)裝有水的水槽放置在水平臺(tái)面上，其橫截面是以AB為

直徑的半圓O，AB＝50

cm，如圖①和圖②所示，MN為水面截線，GH

為臺(tái)面截線，MN∥GH.

計(jì)算在圖①中，已知MN＝48

cm，作OC⊥MN于點(diǎn)C.(1)求OC的長(zhǎng)；操作將圖①中的水槽沿